Характеристичний поліном

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Версія від 13:11, 28 червня 2019, створена IhorLviv (обговорення | внесок) (→‎Властивості)
(різн.) ← Попередня версія | Поточна версія (різн.) | Новіша версія → (різн.)
Перейти до навігації Перейти до пошуку

Характеристичний поліном квадратної матриці розміру — це многочлен степеня від змінної який дорівнює

, де одинична матриця порядку .

Мотивація[ред. | ред. код]

Скаляр є власним значенням матриці A для власного вектора тоді і тільки тоді коли:

чи

Оскільки то повинна бути виродженою, а отже:

.

Властивості[ред. | ред. код]

  • Неважко переконатися, що
  • Для матриць елементи яких комутативними є -алгебрами, характеристичний многочлен можна записати як:
    де — многочлени із раціональними коефіцієнтами, що описують залежність елементарних симетричних многочленів від степеневих симетричних многочленів у тотожностях Ньютона (тобто )
  • Характеристичні поліноми подібних матриць збігаються:
  • Характеристичні поліноми добутку квадратних матриць не залежать від порядку множників:

Характеристичне рівняння[ред. | ред. код]

Характеристичним рівнянням (або секулярним рівнянням) називається рівняння

Корені характеристичного полінома називаються характеристичними числами матриці

Тільки вони є власними значеннями матриці

Див. також[ред. | ред. код]

Джерела[ред. | ред. код]