Формула Муавра

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Версія від 11:55, 18 травня 2020, створена BunykBot (обговорення | внесок) (вікіфікація)
(різн.) ← Попередня версія | Поточна версія (різн.) | Новіша версія → (різн.)
Перейти до навігації Перейти до пошуку

Формула Муавра — формула, за якою для будь-якого комплексного числа та будь-якого цілого числа виконується рівність:

Важливість формули полягає у поєднанні двох розділів математики — тригонометрії та комплексного аналізу.

Вперше опублікована у 1730 році у праці Абрахама де Муавра «Miscellanea analytica».

Зв’язок з формулою Ейлера[ред. | ред. код]

Історично формулу Муавра було доведено раніше за формулу Ейлера:

проте її легко отримати з неї. Згідно закону піднесення до цілого степеня [1]:

далі по формулі Ейлера:

Доведення по індукції[ред. | ред. код]

Слушність формули Муавра може бути доведена для натуральних чисел за допомогою математичної індукції, а потім поширена на всю множину цілих чисел. Позначимо як S(n) таке твердження (n - ціле):

Вочевидь S(1) певне, оскільки при n = 1 твердження обертається на тотожність. Припустимо, що S(k) певне для будь-якого натурального k:

Розглянемо S(k + 1):

Дивіться Формули для суми аргументів тригонометричних функцій.

Отже, ми довели, що в разі певності S(k) також певне S(k + 1). Зважаючи на певність S(1), згідно принципу математичної індукції приходимо до висновку, що твердження певне для всіх натуральних чисел. Далі, вочевидь S(0) також певне, оскільки cos(0x) + i sin(0x) = 1 + 0i = 1. Насамкінець , в разі негативного показника n, розглядатимемо степінь як обернену величину степеня з натуральним показником n:

Рівність (*) є результатом тотожності:

де z = cos (nx) + i sin (nx).

Отже, S(n) певне для всієї множини цілих чисел n.

Обчислення коренів n ступеня[ред. | ред. код]

Схожа формула може бути використана й и при обчисленні корнів n-й ступеня з ненулевого комплексного числа:

де .

З основної теореми алгебри випливає, що корени -й ступени з комплексного числа завжди існуюсть, та їх кількість дорівнює . На комплексній площіні, як видно з формули, усі ці корені є вершинами правильного n-кутника, що вписан у коло радиуса з центром у нулі.

При з формули Муавра випливає вираз для обчислення значень тригонометричних функцій з кратним аргументом.

Див. також[ред. | ред. код]

  1. Якщо b - неціле число, то - багатозначна функція змінної a, і є лише одним з її значень.