Теорема Рауха про порівняння

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку
Версія для друку більше не підтримується і може мати помилки обробки. Будь ласка, оновіть свої закладки браузера, а також використовуйте натомість базову функцію друку у браузері.

Теорема Рауха про порівняння — фундаментальний результат ріманової геометрії, доведений американським математиком Гаррі Раухом[1].

Теорема стверджує, що в просторах з більшою секційною кривиною геодезичні лінії сходяться швидше.

Твердження теореми

Нехай і є рімановими многовидами із рімановими метриками і , і є геодезичними із одиничною швидкістю і нормальні ненульові поля Якобі вздовж і . Нехай також додатково виконуються умови:

  1. і не мають спряжених точок вздовж і на інтервалі .
  2. .
  3. Вектори і мають однакову довжину у відповідних ріманових метриках (оскільки поля Якобі є ненульовими, то ця довжина є більшою 0).
  4. Секційні кривини многовидів і у відповідних точках геодезичних ліній всюди задовольняють нерівність , де — довільна 2-площина відповідного дотичного простору, що містить , а — довільна 2-площина відповідного дотичного простору, що містить .

Тоді для всіх .

Доведення

Нехай для простоти позначень для . Похідні цих функцій є рівні:

Із відсутності спряжених точок випливає, що для всіх Тому можна ввести функції і де, як у статті поле Якобі для деякого векторного поля над геодезичною лінією позначається:

Із виразів для похідних і властивостей полів Якобі описаних у відповідній статті випливають рівності Розв'язки цих диференціальних рівнянь для всіх можна записати як:

Також і з запису для похідних також Натомість

Аналогічно

Згідно другої властивості у твердженні теореми ці два вирази є рівними між собою і не рівними нулю, тому і тому згідно правила Лопіталя також

Як наслідок Звідси для доведення теореми достатньо довести, що для всіх

Нехай — деяка точка і Векторні поля і є полями Якобі над відповідними геодезиками і вони мають одиничну довжину у точках і .

Нехай і позначають підпростори дотичних просторів у точках і , що є ортогональними до і Нехай є лінійним ізоморфізмом із у для якого і Також позначимо ) оператор паралельного перенесення вздовж геодезичної лінії із точки у точку (відповідно вздовж геодезичної лінії із точки у точку ). Тоді також можна визначити оператори із у із рівнянь

Нехай Оскільки переводить ортонормальну сисмему паралельних векторних полів, то координати і у відповідних системах є рівними, як і координати і Звідси випливає, що і також для всіх

Для введених векторних полів справедливими є нерівності:

Перша нерівність випливає із мінімізуючої властивості полів Якобі для у статті поле Якобі (оскільки за побудовою ), а друга — із властивості 4 у твердженні теореми і означення і властивостей А саме оскільки і , а також то з випливає, що

Остаточно нерівність випливає із врахуванням того, що і означення і

Але і аналогічно і з попередньої нерівності Оскільки точка була вибрана довільно, то для всіх

Наслідки

Нехай — ріманів многовид, і геодезична лінія не містить спряжених точок, тоді:

  • Якщо секційна кривина многовида є невід'ємною, то для будь-якого поля Якобі такого, що :
  • Якщо секційна кривина є не меншою 1, то
  • Якщо секційна кривина не більшою -1, то

Примітки

  1. Rauch, H. E. A contribution to differential geometry in the large // Ann. Math.. — 1951. — Т. 54. — С. 38–55. — DOI:10.2307/1969309.. MR42765

Див. також

Література

  • Громол Д., Клингенберг В., Мейер В., Риманова геометрия в целом, Мир, 1971, с. 343.
  • Бураго Ю.Д., Залгаллер В.А. Введение в риманову геометрию. — Санкт-Петербург : Наука. — ISBN 5-02-024606-9.
  • Kobayashi, S.; Nomizu, K. (1963). Foundations of differential geometry. John Wiley & Sons. ISBN 0-470-49647-9.  (англ.)