Точний функтор

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку

Точний функторфунктор, який переводить точні послідовності в точні послідовності. Точні функтори є зручними для обчислень в гомологічній алгебрі, оскільки їх можна відразу застосовувати до резольвенти об'єктів. Велика частина гомологічної алгебри була побудована для того, щоб зробити можливою роботу з функторами, які є в певному сенсі близькими до точних.

Означення

Нехай і абелеві категорії і — адитивний функтор. Розглянемо довільну коротку точну послідовність:

об'єктів .

Якщо коваріантний функтор, називається:

  • Напівточним, якщо є точною послідовністю;
  • Точним зліва, якщо є точною послідовністю;
  • Точним справа, якщо є точною послідовністю;
  • Точним, якщо є точною послідовністю.

Якщо контраваріантний функтор з в , то називається:

  • Напівточним, якщо є точною послідовністю;
  • Точним зліва, якщо є точною послідовністю;
  • Точним справа, якщо є точною послідовністю;
  • Точним, якщо є точною послідовністю.

Не обов'язково брати в якості вихідної послідовність саме такого виду; наприклад, точний функтор можна визначити як функтор, що переводить точні послідовності виду в точні послідовності.

Існує також більш загальне означення яке вводить поняття точних функторів для більш загальних категорій, не обов'язково абелевих: коваріантний функтор точний зліва тоді і тільки тоді, коли він переводить скінченні границі в границі. При заміні слова «коваріантний» на «контраваріантний» або «зліва» на «справа» потрібно одночасно замінити «границі» на «кограниці». Точний функтор — функтор, точний зліва і справа.

Приклади

  • Будь-яка еквівалентність абелевих категорій є точним функтором.
  • Найбільш важливий приклад точного зліва функтора — функтор Hom. Якщо — довільна локально мала абелева категорія і — її об'єкт, то — коваріантний адитивний функтор в категорію абелевих груп [1]. Цей функтор є точним тоді і тільки тоді, коли є проективним модулем. Відповідно, контраваріантний функтор є точним тоді і тільки тоді, коли є ін'ективним модулем.
  • Нехай є полем і векторним простором над . Функтор, що ставить векторному простору у відповідність його спряжений простір є контраваріантним точним функтором з категорії -векторних просторів у себе (оскільки є ін'єктивним -модулем).
  • Нехай топологічний простір і розглянемо абелеву категорію всіх пучків абелевих груп на . Функтор, що ставить у відповідність кожному такому пучку групу глобальних перетинів є точним зліва.
  • Якщо — правий -модуль, то можливо визначити функтор з категорії лівих -модулів в за допомогою тензорного добутку . Цей функтор є точним справа; він є точним тоді і тільки тоді, коли плоский модуль.
  • Нехай — комутативне кільце, — його мультиплікативна підмножина. Функтор, що кожному -модулю ставить у відповідність модуль часток є точним функтором із категорії -модулів у категорію -модулів.

Примітки

  1. Jacobson, 2009, с. 98, Theorem 3.1

Література