Теорема Морери

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Версія від 23:36, 28 січня 2010, створена IhorLviv (обговорення | внесок) (Створена сторінка: В комплексному аналізі '''Теорема Морери''' дає достатні умови [[анал...)
(різн.) ← Попередня версія | Поточна версія (різн.) | Новіша версія → (різн.)
Перейти до навігації Перейти до пошуку

В комплексному аналізі Теорема Морери дає достатні умови аналітичності неперервних комплекснозначних функцій. Названа на честь італійського математика Гіасінто Морери.

Твердження

Якщо функція комплексного змінного у відкритій області неперервна і інтеграл від неї по будь-якому замкнутому контуру рівний нулю, тобто

то - аналітична функція в .

Умову теореми можна послабити, обмежившись вимогою рівності нулю інтегралів, узятих по контуру довільного трикутника, що належить області .

Доведення

В доведенні спершу знаходиться первісна для функції , після чого твердження випливає з факту, що голоморфні функції є аналітичними.

Без втрати загальності можна вважати область зв'язаною. Зафіксувавши деяку точку в області , визначимо функцію в наступною формулою:

Інтеграл може бути взятий по довільній кривій в від до . Функція є однозначно визначена оскільки з умови теореми випливає рівність інтегралів на усіх кривих від до . Звідси отримуємо, що є похідною :

Зокрема є голоморфною і, як наслідок, аналітичною. Відповідно також є голоморфною і аналітичною.

Застосування

Теорема Морери часто використовується придоведенні аналітичності функцій. Одним з центральних тверджень при цьому є те, що якщо послідовність аналітичних функцій рівномірно сходиться до функції , то

тому, по теоремі Морери, гранична функція також буде голоморфною. Таким чином доводиться голоморфність багатьох функцій, визначених рядами і інтегралами, наприклад дзета-функції Рімана

і гамма-функції

Література

  1. Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ. — М.: Наука. — 1969, 577 стр.
  2. Ahlfors, Lars, Complex Analysis, McGraw-Hill, ISBN 978-0070006577
  3. Conway, John B. Functions of One Complex Variable I, Graduate Texts in Mathematics, Springer, ISBN 978-3540903284
  4. Rudin, Walter, Real and Complex Analysis, McGraw-Hill, ISBN 978-0070542341
  5. Zill Dennis G., Shanahan Patrick D., A first course in complex analysis with applications, Jones and Bartlett

Publishers, Inc., ISBN 0763714372