Відмінності між версіями «Теорема Морери»

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку
[неперевірена версія][неперевірена версія]
м
Рядок 4: Рядок 4:
 
Якщо функція <math>f(z)\,</math> комплексного змінного <math>z\,</math> у відкритій області <math>D\,</math> [[Неперервна функція|неперервна]] і [[інтеграл]] від неї по будь-якому замкнутому [[контур]]у <math>\Gamma\subset D</math> рівний нулю, тобто
 
Якщо функція <math>f(z)\,</math> комплексного змінного <math>z\,</math> у відкритій області <math>D\,</math> [[Неперервна функція|неперервна]] і [[інтеграл]] від неї по будь-якому замкнутому [[контур]]у <math>\Gamma\subset D</math> рівний нулю, тобто
 
: <math>\int\limits_\Gamma\,f(z)\,dz=0</math>
 
: <math>\int\limits_\Gamma\,f(z)\,dz=0</math>
то <math>f(z)\,</math> - [[аналітична функція]] в <math>D\,</math>.
+
то <math>f(z)\,</math> [[аналітична функція]] в <math>D\,</math>.
   
 
Умову теореми можна послабити, обмежившись вимогою рівності нулю інтегралів, узятих по контуру довільного трикутника, що належить області <math>D\,</math>.
 
Умову теореми можна послабити, обмежившись вимогою рівності нулю інтегралів, узятих по контуру довільного трикутника, що належить області <math>D\,</math>.

Версія за 19:43, 15 грудня 2011

В комплексному аналізі Теорема Морери дає достатні умови аналітичності неперервних комплекснозначних функцій. Названа на честь італійського математика Гіасінто Морери.

Твердження

Якщо функція комплексного змінного у відкритій області неперервна і інтеграл від неї по будь-якому замкнутому контуру рівний нулю, тобто

то аналітична функція в .

Умову теореми можна послабити, обмежившись вимогою рівності нулю інтегралів, узятих по контуру довільного трикутника, що належить області .

Доведення

В доведенні спершу знаходиться первісна для функції , після чого твердження випливає з факту, що голоморфні функції є аналітичними.

Без втрати загальності можна вважати область зв'язаною. Зафіксувавши деяку точку в області , визначимо функцію в наступною формулою:

Інтеграл може бути взятий по довільній кривій в від до . Функція є однозначно визначена оскільки з умови теореми випливає рівність інтегралів на усіх кривих від до . Звідси отримуємо, що є похідною :

Зокрема є голоморфною і, як наслідок, аналітичною. Відповідно також є голоморфною і аналітичною.

Застосування

Теорема Морери часто використовується при доведенні аналітичності функцій. Одним з центральних тверджень при цьому є те, що якщо послідовність аналітичних функцій рівномірно сходиться до функції , то

тому, по теоремі Морери, гранична функція також буде голоморфною. Таким чином доводиться голоморфність багатьох функцій, визначених рядами і інтегралами, наприклад дзета-функції Рімана

і гамма-функції

Література

  1. Грищенко А.О., Нагнибіда М.І., Настасів П.П. Теорія функцій комплексної змінної. — К.: Вища школа, 1994. — 375 ст.
  2. Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ. — М.: Наука. — 1969, 577 стр.
  3. Ahlfors, Lars, Complex Analysis, McGraw-Hill, ISBN 978-0070006577
  4. Conway, John B. Functions of One Complex Variable I, Graduate Texts in Mathematics, Springer, ISBN 978-3540903284
  5. Rudin, Walter, Real and Complex Analysis, McGraw-Hill, ISBN 978-0070542341
  6. Zill Dennis G., Shanahan Patrick D., A first course in complex analysis with applications, Jones and Bartlett Publishers, Inc., ISBN 0763714372