Відмінності між версіями «Теорема Морери»

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку
[неперевірена версія][неперевірена версія]
м (стильові правлення)
Рядок 1: Рядок 1:
В [[комплексний аналіз|комплексному аналізі]] '''Теорема Морери''' дає достатні умови [[аналітична функція|аналітичності]] [[неперервна функція|неперервних]] комплекснозначних функцій. Названа на честь італійського математика [[Гіасінто Морера|Гіасінто Морери]].
+
У [[комплексний аналіз|комплексному аналізі]] '''Теорема Морери''' дає достатні умови [[аналітична функція|аналітичності]] [[неперервна функція|неперервних]] комплекснозначних функцій. Названа на честь італійського математика [[Гіасінто Морера|Гіасінто Морери]].
   
 
== Твердження ==
 
== Твердження ==
Рядок 25: Рядок 25:
 
: <math>\oint \lim_{n\to\infty} f_n(z) dz = \lim_{n\to\infty} \oint f_n(z) dz = 0</math>
 
: <math>\oint \lim_{n\to\infty} f_n(z) dz = \lim_{n\to\infty} \oint f_n(z) dz = 0</math>
   
тому, по теоремі Морери, гранична функція також буде голоморфною. Таким чином доводиться голоморфність багатьох функцій, визначених рядами і інтегралами, наприклад [[Дзета-функція Рімана|дзета-функції Рімана]]
+
тому, за теоремою Морери, гранична функція також буде голоморфною. Таким чином доводиться голоморфність багатьох функцій, визначених рядами і інтегралами, наприклад [[Дзета-функція Рімана|дзета-функції Рімана]]
 
: <math>\zeta(s) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^s}</math>
 
: <math>\zeta(s) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^s}</math>
 
і [[Гамма-функція|гамма-функції]]
 
і [[Гамма-функція|гамма-функції]]

Версія за 20:36, 20 грудня 2011

У комплексному аналізі Теорема Морери дає достатні умови аналітичності неперервних комплекснозначних функцій. Названа на честь італійського математика Гіасінто Морери.

Твердження

Якщо функція комплексного змінного у відкритій області неперервна і інтеграл від неї по будь-якому замкнутому контуру рівний нулю, тобто

то аналітична функція в .

Умову теореми можна послабити, обмежившись вимогою рівності нулю інтегралів, узятих по контуру довільного трикутника, що належить області .

Доведення

В доведенні спершу знаходиться первісна для функції , після чого твердження випливає з факту, що голоморфні функції є аналітичними.

Без втрати загальності можна вважати область зв'язаною. Зафіксувавши деяку точку в області , визначимо функцію в наступною формулою:

Інтеграл може бути взятий по довільній кривій в від до . Функція є однозначно визначена оскільки з умови теореми випливає рівність інтегралів на усіх кривих від до . Звідси отримуємо, що є похідною :

Зокрема є голоморфною і, як наслідок, аналітичною. Відповідно також є голоморфною і аналітичною.

Застосування

Теорема Морери часто використовується при доведенні аналітичності функцій. Одним з центральних тверджень при цьому є те, що якщо послідовність аналітичних функцій рівномірно сходиться до функції , то

тому, за теоремою Морери, гранична функція також буде голоморфною. Таким чином доводиться голоморфність багатьох функцій, визначених рядами і інтегралами, наприклад дзета-функції Рімана

і гамма-функції

Література

  1. Грищенко А.О., Нагнибіда М.І., Настасів П.П. Теорія функцій комплексної змінної. — К.: Вища школа, 1994. — 375 ст.
  2. Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ. — М.: Наука. — 1969, 577 стр.
  3. Ahlfors, Lars, Complex Analysis, McGraw-Hill, ISBN 978-0070006577
  4. Conway, John B. Functions of One Complex Variable I, Graduate Texts in Mathematics, Springer, ISBN 978-3540903284
  5. Rudin, Walter, Real and Complex Analysis, McGraw-Hill, ISBN 978-0070542341
  6. Zill Dennis G., Shanahan Patrick D., A first course in complex analysis with applications, Jones and Bartlett Publishers, Inc., ISBN 0763714372