Відмінності між версіями «Теорема Морери»

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку
[неперевірена версія][неперевірена версія]
м (стильові правлення)
м (Вилучення 13 інтервікі, відтепер доступних на Вікіданих: d:q1140119)
 
(Не показана 1 проміжна версія ще одного користувача)
Рядок 39: Рядок 39:
   
 
[[Категорія:Комплексний аналіз]]
 
[[Категорія:Комплексний аналіз]]
  +
[[Категорія:Теореми|Морери]]
 
[[bg:Теорема на Морера]]
 
[[cs:Morerova věta]]
 
[[de:Satz von Morera]]
 
[[en:Morera's theorem]]
 
[[fa:قضیه موررا]]
 
[[fi:Moreran lause]]
 
[[fr:Théorème de Morera]]
 
[[it:Teorema di Morera]]
 
[[ko:모레라의 정리]]
 
[[pl:Twierdzenie Morery]]
 
[[ru:Теорема Мореры]]
 
[[tr:Morera teoremi]]
 
[[zh:莫雷拉定理]]
 

Поточна версія на 21:53, 26 березня 2013

У комплексному аналізі Теорема Морери дає достатні умови аналітичності неперервних комплекснозначних функцій. Названа на честь італійського математика Гіасінто Морери.

Твердження[ред. | ред. код]

Якщо функція комплексного змінного у відкритій області неперервна і інтеграл від неї по будь-якому замкнутому контуру рівний нулю, тобто

то аналітична функція в .

Умову теореми можна послабити, обмежившись вимогою рівності нулю інтегралів, узятих по контуру довільного трикутника, що належить області .

Доведення[ред. | ред. код]

В доведенні спершу знаходиться первісна для функції , після чого твердження випливає з факту, що голоморфні функції є аналітичними.

Без втрати загальності можна вважати область зв'язаною. Зафіксувавши деяку точку в області , визначимо функцію в наступною формулою:

Інтеграл може бути взятий по довільній кривій в від до . Функція є однозначно визначена оскільки з умови теореми випливає рівність інтегралів на усіх кривих від до . Звідси отримуємо, що є похідною :

Зокрема є голоморфною і, як наслідок, аналітичною. Відповідно також є голоморфною і аналітичною.

Застосування[ред. | ред. код]

Теорема Морери часто використовується при доведенні аналітичності функцій. Одним з центральних тверджень при цьому є те, що якщо послідовність аналітичних функцій рівномірно сходиться до функції , то

тому, за теоремою Морери, гранична функція також буде голоморфною. Таким чином доводиться голоморфність багатьох функцій, визначених рядами і інтегралами, наприклад дзета-функції Рімана

і гамма-функції

Література[ред. | ред. код]

  1. Грищенко А.О., Нагнибіда М.І., Настасів П.П. Теорія функцій комплексної змінної. — К.: Вища школа, 1994. — 375 ст.
  2. Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ. — М.: Наука. — 1969, 577 стр.
  3. Ahlfors, Lars, Complex Analysis, McGraw-Hill, ISBN 978-0070006577
  4. Conway, John B. Functions of One Complex Variable I, Graduate Texts in Mathematics, Springer, ISBN 978-3540903284
  5. Rudin, Walter, Real and Complex Analysis, McGraw-Hill, ISBN 978-0070542341
  6. Zill Dennis G., Shanahan Patrick D., A first course in complex analysis with applications, Jones and Bartlett Publishers, Inc., ISBN 0763714372