Функція Гудермана

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку
Графік функції Гудермана

Функція Гудермана(також гіперболічна амплітуда або гудерманіан) — спеціальна функція, що пов'язує тригонометричні і гіперболічні функції. Названа на честь німецького математика Крістофа Гудермана.

Функція визначена як:

Головні властивості

Функція Гудермана визначає зв'язок, який існує між тригонометричними і гіперболічними функціями без застосування комплексного аналізу.

Експоненційну функцію можна виразити через функцію Гудермана:

Похідна функції Гудермана рівна:

Розклад в ряд Тейлора для функції Гудермана має вигляд:

Обернена функція

Обернена функція до функції Гудермана (що позначається як або ) рівна:

Окрім того справедливою є рівність:

Похідна оберненої функції Гудермана рівна:

Похідні, ряди, інтеграли

Производні функції Гудермана і оберненої функції Гудермана дорівнюють відповідно гіперболічному і тригонометричному секансу:

Розклад у ряд:

Коефіцієнти розкладу гудерманіана і антигудерманіана при членах однакового степеня збігаються за модулем, однак у членів зі степенями 3, 7, 11,... коефіцієнти розкладу гудерманіана від'ємні, а в оберненої функції — додатні.

Інтеграл функції Гудермана:

где Li2дилогарифм.

Гудерманіан і антігудерманіан, що дозволяють легко переходити від гіперболічних до тригонометричних функцій і назад, використовуються для аналітичного інтегрування методом тригонометричної і гіперболічної підстановки.

Див. також

Посилання