Теорема Паулі

Теорема Паулі про зв'язок спіну зі статистикою - теорема квантової теорії поля, яка пов'язує спін вільних одночастинкових станів зі статистикою (Бозе-Ейнштейна чи Фермі-Дірака), яка їх описує. Теорема була сформульована та доведена Вольфгангом Паулі у 1940-му році у статті "Зв'язок між спіном і статистикою".

Формулювання теореми

Теорема Паулі зазвичай формулюється наступним чином:

Нехай простір станів фізичної системи має додатно визначену метрику, і кожному стану відповідає додатня енергія. Тоді у локальній лоренц-інваріантній теорії поля, в якій виконуються ці дві умови, поля, які описують частинки із цілим спіном, локально комутують між собою та із спінорними полями, а поля, що описують частинки із напівцілим спіном, локально антикомутують.

Доведення теореми

1. Отже, нехай $\ x,y$ - довільні точки простору Мінковського, розділені простороподібним інтервалом $\ (x-y)^{2}=(t_{x}-t_{y})^{2}-(\mathbf {x} -\mathbf {y} )^{2}<0$. За час $\ t_{x}-t_{y}$ збурення, яке вийшло з точки $\ x$ та розповсюджується із швидкістю в $\ c$, пройде відстань $\ c|t_{x}-t_{y}|$ меншу, ніж $\ |\mathbf {x} -\mathbf {y} |$. Тому точка $\ y$ не зазнає дії сигналу, який вийшов із точки $\ x$, а отже, вимірювання у точках $\ x,y$ не вплинуть один на одного. Звідси випливає, що оператори, які відповідають фізичним величинам $\ L(x),L(y)$ при $\ (x-y)^{2}<0$, повинні комутувати один із одними:

$\ [{\hat {L}}(x),{\hat {L}}(y)]=0,\quad (x-y)^{2}<0\quad (1)$.

Як правило, усі оператори квантової теорії поля, що відповідають основним фізичним величинам, є деякими функціями полів, точніше - поліномами виду

$\ {\hat {L}}_{AB}^{\sigma }=\sum _{A_{i},B_{j}}G_{AA_{1}...A_{n}BB_{1}...B_{m}}^{\sigma }{\hat {\Psi }}_{A_{1}}(x)...{\hat {\Psi }}_{A_{n}}(x){\hat {\Psi }}_{B_{1}}^{\dagger }(x){\hat {\Psi }}_{B_{m}}^{\dagger }(x)$.

Тут $\ G_{AA_{1}...A_{n}BB_{1}...B_{m}}^{\sigma }$ побудований із лоренц-коваріантних об'єктів - тензора Леві-Чивіта, метричного тензора, матриць Паулі, гамма-матриць, метрики спінорів тощо, $\ A_{i},B_{j}$ - набори спінорних індексів.

Це означає, що для виконання $\ (1)$ необхідно накласти одну з умов

$\ [{\hat {\psi }}_{A}(x),{\hat {\psi }}_{B}^{\dagger }(y)]_{\pm }=G_{AB}^{\pm }(x-y)D_{0}^{(\pm )}(x-y)$,

де $\ D_{0}(x-y)=0,\quad (x-y)^{2}<0$. Аналогічні рівності також повинні бути справедливі для всіх можливих (анти)комутаторів полів (два поля ермітово спряжені, два неспряжені). До аналогічного результату можна прийти, вимагаючи від S-оператора лоренц-інваріантності.

Масивним полем спіну $\ s$ $\ {\hat {\Psi }}_{A}(x)$ є об'єкт

$\ {\hat {\Psi }}_{A}(x)=\sum _{\sigma }\int {\frac {d^{3}\mathbf {p} }{\sqrt {(2\pi )^{3}2p_{0}}}}\left(k_{1}u_{A}^{\sigma }(\mathbf {p} ){\hat {a}}_{\sigma }(\mathbf {p} )e^{-ipx}+k_{2}v_{A}^{\sigma }(\mathbf {p} ){\hat {b}}_{\sigma }^{\dagger }(\mathbf {p} )e^{ipx}\right)$,

де мітка $\ \sigma$ пробігає $\ 2s+1$ значень, а коефіцієнтні функції пов'язані співвідношеннями

$\ s=k:u_{A}^{\sigma }(\mathbf {p} )=(-1)^{s+\sigma }v_{A}^{-\sigma }(\mathbf {p} )$,

якщо поле є полем цілого спіну, чи напівцілого спіну із відсутністю інваріантності відносно просторових інверсій, і

$\ u_{A}^{\sigma }(\mathbf {p} )=(-1)^{s+\sigma }\gamma _{5}v_{A}^{-\sigma }(\mathbf {p} )$,

якщо теорія вільного поля напівціого є інваріантною відносно просторових інверсій.

Безмасовим полем спіральності $\ \lambda$ є вираз

$\ {\hat {\Psi }}_{a_{1}...a_{2s}}^{(\lambda )}(x)=\int {\frac {d^{3}\mathbf {p} }{\sqrt {(2\pi )^{3}2|\mathbf {p} |}}}u_{a_{1}...a_{2s}}^{(-\lambda )}(\mathbf {p} )\left(k_{1}e^{-ipx}{\hat {a}}_{-\lambda }(\mathbf {p} )+k_{2}e^{ipx}{\hat {b}}_{\lambda }^{\dagger }(\mathbf {p} )\right),\quad s=\lambda$.

Безмасовим полем спіральності $\ -\lambda$ є вираз

$\ {\hat {\Psi }}_{{\dot {a}}_{1}...{\dot {a}}_{2s}}^{(-\lambda )}(x)=\int {\frac {d^{3}\mathbf {p} }{\sqrt {(2\pi )^{3}2|\mathbf {p} |}}}u_{{\dot {a}}_{1}...{\dot {a}}_{2s}}^{(-\lambda )}(\mathbf {p} )\left(k_{3}e^{-ipx}{\hat {a}}_{\lambda }(\mathbf {p} )+k_{4}e^{ipx}{\hat {b}}_{-\lambda }^{\dagger }(\mathbf {p} )\right),\quad s=\lambda$.

2. Нехай існує вакуумний стан, оператори народження та знищення утворюють фоківський базис та задовольняють одному із типів співвідношень - комутаторним чи антикомутаторним рівностям

$\ [{\hat {a}}_{\sigma }(\mathbf {p} ),{\hat {b}}_{\sigma {'}}(\mathbf {k} )]_{\pm }=[{\hat {a}}_{\sigma }(\mathbf {p} ),{\hat {b}}_{\sigma {'}}^{\dagger }(\mathbf {k} )]_{\pm }=[{\hat {a}}_{\sigma }^{\dagger }(\mathbf {p} ),{\hat {b}}_{\sigma {'}}(\mathbf {k} )]_{\pm }=[{\hat {a}}_{\sigma }^{\dagger }(\mathbf {p} ),{\hat {b}}_{\sigma {'}}^{\dagger }(\mathbf {k} )]_{\pm }=0$,

$\ [{\hat {a}}_{\sigma }(\mathbf {p} ),{\hat {a}}_{\sigma {'}}^{\dagger }(\mathbf {k} )]_{\pm }=[{\hat {b}}_{\sigma }(\mathbf {p} ),{\hat {b}}_{\sigma {'}}^{\dagger }(\mathbf {k} )]_{\pm }=\delta _{\sigma \sigma {'}}\delta (\mathbf {p} -\mathbf {k} )$,

причому для одного поля $\ {\hat {a}},{\hat {b}}$ мають статистику одного типу (комутаційну чи антикомутаційну).

Із цих співвідношень одразу слідує, що

$\ [{\hat {\Psi }}_{A}(x),{\hat {\Psi }}_{B}(y)]_{\pm }=[{\hat {\Psi }}_{A}^{\dagger }(x),{\hat {\Psi }}_{B}^{\dagger }(y)]_{\pm }=0$.

3. Для випадку теорій цілого спіну та теорій напівцілого спіну, неінваріантних відносно операції просторової інверсії, (анти)комутатор полів має вигляд

$\ [{\hat {\Psi }}_{A}(x),{\hat {\Psi }}_{B}^{\dagger }(y)]_{\pm }=G_{AB}\left(i{\frac {\partial }{\partial x}}\right)(|k_{1}|^{2}D_{m}(x-y)\pm (-1)^{2s}D_{m}(y-x)),\quad D_{m}(x-y)=\int {\frac {d^{3}\mathbf {p} }{(2\pi )^{3}2p_{0}}}e^{-ip(x-y)}\qquad (2)$.

Тут $\ G_{AB}\left(i{\frac {\partial }{\partial x}}\right)$ - поліном по похідним відповідно лише парних та непарних степенів для цілого та напівцілого спіну.

Для просторовоподібних інтервалів $\ D_{m}(x-y)=D_{m}(y-x)$, тому $\ (2)$ набуває вигляду

$\ [{\hat {\Psi }}_{A}(x),{\hat {\Psi }}_{B}^{\dagger }(y)]_{\pm }=G_{AB}\left(i{\frac {\partial }{\partial x}}\right)D_{m}(x-y)(|k_{1}|^{2}\pm (-1)^{2s}|k_{2}|^{2})$.

У результаті при $\ |k|_{1}=|k_{2}|$ маємо

$\ [{\hat {\Psi }}_{A}(x),{\hat {\Psi }}_{B}^{\dagger }(y)]_{\pm }=|k_{1}|G_{AB}\left(i{\frac {\partial }{\partial x}}\right)D_{m}(x-y)(1\pm (-1)^{2s})\qquad (3)$.

Звідси очевидно, що у випадку цілого спіну для рівності нулю виразу $\ (3)$ треба вибирати комутатор, а у випадку напівцілого - антикомутатор.

3. Для випадку теорій напівцілого спіну, інваріантних відносно операції просторової інверсії, (анти)комутатор має вигляд

$\ [{\hat {\Psi }}_{A}(x),{\hat {\bar {\Psi }}}_{B}(y)]_{\pm }=(i\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }+m)R_{AB}\left(i{\frac {\partial }{\partial x}}\right)\left(|k_{1}|^{2}D_{m}(x-y)\mp |k_{2}|^{2}D_{m}(y-x)\right)$.

Тут поліном $\ R_{AB}\left(i{\frac {\partial }{\partial x}}\right)$ має доданки, що складаються із добутків парних кількостей похідних та гамма-матриць, і доданки, що складаються із добутків непарних кількостей похідних та гамма-матриць. Повторюючи міркування п. 3, обираємо $\ |k_{1}|=|k_{2}|$ та знак, що відповідає антикомутатору.

Теорема доведена повністю.

Див. також

• Бозон
• Ферміон