Теорема Лі

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку

Теорема Лі — твердження в теорії алгебр Лі про властивості розв'язних алгебр Лі ендоморфізмів скінченновимірного векторного простору.

Твердження[ред. | ред. код]

Нехай Lрозв'язна підалгебра Лі в , де простір V є скінченновимірним над алгебрично замкнутим полем характеристики 0 і не рівний нульовому простору. Тоді V містить спільний власний вектор для всіх ендоморфізмів з L. Як наслідок в деякому базисі простору матриці елементів з L є верхніми трикутними (чи, еквівалентно, L відображає в себе деякий повний прапор підпросторів V).

Доведення[ред. | ред. код]

Застосуємо індукцію по розмірності L . Випадок є тривіальним.

Оскільки підалгебра L є розв'язною і її розмірність є додатною, L строго включає [L, L]. Алгебра L/[L, L] є комутативною і тому будь-який підпростір у ній є ідеалом. Візьмемо в ній підпростір корозмірності 1, тоді його прообраз К — ідеал корозмірності 1 в L (що містить [L, L]).

За припущенням існує спільний власний вектор для К (зрозуміло, що ідеал К є розв'язним; якщо К = 0, то алгебра L є комутативною розмірності 1 і будь-який власний вектор для базисного елемента з L дозволяє завершити доведення). Це означає, що для буде виконуватися рівність де — деяка лінійна функція. Зафіксуємо x і позначимо через W (ненульовий) підпростір

Підпростір W є інваріантним при дії алгебри L . Нехай . Щоб перевірити, що xw належить W, візьмемо довільний елемент і розглянемо вираз . Очевидно достатньо довести, що . Для цього зафіксуємо Нехай n > 0 — найменше ціле число, для якого є лінійно залежними. Нехай — підпростір у V, породжений елементами (також ), так що і x відображає у Легко перевірити, що будь-який елемент залишає кожен підпростір інваріантним. В базисі простору елемент представляється верхньою трикутною матрицею з на діагоналі. Це випливає з порівнянь

,

які можна довести індукцією по i. Випадок i = 0 очевидний. Ми маємо За припущенням індукції

.

Оскільки x відображає в порівняння є правильними для всіх i. Згідно з визначенням дії елемента на просторі , ми маємо Зокрема, це є вірним для елементів з К виду [x, y] (Елемент x такий же, як вище, ). Але як x, так і y зберігають тому [x, y] діє на як комутатор двох його ендоморфізмів і тому його слід дорівнює нулю. Звідси випливає, що Оскільки то що завершує доведення інваріантності підпростору W щодо дії алгебри L.

Записавши і використовуючи алгебричну замкнутість поля F, знайдемо власний вектор для z (що відповідає деякому його власному значенню). Тоді очевидно, є власним вектором для всієї алгебри L і можна продовжити до лінійної функції на L з умовою

Наслідки[ред. | ред. код]

Нехай алгебра L є розв'язною. Тоді існує така послідовність ідеалів L, що

Нехай L — довільна розв'язна алгебра Лі, — її скінченновимірне представлення. Тоді алгебра теж є розв'язною і тому зберігає деякий прапор. Зокрема якщо розглядати приєднане представлення, то прапор підпросторів, інваріантних щодо L, це ланцюжок ідеалів в L, кожен з яких має корозмірність один в наступному.

Нехай алгебра L є розв'язною. Тоді з того, що випливає, що відображення є нільпотентним. Як наслідок, підалгебра [L, L] є нільпотентною.

Виберемо прапор ідеалів, як в попередньому наслідку. В базисі алгебри L, в якому елементи породжують матриці з є верхніми трикутними. Тому матриці з є є верхніми трикутними із нульовими діагональними елементами. Тобто ендоморфізм є нільпотентним ендоморфізмом простору L при Звідси він також є нільпотентним на інваріантному підпросторі [L, L], тож алгебра [L, L] є нільпотентною згідно теореми Енгеля.

Див. також[ред. | ред. код]

Література[ред. | ред. код]

  • Humphreys, James E. (1972). Introduction to Lie Algebras and Representation Theory. Graduate Texts in Mathematics 9. New York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-90053-5. 
  • Kirillov, A. (2008). An Introduction to Lie Groups and Lie Algebras. Cambridge Studies in Advanced Mathematics 113. Cambridge University Press. ISBN 978-0521889698. 
  • Winter, David J. (1972). Abstract Lie algebras. The M.I.T. Press, Cambridge, Mass.-London. ISBN 978-0-486-46282-0. MR 0332905.