Відмінності між версіями «Фундаментальна область»

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку
[перевірена версія][очікує на перевірку]
 
(Не показано 3 проміжні версії 2 користувачів)
Рядок 1: Рядок 1:
 
'''Фундаментальною областю''' групи рухів '''G''' називається така множина '''F''' точок простору, що для будь-якої точки '''x''' простору є рівно одна точка її '''G-'''орбіти в '''F'''.
 
'''Фундаментальною областю''' групи рухів '''G''' називається така множина '''F''' точок простору, що для будь-якої точки '''x''' простору є рівно одна точка її '''G-'''орбіти в '''F'''.
   
Квадрат <math>[0,1)\times[0,1)</math> є фундаментальною областю <math>\mathbb{R}^2</math> по відношенню до групи
+
Квадрат <math>[0,1)\times[0,1)</math> є фундаментальною областю <math>\mathbb{R}^2</math> по відношенню до групи
<math>\mathbb{Z}^2</math>.
+
<math>\mathbb{Z}^2</math>.
   
 
Точку <math>(x,y) \in \mathbb{R}^2</math> можна записати у вигляді
 
Точку <math>(x,y) \in \mathbb{R}^2</math> можна записати у вигляді
 
<math>(u + n, v + m)</math> з <math>(u,v) \in [0,1)\times[0,1), (n,m) \in \mathbb{Z}^2</math>.
 
<math>(u + n, v + m)</math> з <math>(u,v) \in [0,1)\times[0,1), (n,m) \in \mathbb{Z}^2</math>.
   
  +
[[Файл:Lattice torsion points.svg|right|thumb|300px|Ґратка на комплексній площині та її фундаментальна область ([[фактор-простір]] — тор).]]
==Див. також==
 
  +
Якщо задано дію групи G на топологічному просторі X за допомогою [[гомеоморфізм]]ів, фундаментальна область для таких дій&nbsp;— це множина D представників орбіт. Звичайно потрібно, щоб ця множина була топологічно простою і задавалася одним з кількох конкретних способів. Звичайне умова&nbsp;— щоб D була майже відкритою множиною в тому сенсі, що D має бути [[Симетрична різниця множин|симетричною різницею]] відкритої множини в G з множиною нульової міри для деякої (квазі) інваріантної міри на X. Фундаментальна область завжди містить вільну регулярну множину U, відкриту множину, яка пересувається дією G в незв'язні копії і майже так само, як D, є орбітами. Часто потрібно, щоб D було повною множиною представників суміжних класів з деякими повтореннями, але щоб повторювана частина мала нульову міру. Це звичайна ситуація в [[Ергодичність|ергодичних теоріях]]. Якщо фундаментальна область використовується для обчислення інтеграла на X/G, множина нульової міри ролі не грає.
   
  +
Наприклад, якщо X є евклідовим простором Rn розмірності n і G&nbsp;— ґратка Zn, що діє на ній як паралельні перенесення, [[фактор-простір|фактор-прострором]] X/G буде n-вимірний тор. Можна взяти в якості фундаментальної області D [0,1) n, що відрізняється від відкритої множини (0,1) n на множину нульової міри, або замкнутий одиничний куб [0,1] n, межа якого складається з точок, орбіти яких мають більше одного представника в D.
  +
 
== Див. також ==
 
* [[Фундаментальна група]]
 
* [[Фундаментальна група]]
   
==Джерела==
+
== Джерела ==
 
* [http://mathworld.wolfram.com/FundamentalDomain.html Fundamental Domain]
   
 
{{math-stub}}
*[http://mathworld.wolfram.com/FundamentalDomain.html Fundamental Domain]
 
   
 
[[Категорія:Топологічні групи]]
{{math-stub}}
 
{{Перекласти|ru|Фундаментальная область}}
 
[[Категорія:Теорія груп]]
 
 
[[Категорія:Гармонічний аналіз]]
 
[[Категорія:Гармонічний аналіз]]

Поточна версія на 12:27, 20 лютого 2021

Фундаментальною областю групи рухів G називається така множина F точок простору, що для будь-якої точки x простору є рівно одна точка її G-орбіти в F.

Квадрат є фундаментальною областю по відношенню до групи .

Точку можна записати у вигляді з .

Ґратка на комплексній площині та її фундаментальна область (фактор-простір — тор).

Якщо задано дію групи G на топологічному просторі X за допомогою гомеоморфізмів, фундаментальна область для таких дій — це множина D представників орбіт. Звичайно потрібно, щоб ця множина була топологічно простою і задавалася одним з кількох конкретних способів. Звичайне умова — щоб D була майже відкритою множиною в тому сенсі, що D має бути симетричною різницею відкритої множини в G з множиною нульової міри для деякої (квазі) інваріантної міри на X. Фундаментальна область завжди містить вільну регулярну множину U, відкриту множину, яка пересувається дією G в незв'язні копії і майже так само, як D, є орбітами. Часто потрібно, щоб D було повною множиною представників суміжних класів з деякими повтореннями, але щоб повторювана частина мала нульову міру. Це звичайна ситуація в ергодичних теоріях. Якщо фундаментальна область використовується для обчислення інтеграла на X/G, множина нульової міри ролі не грає.

Наприклад, якщо X є евклідовим простором Rn розмірності n і G — ґратка Zn, що діє на ній як паралельні перенесення, фактор-прострором X/G буде n-вимірний тор. Можна взяти в якості фундаментальної області D [0,1) n, що відрізняється від відкритої множини (0,1) n на множину нульової міри, або замкнутий одиничний куб [0,1] n, межа якого складається з точок, орбіти яких мають більше одного представника в D.

Див. також[ред. | ред. код]

Джерела[ред. | ред. код]