Ренормгрупа: відмінності між версіями

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку
[перевірена версія][перевірена версія]
(Створення)
Мітки: Редагування з мобільного пристрою Редагування через мобільну версію Розширене редагування з мобільного
 
(Не показано 63 проміжні версії 2 користувачів)
Рядок 1: Рядок 1:
'''Ренормалізаційна група ''' або стисло '''ренормгрупа''' — апарат [[теоретична фізика| теоретичної фізики]], що дозволяє систематичне дослідження змін у фізичній системі при зміні масштабу, тобто при масштабних перетвореннях. У фізиці елементарних частинок це стосується зміни у відповідних законах взаємодії на масштабі енергій, на якому відбуваються модифікації фізичних процесів.
'''Ренормалізаційна група ''' або стисло '''ренормгрупа''' — апарат [[теоретична фізика| теоретичної фізики]], що дозволяє систематичне дослідження змін у фізичній системі при зміні масштабу, тобто при масштабних перетвореннях. У фізиці елементарних частинок це стосується зміни у відповідних законах взаємодії на масштабі енергій, на якому відбуваються модифікації фізичних процесів.


Поняття ренормгупи тісно зв'язане з поняттями масштабної інваріантності та конформаційної інваріантності, симетрій, коли система виглядає однаковою на кожному з масштабів ([[самоподібність|самоподібності]]){{efn|Масштабні перетворення є підмножиною конформаційних перетворень, які включають ще додаткові оператори спеціальних конформаційних перетворень.}}.
Поняття ренормгрупи тісно зв'язане з поняттями масштабної інваріантності та конформаційної інваріантності, симетрій, коли система виглядає однаковою на кожному з масштабів ([[самоподібність|самоподібності]]){{efn|Масштабні перетворення є підмножиною конформаційних перетворень, які включають ще додаткові оператори спеціальних конформаційних перетворень.}}.


Зміна масштабу аналогічна розглядання системи в мікроскоп зі змінною роздільною здатністю. У так званих перенормовних теоріях система на певному масштабі загалом виглядає так, наче вона складається з подібних між собою своїх копій дрібнішого масштабу, і ці компоненти описуються набором параметрів.
Зміна масштабу аналогічна розглядання системи в мікроскоп зі змінною роздільною здатністю. У так званих перенормовних теоріях система на певному масштабі загалом виглядає так, наче вона складається з подібних між собою своїх копій дрібнішого масштабу, і ці компоненти описуються набором параметрів.
Компоненти або фундаментальні змінні можуть бути атомами, елементарними частинками, атомарними спінами тощо. Параметри типово описують взаємодію між компонентами. Це можуть бути характеристики зв'язку, що задають сили, або масові параметри, або власне самі масові параметри. Може статися, що компоненти складають зі схожих між собою дрібніших.
Компоненти або фундаментальні змінні можуть бути атомами, елементарними частинками, атомарними спінами тощо. Параметри типово описують взаємодію між компонентами. Це можуть бути характеристики зв'язку, що задають сили, або власне самі масові параметри. Може статися, що компоненти складають зі схожих між собою дрібніших.


Наприклад, у [[квантова електродинаміка|квантовій електродинаміці]] [[електрон]], якщо приглянутися, виглядає так, наче він складається з електрона, [[ позитрон]]а і [[фотон]]а. Звичний електрон наче одягнений у шубу з інших частинок. Електричний заряд та маса голого електрона дещо відрізняються, і ця різниця визначається з рівнянь ренормгрупи.
Наприклад, у [[квантова електродинаміка|квантовій електродинаміці]] [[електрон]], якщо приглянутися, виглядає так, наче він складається з електрона, [[ позитрон]]а і [[фотон]]а. Звичний електрон наче одягнений у шубу з інших частинок. Електричний заряд та маса голого електрона дещо відрізняються, і ця різниця визначається з рівнянь ренормгрупи.

== Історія ==


Ідея масштабних перетворень та масштабної інваріантності у фізиці стара. Міркування на основі розмірності були звичними у [[піфагорейці]]в, [[Евклід]]а і пізніше [[Галілео Галілей|Галілея]]<ref>{{cite web |url=http://www.av8n.com/physics/scaling.htm |title=Introduction to Scaling Laws |website=av8n.com}}</ref>. Знову популярними вони стали в кінці 19-го століття, мабуть першим прикладом була ідея [[Осборн Рейнольдс|Осборна Рейнольдса]] про пояснення турбулентності через зростання в'язкості.

Початково апарат ренормгрупи було розроблено у фізиці елементарних частинок, але тепер його застосування поширилося на фізику твердого тіла, механіку флюїдів, фізичну космологію і навіть нанотехнологію. Стаття<ref>{{cite journal |last=Stueckelberg |first=E.C.G. |first2=A. |last2=Petermann |year=1953 |url=https://www.e-periodica.ch/cntmng?pid=hpa-001:1953:26::894 |title=La renormalisation des constants dans la théorie de quanta |journal=Helv. Phys. Acta |volume=26 |pages=499–520 |language=FR}}</ref> [[Ернест Штюкельберг|Ернеста Штюкельберга]] та [[Андре Петерманн]]а 1953 року передбачає ідеї з квантової теорії поля і концептуально відкриає це поле досліджень. Вони зауважили, що реформація по суті запроваджує групу перетворень, що заміняють голі члени одягненими. Вони запропонували у квантовій електродинаміці функцію ''h(''e'')'', яку тепер називають [[бета-функція (фізика)| бета-функцією]].

=== Початок ===

[[Маррі Гелл-Манн ]] та Френсіс Е. Лоу в 1954 році <ref>{{cite journal |last=Gell-Mann |first=M. |authorlink=Маррі Гелл-Манн |author2=Low, F. E. |authorlink2=Francis E. Low |year=1954 |title=Quantum Electrodynamics at Small Distances |journal=Physical Review |volume=95 |issue=5 |pages=1300–1312 |doi=10.1103/PhysRev.95.1300 |bibcode=1954PhRv...95.1300G |url=https://authors.library.caltech.edu/60469/1/PhysRev.95.1300.pdf}}</ref>
обмежили масштабні перетворення в квантовій електродинаміці тільки найбільш суттєвими й зосередилися на асимптотиці фотонного пропагатора на високих енергіях.
Вони визначили варіацію електромагнітного зв'язування завдяки простоті масштабного фактора в цій теорії. Так вони відкрили, що параметр зв'язку ''g''(''μ'') при масштабі енергії ''μ'' задається груповим рівнянням
{{Equation box 1
|indent =:
|equation = <math>g(\mu)=G^{-1}\left(\left(\frac{\mu}{M}\right)^d G(g(M))\right)</math>,
|cellpadding= 6
|border
|border colour = #0073CF
|bgcolor=#F9FFF7}}
для деякої функції ''G'' (неозначеної , тепер її називають масштабною функцією Вегнера) та для сталої ''d'', через зв'язування ''g(M)'' на масштабі ''M''. Отримавши ці результати, Гелл-Манн і Лоу зрозуміли, що ефективний масштаб можна обрати довільно, а потім перемасштабувати до будь-якого іншого значення:

{{Equation box 1
|indent =:
|equation = <math>g(\kappa)=G^{-1}\left(\left(\frac{\kappa}{\mu}\right)^d G(g(\mu))\right) = G^{-1}\left(\left(\frac{\kappa}{M}\right)^d G(g(M))\right)</math>.
|cellpadding= 6
|border
|border colour = #0073CF
|bgcolor=#F9FFF7}}

Суть ренормгрупи в
груповій властивості: зі зміною масштабу теорія будує свої самоподібні репліки, і до будь-якого ма2=сштабу можна одинаково перейти з будь-якого іншого за допомогою групової дії, це формальна транзитивна спряженість взаємодії в математичному сенсі<ref>{{cite journal |last1=Curtright |first1=T.L. |authorlink1=Thomas Curtright |lastZachos |first2=C.K. |date=March 2011 |title=Renormalization Group Functional Equations |journal=Physical Review D |volume=83 |issue=6 |pages=065019 |doi=10.1103/PhysRevD.83.065019 |bibcode=2011PhRvD..83f5019C |arxiv=1010.5174}}</ref>([[Рівняння Шредера]]).

Виходячи з цього рівняння для скінченної групи та її поведінки при перемасштабуванні, Гелл-Манн та Лоу змогли розглянути нескінченно малі перетворення і розробили обчислювальні методи для математичної функції потоку параметра взаємодії ''g'' {{math|''ψ''(''g'') {{=}} ''G'' ''d''/(∂''G''/∂''g'')}}.


Як і функція ''h''(''e'') Штюкельберга та Петерманна, їхня функція визначає зміну параметра взаємодії ''g''(''μ'') з малою зміною масштабу ''μ'' за допомогою диференціального рівняння, яке називають рівнянням ренормгрупи:

{{Equation box 1
|indent =:
|equation = <math> \displaystyle\frac{\partial g}{\partial \ln\mu} = \psi(g) = \beta(g) </math>.
|cellpadding= 6
|border
|border colour = #0073CF
|bgcolor=#F9FFF7}}


У 1970 році Каллан і Симанзік дали цій функції сучасну назву: бета-функція
<ref name=CS/>. Оскільки вона залежить лише від ''g'', інтегрування по ''g'' пертубативної оцінки дозволяє визначення ренормалізаційної траєкторії параметра взаємодії, тобто його варіацію з енергією
по суті функцію ''G''. Передбачення теорії (Штюкельберг-Петерманн-Гелл-Манн-Лоу) знайшли підтвердження через 40 років в експериментах на [[великий електрон-позитронний колайдер|великому електрон-позитронному колайдері]] з визначення [[стала тонкої структури |сталої тонкої структури]]: при енергії 200 ГеВ її значення було близьким до 1/127, тоді як звичне низькоенергетичне значення близьке до 1/137{{efn|Early applications to [[quantum electrodynamics]] are discussed in the influential 1959 book ''The Theory of Quantized Fields'' by [[Nikolay Bogolyubov]] and [[Dmitry Shirkov]].<ref>{{cite book |author1-link=Nikolay Bogolyubov |first1=N.N. |last1=Bogoliubov |author2-link=Dmitry Shirkov |first2=D.V. |last2=Shirkov |year=1959 |title=The Theory of Quantized Fields |place=New York, NY |publisher=Interscience}}</ref>}}

=== Глибше розуміння===
<!---65grou emerges from the [[renormalization]] of the quantum field variables, which normally has to address the problem of infinities in a quantum field theory.{{efn|Although note that the RG exists independently of the infinities.}} This problem of systematically handling the infinities of quantum field theory to obtain finite physical quantities was solved for QED by [[Richard Feynman]], [[Julian Schwinger]] and [[Shin'ichirō Tomonaga]], who received the 1965 Nobel prize for these contributions. They effectively devised the theory of mass and charge renormalization, in which the infinity in the momentum scale is [[Cutoff (physics)|cut off]] by an ultra-large [[Regularization (physics)|regulator]], Λ.{{efn|The regulator parameter Λ could ultimately be taken to be infinite – infinities reflect the pileup of contributions from an infinity of degrees of freedom at infinitely high energy scales.}}

The dependence of physical quantities, such as the electric charge or electron mass, on the scale Λ is hidden, effectively swapped for the longer-distance scales at which the physical quantities are measured, and, as a result, all observable quantities end up being finite instead, even for an infinite Λ. Gell-Mann and Low thus realized in these results that, infinitesimally, while a tiny change in '' g'' is provided by the above RG equation given ψ(''g''), the self-similarity is expressed by the fact that ψ(''g'') depends explicitly only upon the parameter(s) of the theory, and not upon the scale ''μ''. Consequently, the above renormalization group equation may be solved for (''G'' and thus) ''g''(''μ'').

A deeper understanding of the physical meaning and generalization of the renormalization process, which goes beyond the dilation group of conventional ''renormalizable'' theories, considers methods where widely different scales of lengths appear simultaneously. It came from [[condensed matter physics]]: [[Leo P. Kadanoff]]'s paper in 1966 proposed the "block-spin" renormalization group.<ref name=Kadanoff>{{cite journal |author-link=Leo P. Kadanoff |first=Leo P. |last=Kadanoff |year=1966 |title=Scaling laws for Ising models near <math>T_c</math> |journal=Physics Physique Fizika |volume=2 |page=263|doi=10.1103/PhysicsPhysiqueFizika.2.263 }}</ref> The "blocking idea" is a way to define the components of the theory at large distances as aggregates of components at shorter distances.

This approach covered the conceptual point and was given full computational substance in the extensive important contributions of [[Kenneth G. Wilson|Kenneth Wilson]]. The power of Wilson's ideas was demonstrated by a constructive iterative renormalization solution of a long-standing problem, the [[Kondo effect|Kondo problem]], in 1975,<ref>{{cite journal |author-link=Kenneth G. Wilson |first=K.G. |last=Wilson |year=1975 |title=The renormalization group: Critical phenomena and the Kondo problem |journal=Rev. Mod. Phys. |volume=47 |issue=4 |page=773|doi=10.1103/RevModPhys.47.773 |bibcode=1975RvMP...47..773W }}</ref> as well as the preceding seminal developments of his new method in the theory of second-order phase transitions and [[critical phenomena]] in 1971.<ref>{{Cite journal |last=Wilson |first=K.G. |author-link=Kenneth G. Wilson |title=Renormalization group and critical phenomena. I. Renormalization group and the Kadanoff scaling picture |doi=10.1103/PhysRevB.4.3174 |journal=Physical Review B |volume=4 |issue=9 |pages=3174–3183 |year=1971 |bibcode=1971PhRvB...4.3174W}}</ref><ref>{{Cite journal |last=Wilson |first=K. |author-link=Kenneth G. Wilson |title=Renormalization group and critical phenomena. II. Phase-space cell analysis of critical behavior |doi=10.1103/PhysRevB.4.3184 |journal=Physical Review B |volume=4 |issue=9 |pages=3184–3205 |year=1971 |bibcode=1971PhRvB...4.3184W}}</ref><ref>{{cite journal |last1=Wilson |first1=K.G. |author1-link=Kenneth G. Wilson |last2=Fisher |first2=M. |year=1972 |title=Critical exponents in 3.99 dimensions |journal=Physical Review Letters |volume=28 |issue=4 |page=240 |doi=10.1103/physrevlett.28.240 |bibcode=1972PhRvL..28..240W }}</ref> He was awarded the Nobel prize for these decisive contributions in 1982.<ref>{{cite web |url=https://www.nobelprize.org/uploads/2018/06/wilson-lecture-2.pdf |title=Wilson's Nobel Prize address |website=NobelPrize.org |first=Kenneth G. |last=Wilson |author-link=Kenneth G. Wilson}}</ref>

===Reformulation===
Meanwhile, the RG in particle physics had been reformulated in more practical terms by Callan and Symanzik in 1970.<ref name=CS>{{Cite journal
|last=Callan |first=C.G. |title=Broken scale invariance in scalar field theory |doi=10.1103/PhysRevD.2.1541 |journal=Physical Review D |volume=2 |issue=8 |pages=1541–1547 |year=1970 |bibcode=1970PhRvD...2.1541C}}</ref><ref>{{Cite journal |last=Symanzik |first=K. |title=Small distance behaviour in field theory and power counting |doi=10.1007/BF01649434 |journal=Communications in Mathematical Physics |volume=18 |issue=3 |pages=227–246 |year=1970 |bibcode=1970CMaPh..18..227S}}</ref> The above beta function, which describes the "running of the coupling" parameter with scale, was also found to amount to the "canonical trace anomaly", which represents the quantum-mechanical breaking of scale (dilation) symmetry in a field theory. (Remarkably, quantum mechanics itself can induce mass through the trace anomaly and the running coupling.) Applications of the RG to particle physics exploded in number in the 1970s with the establishment of the [[Standard Model]].

In 1973,<ref>{{cite journal |first1=D.J. |last1=Gross |first2=F. |last2=Wilczek |year=1973 |title=Ultraviolet behavior of non-Abelian gauge theories |journal=[[Physical Review Letters]] |volume=30 |issue= 26 |pages=1343–1346 |bibcode=1973PhRvL..30.1343G |doi=10.1103/PhysRevLett.30.1343}}</ref><ref>{{cite journal |first=H.D. |last=Politzer |year=1973 |title=Reliable perturbative results for strong interactions |journal=[[Physical Review Letters]] |volume=30 |issue=26 |pages=1346–1349 |bibcode=1973PhRvL..30.1346P |doi=10.1103/PhysRevLett.30.1346}}</ref> it was discovered that a theory of interacting colored quarks, called [[quantum chromodynamics]], had a negative beta function. This means that an initial high-energy value of the coupling will eventuate a special value of ''μ'' at which the coupling blows up (diverges). This special value is the [[Strong coupling constant#QCD and asymptotic freedom|scale of the strong interactions]], [[Coupling constant#QCD scale|''μ'' = Λ<sub>QCD</sub>]] and occurs at about 200&nbsp;MeV. Conversely, the coupling becomes weak at very high energies ([[asymptotic freedom]]), and the quarks become observable as point-like particles, in [[deep inelastic scattering]], as anticipated by Feynman-Bjorken scaling. QCD was thereby established as the quantum field theory controlling the strong interactions of particles.

Momentum space RG also became a highly developed tool in solid state physics, but its success was hindered by the extensive use of perturbation theory, which prevented the theory from reaching success in strongly correlated systems. In order to study these strongly correlated systems, [[Calculus of variations|variational]] approaches are a better alternative.

=== Conformal symmetry ===
The conformal symmetry is associated with the vanishing of the beta function. This can occur naturally if a coupling constant is attracted, by running, toward a ''fixed point'' at which ''β''(''g'') = 0. In QCD, the fixed point occurs at short distances where ''g'' → 0 and is called a ([[Quantum triviality|trivial]]) [[ultraviolet fixed point]]. For heavy quarks, such as the [[top quark]], the coupling to the mass-giving [[Higgs boson]] runs toward a fixed non-zero (non-trivial) [[infrared fixed point]], first predicted by Pendleton and Ross (1981),<ref>{{cite journal |first1=Brian |last1=Pendleton |first2=Graham |last2=Ross |title=Mass and mixing angle predictions from infrared fixed points |journal=Physics Letters B |volume=98 |issue=4 |year=1981 |pages=291–294 |doi=10.1016/0370-2693(81)90017-4
|bibcode=1981PhLB...98..291P }}</ref> and [[C. T. Hill]].<ref>{{cite journal |first=Christopher T. |last=Hill |author-link=C. T. Hill |title=Quark and lepton masses from renormalization group fixed points |journal=Physical Review D |volume=24 |issue=3 |year=1981 |pages=691–703 |doi=10.1103/PhysRevD.24.691|bibcode=1981PhRvD..24..691H }}</ref>
The top quark Yukawa coupling lies slightly below the infrared fixed point of the Standard Model suggesting the possibility of additional new physics, such as sequential heavy Higgs bosons.

In [[string theory]] conformal invariance of the string world-sheet is a fundamental symmetry: ''β'' = 0 is a requirement. Here, ''β'' is a function of the geometry of the space-time in which the string moves. This determines the space-time dimensionality of the string theory and enforces Einstein's equations of [[general relativity]] on the geometry. The RG is of fundamental importance to string theory and theories of [[grand unification]].

It is also the modern key idea underlying [[critical phenomena]] in condensed matter physics.<ref>{{Cite journal |last=Shankar |first=R. |doi=10.1103/RevModPhys.66.129 |title=Renormalization-group approach to interacting fermions |journal=Reviews of Modern Physics |volume=66 |issue=1 |pages=129–192 |year=1994 |arxiv=cond-mat/9307009 |bibcode=1994RvMP...66..129S}} (For nonsubscribers see {{cite journal |title= Renormalization-group approach to interacting fermions|arxiv = cond-mat/9307009|doi = 10.1103/RevModPhys.66.129|last = Shankar|first = R. |journal = Reviews of Modern Physics|year = 1993|volume = 66|pages = 129–192}}.)</ref> Indeed, the RG has become one of the most important tools of modern physics.<ref>{{cite journal |first1=L.Ts. |last1=Adzhemyan |first2=T.L. |last2=Kim |first3=M.V. |last3=Kompaniets |first4=V.K. |last4=Sazonov |title=Renormalization group in the infinite-dimensional turbulence: determination of the RG-functions without renormalization constants |journal=Nanosystems: Physics, Chemistry, Mathematics |date=August 2015 |volume=6 |issue=4 |page=461|doi=10.17586/2220-8054-2015-6-4-461-469 }}</ref> It is often used in combination with the [[Monte Carlo method]].<ref name="CallawayPetronzio1984">{{cite journal |last1=Callaway |first1=David J.E. |last2=Petronzio |first2=Roberto |title=Determination of critical points and flow diagrams by Monte Carlo renormalization group methods |journal=Physics Letters B |volume=139 |issue=3 |year=1984 |pages=189–194 |issn=0370-2693 |doi=10.1016/0370-2693(84)91242-5 |bibcode=1984PhLB..139..189C |url=http://cds.cern.ch/record/149868}}</ref>
--->

== Примітки ==
{{notelist|1}}
== Посилання на джерела ==
{{reflist}}
[[Категорія:Теоретична фізика]]

Версія за 06:15, 3 квітня 2020

Ренормалізаційна група або стисло ренормгрупа — апарат теоретичної фізики, що дозволяє систематичне дослідження змін у фізичній системі при зміні масштабу, тобто при масштабних перетвореннях. У фізиці елементарних частинок це стосується зміни у відповідних законах взаємодії на масштабі енергій, на якому відбуваються модифікації фізичних процесів.

Поняття ренормгрупи тісно зв'язане з поняттями масштабної інваріантності та конформаційної інваріантності, симетрій, коли система виглядає однаковою на кожному з масштабів (самоподібності)[a].

Зміна масштабу аналогічна розглядання системи в мікроскоп зі змінною роздільною здатністю. У так званих перенормовних теоріях система на певному масштабі загалом виглядає так, наче вона складається з подібних між собою своїх копій дрібнішого масштабу, і ці компоненти описуються набором параметрів. Компоненти або фундаментальні змінні можуть бути атомами, елементарними частинками, атомарними спінами тощо. Параметри типово описують взаємодію між компонентами. Це можуть бути характеристики зв'язку, що задають сили, або власне самі масові параметри. Може статися, що компоненти складають зі схожих між собою дрібніших.

Наприклад, у квантовій електродинаміці електрон, якщо приглянутися, виглядає так, наче він складається з електрона, позитрона і фотона. Звичний електрон наче одягнений у шубу з інших частинок. Електричний заряд та маса голого електрона дещо відрізняються, і ця різниця визначається з рівнянь ренормгрупи.

Історія

Ідея масштабних перетворень та масштабної інваріантності у фізиці стара. Міркування на основі розмірності були звичними у піфагорейців, Евкліда і пізніше Галілея[1]. Знову популярними вони стали в кінці 19-го століття, мабуть першим прикладом була ідея Осборна Рейнольдса про пояснення турбулентності через зростання в'язкості.

Початково апарат ренормгрупи було розроблено у фізиці елементарних частинок, але тепер його застосування поширилося на фізику твердого тіла, механіку флюїдів, фізичну космологію і навіть нанотехнологію. Стаття[2] Ернеста Штюкельберга та Андре Петерманна 1953 року передбачає ідеї з квантової теорії поля і концептуально відкриає це поле досліджень. Вони зауважили, що реформація по суті запроваджує групу перетворень, що заміняють голі члени одягненими. Вони запропонували у квантовій електродинаміці функцію h(e), яку тепер називають бета-функцією.

Початок

Маррі Гелл-Манн та Френсіс Е. Лоу в 1954 році [3] обмежили масштабні перетворення в квантовій електродинаміці тільки найбільш суттєвими й зосередилися на асимптотиці фотонного пропагатора на високих енергіях. Вони визначили варіацію електромагнітного зв'язування завдяки простоті масштабного фактора в цій теорії. Так вони відкрили, що параметр зв'язку g(μ) при масштабі енергії μ задається груповим рівнянням

,

для деякої функції G (неозначеної , тепер її називають масштабною функцією Вегнера) та для сталої d, через зв'язування g(M) на масштабі M. Отримавши ці результати, Гелл-Манн і Лоу зрозуміли, що ефективний масштаб можна обрати довільно, а потім перемасштабувати до будь-якого іншого значення:

.

Суть ренормгрупи в груповій властивості: зі зміною масштабу теорія будує свої самоподібні репліки, і до будь-якого ма2=сштабу можна одинаково перейти з будь-якого іншого за допомогою групової дії, це формальна транзитивна спряженість взаємодії в математичному сенсі[4](Рівняння Шредера).

Виходячи з цього рівняння для скінченної групи та її поведінки при перемасштабуванні, Гелл-Манн та Лоу змогли розглянути нескінченно малі перетворення і розробили обчислювальні методи для математичної функції потоку параметра взаємодії g ψ(g) = G d/(∂G/∂g).


Як і функція h(e) Штюкельберга та Петерманна, їхня функція визначає зміну параметра взаємодії g(μ) з малою зміною масштабу μ за допомогою диференціального рівняння, яке називають рівнянням ренормгрупи:

.


У 1970 році Каллан і Симанзік дали цій функції сучасну назву: бета-функція [5]. Оскільки вона залежить лише від g, інтегрування по g пертубативної оцінки дозволяє визначення ренормалізаційної траєкторії параметра взаємодії, тобто його варіацію з енергією по суті функцію G. Передбачення теорії (Штюкельберг-Петерманн-Гелл-Манн-Лоу) знайшли підтвердження через 40 років в експериментах на великому електрон-позитронному колайдері з визначення сталої тонкої структури: при енергії 200 ГеВ її значення було близьким до 1/127, тоді як звичне низькоенергетичне значення близьке до 1/137[b]

Глибше розуміння

Примітки

  1. Масштабні перетворення є підмножиною конформаційних перетворень, які включають ще додаткові оператори спеціальних конформаційних перетворень.
  2. Early applications to quantum electrodynamics are discussed in the influential 1959 book The Theory of Quantized Fields by Nikolay Bogolyubov and Dmitry Shirkov.[6]

Посилання на джерела

  1. Introduction to Scaling Laws. av8n.com. 
  2. Stueckelberg, E.C.G.; Petermann, A. (1953). La renormalisation des constants dans la théorie de quanta. Helv. Phys. Acta (FR) 26: 499–520. 
  3. Gell-Mann, M.; Low, F. E. (1954). Quantum Electrodynamics at Small Distances. Physical Review 95 (5): 1300–1312. Bibcode:1954PhRv...95.1300G. doi:10.1103/PhysRev.95.1300. 
  4. Curtright, T.L. (March 2011). Renormalization Group Functional Equations. Physical Review D 83 (6): 065019. Bibcode:2011PhRvD..83f5019C. arXiv:1010.5174. doi:10.1103/PhysRevD.83.065019.  Текст «lastZachos » проігноровано (довідка)
  5. Помилка цитування: Неправильний виклик тегу <ref>: для виносок під назвою CS не вказано текст
  6. Bogoliubov, N.N.; Shirkov, D.V. (1959). The Theory of Quantized Fields. New York, NY: Interscience.