Редагування Теорема Морери

У [[комплексний аналіз|комплексному аналізі]] '''Теорема Морери''' дає достатні умови [[аналітична функція|аналітичності]] [[неперервна функція|неперервних]] комплекснозначних функцій. Названа на честь італійського математика [[Гіасінто Морера|Гіасінто Морери]].

== Твердження ==
Якщо функція <math>f(z)\,</math> комплексного змінного <math>z\,</math> у відкритій області <math>D\,</math> [[Неперервна функція|неперервна]] і [[інтеграл]] від неї по будь-якому замкнутому  [[контур]]у <math>\Gamma\subset D</math> рівний нулю, тобто
: <math>\int\limits_\Gamma\,f(z)\,dz=0</math>
то <math>f(z)\,</math> — [[аналітична функція]] в <math>D\,</math>.

Умову теореми можна послабити, обмежившись вимогою рівності нулю інтегралів, узятих по контуру довільного трикутника, що належить області <math>D\,</math>.

== Доведення ==
В доведенні спершу знаходиться [[первісна]] для функції <math>f\,</math>, після чого твердження випливає з факту, що [[голоморфна функція|голоморфні]] функції є аналітичними.

Без втрати загальності можна вважати область <math>D\,</math>  [[зв'язаний простір|зв'язаною]]. Зафіксувавши деяку точку <math>a\,</math> в області <math>D\,</math>, визначимо функцію <math>F\,</math> в <math>D\,</math> наступною формулою:

:<math>F(b) = \int_a^b f(z)\,dz.\,</math>

Інтеграл може бути взятий по довільній кривій в <math>D\,</math> від <math>a\,</math> до <math>b\,</math>.  Функція <math>F\,</math> є однозначно визначена оскільки з умови теореми випливає рівність інтегралів на усіх кривих від <math>a\,</math> до <math>b\,</math>. Звідси отримуємо, що <math>f\,</math> є похідною <math>F\,</math>  :

:<math>F'(z) = f(z).\,</math>

Зокрема <math>F\,</math> є голоморфною і, як наслідок, аналітичною.  Відповідно <math>f\,</math> також є голоморфною і аналітичною.

== Застосування ==
Теорема Морери часто використовується при доведенні аналітичності функцій. Одним з центральних тверджень при цьому є те, що якщо [[послідовність]] <math>f_n\,</math> аналітичних функцій [[Рівномірна збіжність|рівномірно сходиться]] до функції <math>f\,</math>, то
: <math>\oint \lim_{n\to\infty} f_n(z) dz = \lim_{n\to\infty} \oint f_n(z) dz = 0</math>

тому, за теоремою Морери, гранична функція також буде голоморфною. Таким чином доводиться голоморфність багатьох функцій, визначених рядами і інтегралами, наприклад [[Дзета-функція Рімана|дзета-функції Рімана]]
: <math>\zeta(s) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^s}</math>
і [[Гамма-функція|гамма-функції]]
: <math>\Gamma(\alpha) = \int \limits_{0}^{\infty} t^{\alpha-1}e^{-t} dt</math>

== Література ==
# Грищенко А.О., Нагнибіда М.І., Настасів П.П. Теорія функцій комплексної змінної. — К.: Вища школа, 1994. — 375 ст.
# Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ. — М.: Наука. — 1969, 577 стр.
# Ahlfors, Lars, Complex Analysis, McGraw-Hill, ISBN 978-0070006577 
# Conway, John B. Functions of One Complex Variable I, Graduate Texts in Mathematics, Springer, ISBN 978-3540903284 
# Rudin, Walter, Real and Complex Analysis, McGraw-Hill, ISBN 978-0070542341
# Zill Dennis G., Shanahan Patrick D., A first course in complex analysis with applications, Jones and Bartlett Publishers, Inc., ISBN 0763714372

[[Категорія:Комплексний аналіз]]
[[Категорія:Теореми|Морери]]

[[bg:Теорема на Морера]]
[[cs:Morerova věta]]
[[de:Satz von Morera]]
[[en:Morera's theorem]]
[[fa:قضیه موررا]]
[[fi:Moreran lause]]
[[fr:Théorème de Morera]]
[[it:Teorema di Morera]]
[[ko:모레라의 정리]]
[[pl:Twierdzenie Morery]]
[[ru:Теорема Мореры]]
[[tr:Morera teoremi]]
[[zh:莫雷拉定理]]