Відмінності між версіями «Теорема Гаусса — Ванцеля»

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку
[перевірена версія][перевірена версія]
Рядок 1: Рядок 1:
'''Теорема Гауса—Ванцеля''' стверджує, що [[правильний многокутник|правильний <math>n</math>-кутник]] можна [[побудова за допомогою циркуля та лінійки|побудувати за допомогою циркуля й лінійки]] тоді і тільки тоді, коли <math>n=2^k\cdot p_1\cdot \ldots \cdot p_m</math>, де <math>p_i\,\!</math>&nbsp;— різні прості [[числа Ферма]]. Ця умова також еквівалентна тому, що значення [[функція Ейлера|функції Ейлера]] <math>\varphi(n)</math> є степенем 2-ки.
+
'''Теоре́ма Га́усса — Ва́нцеля''' стверджує, що [[Правильний многокутник|правильний <math>n</math>-кутник]] можна [Побудова за допомогою циркуля та лінійки|побудувати за допомогою циркуля й лінійки]] тоді і тільки тоді, коли <math>n=2^k\cdot p_1\cdot \ldots \cdot p_m</math>, де <math>p_i\,\!</math>&nbsp;— різні прості [[числа Ферма]]. Ця умова також еквівалентна тому, що значення [[Функція Ейлера|функції Ейлера]] <math>\varphi(n)</math> є степенем двійки.
   
 
== Історія ==
 
== Історія ==
Античним геометрам були відомі способи побудови правильних [[многокутник|''n''-кутників]] для <math>n=2^k, 3 \cdot 2^k, 3 \cdot 5 \cdot 2^k.</math>
+
Античним геометрам були відомі способи побудови правильних [[Многокутник|''n''-кутників]] для <math>n=2^k, 3 \cdot 2^k, 3 \cdot 5 \cdot 2^k.</math>
   
[[Гаус Карл Фрідріх|Гаус]] у [[1796|1796&nbsp;р.]] показав можливість побудови правильних ''n''-кутників при <math>n = 2^k \cdot p_1 \cdot \ldots \cdot p_m</math>, де <math>p_i\,\!</math>&nbsp;— різні прості [[числа Ферма]]. У [[1836|1836&nbsp;р.]] [[Ванцель П'єр Лоран|Ванцель]] довів, що інших правильних многокутників, які можна побудувати циркулем та лінійкою, не існує.
+
1796 року німецький математик [[Карл Фрідріх Гаусс]] показав можливість побудови правильних ''n''-кутників при <math>n = 2^k \cdot p_1 \cdot \ldots \cdot p_m</math>, де <math>p_i\,\!</math>&nbsp;— різні прості [[числа Ферма]]. 1836 року французький математик [[П'єр Лоран Ванцель|П’єр Ванцель]] довів, що інших правильних многокутників, які можна побудувати циркулем та лінійкою, не існує.
   
 
Конкретні реалізації побудови досить трудомісткі.
 
Конкретні реалізації побудови досить трудомісткі.
* Побудова [[правильний 17-кутник|правильного 17-кутника]] була безпосередньо здійснена самим Гаусом, але вперше опублікована К. Ф. фон Пфейдерером у [[1802|1802&nbsp;р.]]
 
* [[Правильний 257-кутник]] побудував Ф.&nbsp;Ю.&nbsp;Рішело у [[1832|1832&nbsp;р.]]
 
* У бібліотеці [[Геттінгенський університет|Геттінгенського університету]] зберігається рукопис, який є підсумком 10-річної праці О. Гермеса, яка містить метод побудови [[правильний 65537-кутник|правильного 65537-кутника]].
 
** З цього приводу [[Літлвуд Джон Ідензор|Літлвуд]] пожартував: ''«Один нав'язливий аспірант дістав свого керівника, і той сказав йому:&nbsp;— Ходіть-но і розробіть спосіб побудови правильного 65537-кутника! Аспірант пішов і повернувся через двадцять років».''
 
   
 
* Побудова [[Правильний сімнадцятикутник|правильного 17-кутника]] була безпосередньо здійснена самим Гаусом, але вперше опублікована К. Ф. фон Пфейдерером 1802 року.
{{Без джерел|дата=жовтень 2012}}
 
 
* [[Правильний 257-кутник]] побудував Ф. Ю. Рішело 1832 року.
{{Правильні многокутники}}
 
 
* У бібліотеці [[Геттінгенський університет|Геттінгенського університету]] зберігається рукопис, який є підсумком 10-річної праці О. Гермеса, присвяченої методу побудови [[Правильний 65537-кутник|правильного 65537-кутника]]. З цього приводу англійський математик [[Джон Ідензор Літлвуд|Джон Літлвуд]] пожартував:
  +
  +
{{початок цитати}}<poem>
  +
Один нав’язливий аспірант дістав свого керівника, і той сказав йому:
  +
— Ходіть-но і розробіть спосіб побудови правильного 65537-кутника!
  +
Аспірант пішов і повернувся через двадцять років.
  +
</poem>{{кінець цитати}}
  +
 
{{^}}{{Без джерел|дата=жовтень 2012}}
 
{{^|1em}}{{Правильні многокутники}}
 
{{Многокутники}}
 
{{Многокутники}}
  +
{{портали|Математика}}
  +
 
[[Категорія:Комбінаторна геометрія]]
 
[[Категорія:Комбінаторна геометрія]]
[[Категорія:Правильні многокутники|*]]
+
[[Категорія:Правильні многокутники]]
 
[[Категорія:Теореми|Гауса—Ванцеля]]
 
[[Категорія:Теореми|Гауса—Ванцеля]]
 
[[Категорія:1796 у науці]]
 
[[Категорія:1796 у науці]]

Версія за 20:36, 21 січня 2019

Теоре́ма Га́усса — Ва́нцеля стверджує, що правильний -кутник можна [Побудова за допомогою циркуля та лінійки|побудувати за допомогою циркуля й лінійки]] тоді і тільки тоді, коли , де  — різні прості числа Ферма. Ця умова також еквівалентна тому, що значення функції Ейлера є степенем двійки.

Історія

Античним геометрам були відомі способи побудови правильних n-кутників для

1796 року німецький математик Карл Фрідріх Гаусс показав можливість побудови правильних n-кутників при , де  — різні прості числа Ферма. 1836 року французький математик П’єр Ванцель довів, що інших правильних многокутників, які можна побудувати циркулем та лінійкою, не існує.

Конкретні реалізації побудови досить трудомісткі.

Один нав’язливий аспірант дістав свого керівника, і той сказав йому:
— Ходіть-но і розробіть спосіб побудови правильного 65537-кутника!
Аспірант пішов і повернувся через двадцять років.