Відмінності між версіями «Функція Діріхле»

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку
[неперевірена версія][неперевірена версія]
 
Рядок 9: Рядок 9:
 
* Функція Діріхле є [[неперервність|розривною]] в кожній точці своєї [[область визначення|області визначення]].
 
* Функція Діріхле є [[неперервність|розривною]] в кожній точці своєї [[область визначення|області визначення]].
 
* Функція Діріхле не є [[інтеграл Рімана|інтегровною за Ріманом]], проте є [[інтеграл Лебега|інтегровною за Лебегом]].
 
* Функція Діріхле не є [[інтеграл Рімана|інтегровною за Ріманом]], проте є [[інтеграл Лебега|інтегровною за Лебегом]].
* Функція Діріхле належить до другого класу Бера. Тобто, її не можна представити як [[границя послідовності|границю послідовності]] неперервних функцій, але можна задати як границю границь послідовності неперервних функцій. Наприклад:
+
* Функція Діріхле належить до другого класу Бера. Тобто, її не можна представити як [[границя послідовності|границю послідовності]] неперервних функцій, але можна задати як [[Повторна границя|границю границь]] послідовності неперервних функцій. Наприклад:
   
 
:: <math>D(x)=\lim_{m\to\infty}\lim_{n\to\infty}\cos^{2n}m!\pi x,</math>
 
:: <math>D(x)=\lim_{m\to\infty}\lim_{n\to\infty}\cos^{2n}m!\pi x,</math>
Рядок 16: Рядок 16:
   
 
=== Інтеграл Рімана ===
 
=== Інтеграл Рімана ===
Функція Діріхле не є інтегровною за Ріманом в жодній області інтегрування, оскільки для будь-якого розбиття ''Z'' на області інтегрування всі проміжки розбиття <math>\left [ x_{k-1}, x_k \right ]</math> містять як раціональні, так і ірраціональні числа і тому
+
Функція Діріхле не є інтегровною за Ріманом в жодній області інтегрування, оскільки для будь-якого розбиття ''Z'' на області інтегрування всі проміжки розбиття <math>\left [ x_{k-1}, x_k \right ]</math> містять як раціональні, так і ірраціональні числа і тому нижня сума рівна
нижня сума рівна
 
 
: <math>U(Z)=\sum_{k=1}^n(x_k-x_{k-1})\cdot\inf_{x_{k-1}<x<x_k}f(x)=0,</math>
 
: <math>U(Z)=\sum_{k=1}^n(x_k-x_{k-1})\cdot\inf_{x_{k-1}<x<x_k}f(x)=0,</math>
 
а верхня сума рівна
 
а верхня сума рівна

Поточна версія на 21:55, 12 вересня 2019

Функція Діріхле — функція визначена на множині дійсних чисел, що набуває значення 1 якщо аргумент є раціональним числом і значення 0 якщо аргумент є числом ірраціональним. Формально визначення можна записати так:

де Q множина раціональних чисел, а R — множина дійсних чисел.

Властивості[ред. | ред. код]

Інтеграли від функції Діріхле[ред. | ред. код]

Інтеграл Рімана[ред. | ред. код]

Функція Діріхле не є інтегровною за Ріманом в жодній області інтегрування, оскільки для будь-якого розбиття Z на області інтегрування всі проміжки розбиття містять як раціональні, так і ірраціональні числа і тому нижня сума рівна

а верхня сума рівна

що дорівнює довжині області інтегрування. Оскільки дані твердження виконуються для будь-якого розбиття то границя нижньої суми, при прямуванні довжини найбільшого проміжку розбиття до нуля, не рівна границі верхньої. Отже функція не є інтегровною.

Інтеграл Лебега[ред. | ред. код]

Функція Діріхле є простою, тобто приймає скінченну кількість значень, тому маємо рівність для інтеграла в області

,

де позначає міру Лебега.

Оскільки як підмножина раціональних чисел має міру нуль, то також весь інтеграл рівний нулю:

Див. також[ред. | ред. код]

Література[ред. | ред. код]