Відмінності між версіями «Теорема Жордана — Гельдера»

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку
[перевірена версія][перевірена версія]
 
(Немає відмінностей)

Поточна версія на 01:01, 16 березня 2019

Нехай буде групою, що має композиційний ряд. Тоді будь-які два композиційних ряди для мають однакову довжину. Більше того, якщо

і

це два композиційних ряди для тоді існує перестановка така, що

Допоміжна лема[ред. | ред. код]

Нехай буде групою з композиційним рядом

Тоді для будь-якої нормальної підгрупи групи якщо ми видалимо дублікати з ряду

результатом буде композиційний ряд для завдовжки не більше ніж

Доведення[ред. | ред. код]

Нам потрібно довести, що і те, що проста для всіх

Нехай і Тоді оскільки згідно з припущенням нормальна в Також оскільки Отже, що доводить те, що

Тепер розглянемо фактор групу Оскільки проста, то максимальна нормальна підгрупа тому єдиними нормальними підгрупами які містять є і

Згадаймо, що нормальна в (це ядро канонічної проекції на обмеженої ), так що маємо

Перше нормальне включення, дає що для маємо

оскільки а нормальна в Для другого нормального включення,

оскільки нормальна в і

оскільки

Отже, або або Використовуючи другу теорему про ізоморфізми

Тут ми бачимо, що якщо то і нам треба вилучити дублікат. Якщо ж то  — проста.

Доведення[ред. | ред. код]

Доведення буде за індукцією на довжину композиційного ряду. Припустимо, що має композиційний ряд довжини 1. Тоді субнормальний ряд

не можна уточнити, отже, це мусить бути композиційний ряд. Зокрема,  — проста. Це єдиний можливий композиційний ряд для і всі твердження дотримані для довжини 1.

Припустимо, що і, що твердження теореми дотримуються для композиційних рядів завдовжки до Нехай буде групою з композиційним рядом завдовжки скажімо

(при цьому для кожного Тепер припустимо, що існує інший композиційний ряд для (знов

Спочатку нам потрібно показати, що після чого ми обговоримо єдиність декомпозиції.

(Доведення, що Ідея доведення така: щоб використаємо індукційну гіпотезу нам потрібно мати композиційні ряди завдовжки менше ніж Спершу ми виключимо випадок коли тоді обчислимо композиційні ряди завдовжки для Після цього ми використаємо другий композиційний ряд щоб отримати інший композиційний ряд для чия довжина залежатиме від і ми зможемо порівняти її з вже відомою нам.

Якщо тоді ми застосовуємо індукційну гіпотезу до маємо і підхожу перестановку для факторів, і тут ми завершили.

Припустимо, що Оскільки обидві і є максимальними нормальними в ми бачимо, що з тому, що згідно з припущенням З цього застосовуючи другу теорему про ізоморфізми, приходимо до висновку, що

Оскільки  — проста, отримуємо, що також проста. Тепер, відповідно до леми вище, по видаленні дублікатів з ряду

отримуємо композиційний ряд для завдовжки не більше ніж і

це композиційний ряд для не довший ніж Оскільки проста, то після видалення дублікатів

це композиційний ряд для Але тоді

і

обидва є композиційними рядами для і перший з них завдовжки Згідно з індукційною гіпотезою обидва ряди мають однакову довжину. Оскільки (згадаємо, що ми припустили, що дублювання має бути десь далі в ряду. Нехай

позначає композиційний ряд для завдовжки з уже видаленими дублікатами. Згідно з гіпотезою, існує перестановка така, що для кожного Множина не пересуває індекс 0, тоді

і

композиційні ряди завдовжки для і  — це перестановка така, що для кожного Більше того, ми знайшли композиційний ряд для завдовжки

Давайте тепер проведемо подібні ж розрахунки для композиційного ряду

і нормальної підгрупи в Знов, згідно з лемою вище, після видалення дублікатів із ряду

отримуємо композиційний ряд для такий, що після видалення дублікатів

дає нам композиційний ряд для Тепер, оскільки має композиційний ряд завдовжки а саме

ми застосовуємо індукційну гіпотезу до щоб дійти висновку, що всі композиційні ряди для мають довжину і тому попередній ряд

після видалення дублікатів також завдовжки

Оскільки з другої теореми про ізоморфізми ми знаємо, що яка є простою групою, маємо, що  — проста. Отже, після видалення дублікатів з

дає нам композиційний ряд для завдовжки (ми додали до композиційного ряду для завдовжки Також

це інший композиційний ряд для Оскільки перший ряд завдовжки то згідно з індукційною гіпотезою, другий ряд мусить мати довжину З того, що його довжина випливає, що

(Єдиність композиційних факторів). Знов, згідно з індукційною гіпотезою застосованою до маємо перестановку з композиційних факторів (яку можна розширити до факторів встановивши А саме, нехай позначає відмінні елементи ряду

так, що і Тоді ми маємо композиційний ряд

завдовжки для і існує перестановка для така, що для кожного

Ми майже на місці, але насправді нам потрібен ізоморфізм між і а не між і Ми згадаємо, що вже маємо перестановку таку, що Отже, нам достатньо знайти таку між і

Нарешті, оскільки ми маємо два композиційні ряди для

Ми можемо застосувати індукційну гіпотезу до щоб довести існування перестановки для такої, що для кожного з цієї множини ми маємо ми вже бачили, що і отже ми можемо розширити перестановку на встановивши і Тоді, оскільки

маємо

У підсумку, маємо і для маємо

Що і треба було довести.

Приклад[ред. | ред. код]

Циклічна група має три композиційні ряди

і всі вони мають однакову довжину. Також, отримуємо такі фактор групи

які дійсно однакові з точністю до перестановки.

Посилання[ред. | ред. код]