Відмінності між версіями «Формула Лейбніца для визначників»

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку
[перевірена версія][неперевірена версія]
(наголос)
Рядок 3: Рядок 3:


через перестановки елементів матриці. Для ''n''×''n'' матриці формула така
через перестановки елементів матриці. Для ''n''×''n'' матриці формула така
: <math>\det(A) = \sum_{\sigma \in S_n} \sgn(\sigma) \prod_{i = 1}^n a_{\sigma(i), i},</math>
: <math>\det(A) = \sum_{\sigma \in S_n} \sgn(\sigma) \prod_{i = 1}^n a_{i, \sigma(i)},</math>


де sgn&nbsp;— парність [[перестановка|перестановки]] у [[група перестановок|групі перестановок]] ''S''<sub>''n''</sub>, яка повертає +1 і −1 для парних і непарних, відповідно.
де sgn&nbsp;— парність [[перестановка|перестановки]] у [[група перестановок|групі перестановок]] ''S''<sub>''n''</sub>, яка повертає +1 і −1 для парних і непарних, відповідно.

Версія за 13:15, 7 липня 2021

Формула Лейбніца виражає визна́чник квадратної матриці

через перестановки елементів матриці. Для n×n матриці формула така

де sgn — парність перестановки у групі перестановок Sn, яка повертає +1 і −1 для парних і непарних, відповідно.

Інший поширений запис цієї формули із використанням символу Леві-Чивіти і нотації Ейнштейна

може бути більш знайомим для фізиків.

Пряме обчислення формули Лейбніца з означення потребує дій, тобто кількість операцій асимптотично пропорційна до n факторіал — бо n! це число перестановок порядку n. Це непрактично складно для великих n. Натомість, визначник можна обчислити за O(n3) дій, використовуючи LU розклад матриці (зазвичай через метод Гауса або подібний), в цьому випадку а визначники трикутних матриць L і U є просто добутками їх діагональних елементів. (Однак, у практичному застосуванні чисельної лінійної алгебри, явний розрахунок визначника необхідний рідко.)