Ренормгрупа: відмінності між версіями

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку
[перевірена версія][перевірена версія]
(Не показано 50 проміжних версій цього користувача)
Рядок 15: Рядок 15:
Початково апарат ренормгрупи було розроблено у фізиці елементарних частинок, але тепер його застосування поширилося на фізику твердого тіла, механіку флюїдів, фізичну космологію і навіть нанотехнологію. Стаття<ref>{{cite journal |last=Stueckelberg |first=E.C.G. |first2=A. |last2=Petermann |year=1953 |url=https://www.e-periodica.ch/cntmng?pid=hpa-001:1953:26::894 |title=La renormalisation des constants dans la théorie de quanta |journal=Helv. Phys. Acta |volume=26 |pages=499–520 |language=FR}}</ref> [[Ернест Штюкельберг|Ернеста Штюкельберга]] та [[Андре Петерманн]]а 1953 року передбачає ідеї з квантової теорії поля і концептуально відкриає це поле досліджень. Вони зауважили, що реформація по суті запроваджує групу перетворень, що заміняють голі члени одягненими. Вони запропонували у квантовій електродинаміці функцію ''h(''e'')'', яку тепер називають [[бета-функція (фізика)| бета-функцією]].
Початково апарат ренормгрупи було розроблено у фізиці елементарних частинок, але тепер його застосування поширилося на фізику твердого тіла, механіку флюїдів, фізичну космологію і навіть нанотехнологію. Стаття<ref>{{cite journal |last=Stueckelberg |first=E.C.G. |first2=A. |last2=Petermann |year=1953 |url=https://www.e-periodica.ch/cntmng?pid=hpa-001:1953:26::894 |title=La renormalisation des constants dans la théorie de quanta |journal=Helv. Phys. Acta |volume=26 |pages=499–520 |language=FR}}</ref> [[Ернест Штюкельберг|Ернеста Штюкельберга]] та [[Андре Петерманн]]а 1953 року передбачає ідеї з квантової теорії поля і концептуально відкриає це поле досліджень. Вони зауважили, що реформація по суті запроваджує групу перетворень, що заміняють голі члени одягненими. Вони запропонували у квантовій електродинаміці функцію ''h(''e'')'', яку тепер називають [[бета-функція (фізика)| бета-функцією]].


=== Початок ===
=== Перші успіхи ===


[[Маррі Гелл-Манн ]] та Френсіс Е. Лоу в 1954 році <ref>{{cite journal |last=Gell-Mann |first=M. |authorlink=Маррі Гелл-Манн |author2=Low, F. E. |authorlink2=Francis E. Low |year=1954 |title=Quantum Electrodynamics at Small Distances |journal=Physical Review |volume=95 |issue=5 |pages=1300–1312 |doi=10.1103/PhysRev.95.1300 |bibcode=1954PhRv...95.1300G |url=https://authors.library.caltech.edu/60469/1/PhysRev.95.1300.pdf}}</ref>
[[Маррі Гелл-Манн ]] та Френсіс Е. Лоу в 1954 році <ref>{{cite journal |last=Gell-Mann |first=M. |authorlink=Маррі Гелл-Манн |author2=Low, F. E. |authorlink2=Francis E. Low |year=1954 |title=Quantum Electrodynamics at Small Distances |journal=Physical Review |volume=95 |issue=5 |pages=1300–1312 |doi=10.1103/PhysRev.95.1300 |bibcode=1954PhRv...95.1300G |url=https://authors.library.caltech.edu/60469/1/PhysRev.95.1300.pdf}}</ref>
Рядок 58: Рядок 58:
У 1970 році Каллан і Симанзік дали цій функції сучасну назву: бета-функція
У 1970 році Каллан і Симанзік дали цій функції сучасну назву: бета-функція
<ref name=CS/>. Оскільки вона залежить лише від ''g'', інтегрування по ''g'' пертубативної оцінки дозволяє визначення ренормалізаційної траєкторії параметра взаємодії, тобто його варіацію з енергією
<ref name=CS/>. Оскільки вона залежить лише від ''g'', інтегрування по ''g'' пертубативної оцінки дозволяє визначення ренормалізаційної траєкторії параметра взаємодії, тобто його варіацію з енергією
по суті функцію ''G''. Передбачення теорії (Штюкельберг-Петерманн-Гелл-Манн-Лоу) знайшли підтвердження через 40 років в експериментах на [[великий електрон-позитронний колайдер|великому електрон-позитронному колайдері]] з визначення [[стала тонкої структури |сталої тонкої структури]]: при енергії 200 ГеВ її значення було близьким до 1/127, тоді як звичне низькоенергетичне значення близьке до 1/137{{efn|Early applications to [[quantum electrodynamics]] are discussed in the influential 1959 book ''The Theory of Quantized Fields'' by [[Nikolay Bogolyubov]] and [[Dmitry Shirkov]].<ref>{{cite book |author1-link=Nikolay Bogolyubov |first1=N.N. |last1=Bogoliubov |author2-link=Dmitry Shirkov |first2=D.V. |last2=Shirkov |year=1959 |title=The Theory of Quantized Fields |place=New York, NY |publisher=Interscience}}</ref>}}
по суті функцію ''G''. Передбачення теорії (Штюкельберг-Петерманн-Гелл-Манн-Лоу) знайшли підтвердження через 40 років в експериментах на [[великий електрон-позитронний колайдер|великому електрон-позитронному колайдері]] з визначення [[стала тонкої структури |сталої тонкої структури]]: при енергії 200 ГеВ її значення було близьким до 1/127, тоді як звичне низькоенергетичне значення близьке до 1/137{{efn|Перші спроби застосвування в квантовій електродинаміці обговорюються у впливовій книзі Боголюбова і Ширкова 1959 року ''The Theory of Quantized Fields''.<ref>{{cite book |author1-link=Боголюбов Микола Миколайович (старший) |first1=N.N. |last1=Bogoliubov |author2-link=Dmitry Shirkov |first2=D.V. |last2=Shirkov |year=1959 |title=The Theory of Quantized Fields |place=New York, NY |publisher=Interscience}}</ref>}}


=== Глибше розуміння===
=== Глибше розуміння===
<!---65grou emerges from the [[renormalization]] of the quantum field variables, which normally has to address the problem of infinities in a quantum field theory.{{efn|Although note that the RG exists independently of the infinities.}} This problem of systematically handling the infinities of quantum field theory to obtain finite physical quantities was solved for QED by [[Richard Feynman]], [[Julian Schwinger]] and [[Shin'ichirō Tomonaga]], who received the 1965 Nobel prize for these contributions. They effectively devised the theory of mass and charge renormalization, in which the infinity in the momentum scale is [[Cutoff (physics)|cut off]] by an ultra-large [[Regularization (physics)|regulator]], Λ.{{efn|The regulator parameter Λ could ultimately be taken to be infinite – infinities reflect the pileup of contributions from an infinity of degrees of freedom at infinitely high energy scales.}}


Ренормгрупа з'являється при перенормуванні змінних квантових полів, що зазвичай має справу з розбіжностями{{efn|Хоча ренормгрупа не обов'язково виникає тільки при розбіжностях.}}. Проблему успішної систематичної роботи з розбіжностями в квантовій теорії, отримуючи скінченні значення, розв'язали [[Річард Фейнман]], [[Джуліан Швінгер]] та [[Томонага Синітіро| Сінітіро Томонага]], за що отримали в 1965 році Нобелівську премію. Фактично вони вигадали теорію перенормування заряду та маси, в якій нескінченність в імпульсі відрізається дуже великим регулятором Λ.{{efn|Регулятор Λ можна спрямувати до нескінченності – нескінченності відображають нагромадження внесків нескінченно великого числа ступенів свободи при нескінченно великій енергії .}}
The dependence of physical quantities, such as the electric charge or electron mass, on the scale Λ is hidden, effectively swapped for the longer-distance scales at which the physical quantities are measured, and, as a result, all observable quantities end up being finite instead, even for an infinite Λ. Gell-Mann and Low thus realized in these results that, infinitesimally, while a tiny change in '' g'' is provided by the above RG equation given ψ(''g''), the self-similarity is expressed by the fact that ψ(''g'') depends explicitly only upon the parameter(s) of the theory, and not upon the scale ''μ''. Consequently, the above renormalization group equation may be solved for (''G'' and thus) ''g''(''μ'').


Залежності фізичних величин, таких як заряд чи маса електрона від параметра Λ приховані на більших відстанях, на яких проводяться вимірювання фізичних величин, а отже, як наслідок, усі спостережувані залишаються скінченними навіть для нескінченного Λ. Гелл-Манн та Лоу цими результатами показали, що ψ(''g'') явно залежить лише від параметрів теорії, а не від масштабу ''μ''. Тож рівняння ренормгрупи можна розв'язати, визначивши ''G'' , а потім
A deeper understanding of the physical meaning and generalization of the renormalization process, which goes beyond the dilation group of conventional ''renormalizable'' theories, considers methods where widely different scales of lengths appear simultaneously. It came from [[condensed matter physics]]: [[Leo P. Kadanoff]]'s paper in 1966 proposed the "block-spin" renormalization group.<ref name=Kadanoff>{{cite journal |author-link=Leo P. Kadanoff |first=Leo P. |last=Kadanoff |year=1966 |title=Scaling laws for Ising models near <math>T_c</math> |journal=Physics Physique Fizika |volume=2 |page=263|doi=10.1103/PhysicsPhysiqueFizika.2.263 }}</ref> The "blocking idea" is a way to define the components of the theory at large distances as aggregates of components at shorter distances.
''g''(''μ''). Глибше розуміння фізичного значення та узагальнення процесу ренормалізації , що не обмежується групою дилатації конвенційних перенормовних теорій, розглядає методи, в яких різні масштаби фігурують одночасно. Воно прийшло з [[фізика конденсованих середовищ|фізики конденсованих середовищ]]: стаття [[Лео Каданофф]]а 1966 року запропонувала ренормалізацію спінових блоків<ref name=Kadanoff>{{cite journal |author-link=Leo P. Kadanoff |first=Leo P. |last=Kadanoff |year=1966 |title=Scaling laws for Ising models near <math>T_c</math> |journal=Physics Physique Fizika |volume=2 |page=263|doi=10.1103/PhysicsPhysiqueFizika.2.263 }}</ref>. Ідея блоків є способом визначити компоненти теорії великих розмірів як агрегати компонент малих розмірів.


Цей підхід не лише концептуально використав ідею перенормування, а й отримав суттєву й потужну обчислювальну підтримку в роботах [[Кеннет Геддес Вільсон|Кеннета Вілсона]]. Вілсон продемонстрував силу своїх ідей конструктивним ітеративним розв'язком старої задачі, [[ефект Кондо|ефекту Кондо]]<ref>{{cite journal |author-link=Кеннет Геддес Вільсон |first=K.G. |last=Wilson |year=1975 |title=The renormalization group: Critical phenomena and the Kondo problem |journal=Rev. Mod. Phys. |volume=47 |issue=4 |page=773|doi=10.1103/RevModPhys.47.773 |bibcode=1975RvMP...47..773W }}</ref> а також виконаними раніше дослідженнями
This approach covered the conceptual point and was given full computational substance in the extensive important contributions of [[Kenneth G. Wilson|Kenneth Wilson]]. The power of Wilson's ideas was demonstrated by a constructive iterative renormalization solution of a long-standing problem, the [[Kondo effect|Kondo problem]], in 1975,<ref>{{cite journal |author-link=Kenneth G. Wilson |first=K.G. |last=Wilson |year=1975 |title=The renormalization group: Critical phenomena and the Kondo problem |journal=Rev. Mod. Phys. |volume=47 |issue=4 |page=773|doi=10.1103/RevModPhys.47.773 |bibcode=1975RvMP...47..773W }}</ref> as well as the preceding seminal developments of his new method in the theory of second-order phase transitions and [[critical phenomena]] in 1971.<ref>{{Cite journal |last=Wilson |first=K.G. |author-link=Kenneth G. Wilson |title=Renormalization group and critical phenomena. I. Renormalization group and the Kadanoff scaling picture |doi=10.1103/PhysRevB.4.3174 |journal=Physical Review B |volume=4 |issue=9 |pages=3174–3183 |year=1971 |bibcode=1971PhRvB...4.3174W}}</ref><ref>{{Cite journal |last=Wilson |first=K. |author-link=Kenneth G. Wilson |title=Renormalization group and critical phenomena. II. Phase-space cell analysis of critical behavior |doi=10.1103/PhysRevB.4.3184 |journal=Physical Review B |volume=4 |issue=9 |pages=3184–3205 |year=1971 |bibcode=1971PhRvB...4.3184W}}</ref><ref>{{cite journal |last1=Wilson |first1=K.G. |author1-link=Kenneth G. Wilson |last2=Fisher |first2=M. |year=1972 |title=Critical exponents in 3.99 dimensions |journal=Physical Review Letters |volume=28 |issue=4 |page=240 |doi=10.1103/physrevlett.28.240 |bibcode=1972PhRvL..28..240W }}</ref> He was awarded the Nobel prize for these decisive contributions in 1982.<ref>{{cite web |url=https://www.nobelprize.org/uploads/2018/06/wilson-lecture-2.pdf |title=Wilson's Nobel Prize address |website=NobelPrize.org |first=Kenneth G. |last=Wilson |author-link=Kenneth G. Wilson}}</ref>
фазових переходів другого порядку й критичних явищ<ref>{{Cite journal |last=Wilson |first=K.G. |author-link=Кеннет Геддес Вільсон |title=Renormalization group and critical phenomena. I. Renormalization group and the Kadanoff scaling picture |doi=10.1103/PhysRevB.4.3174 |journal=Physical Review B |volume=4 |issue=9 |pages=3174–3183 |year=1971 |bibcode=1971PhRvB...4.3174W}}</ref><ref>{{Cite journal |last=Wilson |first=K. |author-link=Кеннет Геддес Вільсон |title=Renormalization group and critical phenomena. II. Phase-space cell analysis of critical behavior |doi=10.1103/PhysRevB.4.3184 |journal=Physical Review B |volume=4 |issue=9 |pages=3184–3205 |year=1971 |bibcode=1971PhRvB...4.3184W}}</ref><ref>{{cite journal |last1=Wilson |first1=K.G. |author1-link=Кеннет Геддес Вільсон |last2=Fisher |first2=M. |year=1972 |title=Critical exponents in 3.99 dimensions |journal=Physical Review Letters |volume=28 |issue=4 |page=240 |doi=10.1103/physrevlett.28.240 |bibcode=1972PhRvL..28..240W }}</ref>.
За свій внесок він отримав 1982 року Нобелівську премію<ref>{{cite web |url=https://www.nobelprize.org/uploads/2018/06/wilson-lecture-2.pdf |title=Wilson's Nobel Prize address |website=NobelPrize.org |first=Kenneth G. |last=Wilson |author-link=Kenneth G. Wilson}}</ref>.


===Переформулювання===
===Reformulation===
Meanwhile, the RG in particle physics had been reformulated in more practical terms by Callan and Symanzik in 1970.<ref name=CS>{{Cite journal
|last=Callan |first=C.G. |title=Broken scale invariance in scalar field theory |doi=10.1103/PhysRevD.2.1541 |journal=Physical Review D |volume=2 |issue=8 |pages=1541–1547 |year=1970 |bibcode=1970PhRvD...2.1541C}}</ref><ref>{{Cite journal |last=Symanzik |first=K. |title=Small distance behaviour in field theory and power counting |doi=10.1007/BF01649434 |journal=Communications in Mathematical Physics |volume=18 |issue=3 |pages=227–246 |year=1970 |bibcode=1970CMaPh..18..227S}}</ref> The above beta function, which describes the "running of the coupling" parameter with scale, was also found to amount to the "canonical trace anomaly", which represents the quantum-mechanical breaking of scale (dilation) symmetry in a field theory. (Remarkably, quantum mechanics itself can induce mass through the trace anomaly and the running coupling.) Applications of the RG to particle physics exploded in number in the 1970s with the establishment of the [[Standard Model]].


Тим часом теорія ренормгрупи у фізиці елементарних частинок була в 1979 році переформульована Калланом та Симанзіком у зручнішому для практичного використання вигляді<ref name=CS>{{Cite journal
In 1973,<ref>{{cite journal |first1=D.J. |last1=Gross |first2=F. |last2=Wilczek |year=1973 |title=Ultraviolet behavior of non-Abelian gauge theories |journal=[[Physical Review Letters]] |volume=30 |issue= 26 |pages=1343–1346 |bibcode=1973PhRvL..30.1343G |doi=10.1103/PhysRevLett.30.1343}}</ref><ref>{{cite journal |first=H.D. |last=Politzer |year=1973 |title=Reliable perturbative results for strong interactions |journal=[[Physical Review Letters]] |volume=30 |issue=26 |pages=1346–1349 |bibcode=1973PhRvL..30.1346P |doi=10.1103/PhysRevLett.30.1346}}</ref> it was discovered that a theory of interacting colored quarks, called [[quantum chromodynamics]], had a negative beta function. This means that an initial high-energy value of the coupling will eventuate a special value of ''μ'' at which the coupling blows up (diverges). This special value is the [[Strong coupling constant#QCD and asymptotic freedom|scale of the strong interactions]], [[Coupling constant#QCD scale|''μ'' = Λ<sub>QCD</sub>]] and occurs at about 200&nbsp;MeV. Conversely, the coupling becomes weak at very high energies ([[asymptotic freedom]]), and the quarks become observable as point-like particles, in [[deep inelastic scattering]], as anticipated by Feynman-Bjorken scaling. QCD was thereby established as the quantum field theory controlling the strong interactions of particles.
|last=Callan |first=C.G. |title=Broken scale invariance in scalar field theory |doi=10.1103/PhysRevD.2.1541 |journal=Physical Review D |volume=2 |issue=8 |pages=1541–1547 |year=1970 |bibcode=1970PhRvD...2.1541C}}</ref><ref>{{Cite journal |last=Symanzik |first=K. |title=Small distance behaviour in field theory and power counting |doi=10.1007/BF01649434 |journal=Communications in Mathematical Physics |volume=18 |issue=3 |pages=227–246 |year=1970 |bibcode=1970CMaPh..18..227S}}</ref>. Згадана вище бета-функція, що описує утікання параметра зв'язку зі зміною масштабу,
як виявилося, зводиться до "канонічної слідової аномалії", що представляє квантово-механічне порушення масштабної (дилятаційної) симетрії в теорії поля. (Цікаво, що сама квантова механіка може викликати масу через слідову аномалію та втікання параметра взаємодії.) Застосування ренормгруп у фізиці елементарних частинок вибухово зросло в 1970-их в зв'язку зі становленням [[стандартна модель|Стандартної моделі]].

У 1973-му<ref>{{cite journal |first1=D.J. |last1=Gross |first2=F. |last2=Wilczek |year=1973 |title=Ultraviolet behavior of non-Abelian gauge theories |journal=[[Physical Review Letters]] |volume=30 |issue= 26 |pages=1343–1346 |bibcode=1973PhRvL..30.1343G |doi=10.1103/PhysRevLett.30.1343}}</ref><ref>{{cite journal |first=H.D. |last=Politzer |year=1973 |title=Reliable perturbative results for strong interactions |journal=[[Physical Review Letters]] |volume=30 |issue=26 |pages=1346–1349 |bibcode=1973PhRvL..30.1346P |doi=10.1103/PhysRevLett.30.1346}}</ref>
виявилося, що в теорії взаємодії кольорових кварків ([[Квантова хромодинаміка|квантовій хромодинаміці]]) бета-функція від'ємна. Це означає, що початкова взаємодія при високих енергіях розбігається при певному значенні ''μ''. Це особливе значення є характерним масштабом сильної взаємодії ''μ'' = Λ<sub>QCD</sub> і припадає на приблизно 200&nbsp;MeВ.
З іншого боку взаємодія стає слабкою при дуже великих енергіях (асимптотична свобода), і виникає можливість спостерігати кварки як точкові частинки в [[Глибоко непружне розсіяння|глибоко непружному розсіянні]], як це передбачає масштабування Фейнмана-Бйоркена. Так квантова хромодинаміка набула статусу квантової теорії поля, що має справу з сильною взаємодією між частинками.

Ренормгрупа в імпульсному просторі також стала добре розвинутим знаряддям у фізиці твердого тіла , але її успіху завадило широке використання теорії збурень, що не дозволило теорії здобути успіх у сильно корельованих системах. Варіаційне числення краща альтернатива для вивчення таких систем.
=== Конформна симетрія ===
<!--


Momentum space RG also became a highly developed tool in solid state physics, but its success was hindered by the extensive use of perturbation theory, which prevented the theory from reaching success in strongly correlated systems. In order to study these strongly correlated systems, [[Calculus of variations|variational]] approaches are a better alternative.


=== Conformal symmetry ===
The conformal symmetry is associated with the vanishing of the beta function. This can occur naturally if a coupling constant is attracted, by running, toward a ''fixed point'' at which ''β''(''g'') = 0. In QCD, the fixed point occurs at short distances where ''g'' → 0 and is called a ([[Quantum triviality|trivial]]) [[ultraviolet fixed point]]. For heavy quarks, such as the [[top quark]], the coupling to the mass-giving [[Higgs boson]] runs toward a fixed non-zero (non-trivial) [[infrared fixed point]], first predicted by Pendleton and Ross (1981),<ref>{{cite journal |first1=Brian |last1=Pendleton |first2=Graham |last2=Ross |title=Mass and mixing angle predictions from infrared fixed points |journal=Physics Letters B |volume=98 |issue=4 |year=1981 |pages=291–294 |doi=10.1016/0370-2693(81)90017-4
The conformal symmetry is associated with the vanishing of the beta function. This can occur naturally if a coupling constant is attracted, by running, toward a ''fixed point'' at which ''β''(''g'') = 0. In QCD, the fixed point occurs at short distances where ''g'' → 0 and is called a ([[Quantum triviality|trivial]]) [[ultraviolet fixed point]]. For heavy quarks, such as the [[top quark]], the coupling to the mass-giving [[Higgs boson]] runs toward a fixed non-zero (non-trivial) [[infrared fixed point]], first predicted by Pendleton and Ross (1981),<ref>{{cite journal |first1=Brian |last1=Pendleton |first2=Graham |last2=Ross |title=Mass and mixing angle predictions from infrared fixed points |journal=Physics Letters B |volume=98 |issue=4 |year=1981 |pages=291–294 |doi=10.1016/0370-2693(81)90017-4
|bibcode=1981PhLB...98..291P }}</ref> and [[C. T. Hill]].<ref>{{cite journal |first=Christopher T. |last=Hill |author-link=C. T. Hill |title=Quark and lepton masses from renormalization group fixed points |journal=Physical Review D |volume=24 |issue=3 |year=1981 |pages=691–703 |doi=10.1103/PhysRevD.24.691|bibcode=1981PhRvD..24..691H }}</ref>
|bibcode=1981PhLB...98..291P }}</ref> and [[C. T. Hill]].<ref>{{cite journal |first=Christopher T. |last=Hill |author-link=C. T. Hill |title=Quark and lepton masses from renormalization group fixed points |journal=Physical Review D |volume=24 |issue=3 |year=1981 |pages=691–703 |doi=10.1103/PhysRevD.24.691|bibcode=1981PhRvD..24..691H }}</ref>

Версія за 18:58, 9 квітня 2020

Ренормалізаційна група або стисло ренормгрупа — апарат теоретичної фізики, що дозволяє систематичне дослідження змін у фізичній системі при зміні масштабу, тобто при масштабних перетвореннях. У фізиці елементарних частинок це стосується зміни у відповідних законах взаємодії на масштабі енергій, на якому відбуваються модифікації фізичних процесів.

Поняття ренормгрупи тісно зв'язане з поняттями масштабної інваріантності та конформаційної інваріантності, симетрій, коли система виглядає однаковою на кожному з масштабів (самоподібності)[a].

Зміна масштабу аналогічна розглядання системи в мікроскоп зі змінною роздільною здатністю. У так званих перенормовних теоріях система на певному масштабі загалом виглядає так, наче вона складається з подібних між собою своїх копій дрібнішого масштабу, і ці компоненти описуються набором параметрів. Компоненти або фундаментальні змінні можуть бути атомами, елементарними частинками, атомарними спінами тощо. Параметри типово описують взаємодію між компонентами. Це можуть бути характеристики зв'язку, що задають сили, або власне самі масові параметри. Може статися, що компоненти складають зі схожих між собою дрібніших.

Наприклад, у квантовій електродинаміці електрон, якщо приглянутися, виглядає так, наче він складається з електрона, позитрона і фотона. Звичний електрон наче одягнений у шубу з інших частинок. Електричний заряд та маса голого електрона дещо відрізняються, і ця різниця визначається з рівнянь ренормгрупи.

Історія

Ідея масштабних перетворень та масштабної інваріантності у фізиці стара. Міркування на основі розмірності були звичними у піфагорейців, Евкліда і пізніше Галілея[1]. Знову популярними вони стали в кінці 19-го століття, мабуть першим прикладом була ідея Осборна Рейнольдса про пояснення турбулентності через зростання в'язкості.

Початково апарат ренормгрупи було розроблено у фізиці елементарних частинок, але тепер його застосування поширилося на фізику твердого тіла, механіку флюїдів, фізичну космологію і навіть нанотехнологію. Стаття[2] Ернеста Штюкельберга та Андре Петерманна 1953 року передбачає ідеї з квантової теорії поля і концептуально відкриає це поле досліджень. Вони зауважили, що реформація по суті запроваджує групу перетворень, що заміняють голі члени одягненими. Вони запропонували у квантовій електродинаміці функцію h(e), яку тепер називають бета-функцією.

Перші успіхи

Маррі Гелл-Манн та Френсіс Е. Лоу в 1954 році [3] обмежили масштабні перетворення в квантовій електродинаміці тільки найбільш суттєвими й зосередилися на асимптотиці фотонного пропагатора на високих енергіях. Вони визначили варіацію електромагнітного зв'язування завдяки простоті масштабного фактора в цій теорії. Так вони відкрили, що параметр зв'язку g(μ) при масштабі енергії μ задається груповим рівнянням

,

для деякої функції G (неозначеної , тепер її називають масштабною функцією Вегнера) та для сталої d, через зв'язування g(M) на масштабі M. Отримавши ці результати, Гелл-Манн і Лоу зрозуміли, що ефективний масштаб можна обрати довільно, а потім перемасштабувати до будь-якого іншого значення:

.

Суть ренормгрупи в груповій властивості: зі зміною масштабу теорія будує свої самоподібні репліки, і до будь-якого ма2=сштабу можна одинаково перейти з будь-якого іншого за допомогою групової дії, це формальна транзитивна спряженість взаємодії в математичному сенсі[4](Рівняння Шредера).

Виходячи з цього рівняння для скінченної групи та її поведінки при перемасштабуванні, Гелл-Манн та Лоу змогли розглянути нескінченно малі перетворення і розробили обчислювальні методи для математичної функції потоку параметра взаємодії g ψ(g) = G d/(∂G/∂g).


Як і функція h(e) Штюкельберга та Петерманна, їхня функція визначає зміну параметра взаємодії g(μ) з малою зміною масштабу μ за допомогою диференціального рівняння, яке називають рівнянням ренормгрупи:

.


У 1970 році Каллан і Симанзік дали цій функції сучасну назву: бета-функція [5]. Оскільки вона залежить лише від g, інтегрування по g пертубативної оцінки дозволяє визначення ренормалізаційної траєкторії параметра взаємодії, тобто його варіацію з енергією по суті функцію G. Передбачення теорії (Штюкельберг-Петерманн-Гелл-Манн-Лоу) знайшли підтвердження через 40 років в експериментах на великому електрон-позитронному колайдері з визначення сталої тонкої структури: при енергії 200 ГеВ її значення було близьким до 1/127, тоді як звичне низькоенергетичне значення близьке до 1/137[b]

Глибше розуміння

Ренормгрупа з'являється при перенормуванні змінних квантових полів, що зазвичай має справу з розбіжностями[c]. Проблему успішної систематичної роботи з розбіжностями в квантовій теорії, отримуючи скінченні значення, розв'язали Річард Фейнман, Джуліан Швінгер та Сінітіро Томонага, за що отримали в 1965 році Нобелівську премію. Фактично вони вигадали теорію перенормування заряду та маси, в якій нескінченність в імпульсі відрізається дуже великим регулятором Λ.[d]

Залежності фізичних величин, таких як заряд чи маса електрона від параметра Λ приховані на більших відстанях, на яких проводяться вимірювання фізичних величин, а отже, як наслідок, усі спостережувані залишаються скінченними навіть для нескінченного Λ. Гелл-Манн та Лоу цими результатами показали, що ψ(g) явно залежить лише від параметрів теорії, а не від масштабу μ. Тож рівняння ренормгрупи можна розв'язати, визначивши G , а потім g(μ). Глибше розуміння фізичного значення та узагальнення процесу ренормалізації , що не обмежується групою дилатації конвенційних перенормовних теорій, розглядає методи, в яких різні масштаби фігурують одночасно. Воно прийшло з фізики конденсованих середовищ: стаття Лео Каданоффа 1966 року запропонувала ренормалізацію спінових блоків[7]. Ідея блоків є способом визначити компоненти теорії великих розмірів як агрегати компонент малих розмірів.

Цей підхід не лише концептуально використав ідею перенормування, а й отримав суттєву й потужну обчислювальну підтримку в роботах Кеннета Вілсона. Вілсон продемонстрував силу своїх ідей конструктивним ітеративним розв'язком старої задачі, ефекту Кондо[8] а також виконаними раніше дослідженнями фазових переходів другого порядку й критичних явищ[9][10][11]. За свій внесок він отримав 1982 року Нобелівську премію[12].

Переформулювання

Тим часом теорія ренормгрупи у фізиці елементарних частинок була в 1979 році переформульована Калланом та Симанзіком у зручнішому для практичного використання вигляді[5][13]. Згадана вище бета-функція, що описує утікання параметра зв'язку зі зміною масштабу, як виявилося, зводиться до "канонічної слідової аномалії", що представляє квантово-механічне порушення масштабної (дилятаційної) симетрії в теорії поля. (Цікаво, що сама квантова механіка може викликати масу через слідову аномалію та втікання параметра взаємодії.) Застосування ренормгруп у фізиці елементарних частинок вибухово зросло в 1970-их в зв'язку зі становленням Стандартної моделі.

У 1973-му[14][15] виявилося, що в теорії взаємодії кольорових кварків (квантовій хромодинаміці) бета-функція від'ємна. Це означає, що початкова взаємодія при високих енергіях розбігається при певному значенні μ. Це особливе значення є характерним масштабом сильної взаємодії μ = ΛQCD і припадає на приблизно 200 MeВ. З іншого боку взаємодія стає слабкою при дуже великих енергіях (асимптотична свобода), і виникає можливість спостерігати кварки як точкові частинки в глибоко непружному розсіянні, як це передбачає масштабування Фейнмана-Бйоркена. Так квантова хромодинаміка набула статусу квантової теорії поля, що має справу з сильною взаємодією між частинками.

Ренормгрупа в імпульсному просторі також стала добре розвинутим знаряддям у фізиці твердого тіла , але її успіху завадило широке використання теорії збурень, що не дозволило теорії здобути успіх у сильно корельованих системах. Варіаційне числення краща альтернатива для вивчення таких систем.

Конформна симетрія

Примітки

  1. Масштабні перетворення є підмножиною конформаційних перетворень, які включають ще додаткові оператори спеціальних конформаційних перетворень.
  2. Перші спроби застосвування в квантовій електродинаміці обговорюються у впливовій книзі Боголюбова і Ширкова 1959 року The Theory of Quantized Fields.[6]
  3. Хоча ренормгрупа не обов'язково виникає тільки при розбіжностях.
  4. Регулятор Λ можна спрямувати до нескінченності – нескінченності відображають нагромадження внесків нескінченно великого числа ступенів свободи при нескінченно великій енергії .

Посилання на джерела

  1. Introduction to Scaling Laws. av8n.com. 
  2. Stueckelberg, E.C.G.; Petermann, A. (1953). La renormalisation des constants dans la théorie de quanta. Helv. Phys. Acta (FR) 26: 499–520. 
  3. Gell-Mann, M.; Low, F. E. (1954). Quantum Electrodynamics at Small Distances. Physical Review 95 (5): 1300–1312. Bibcode:1954PhRv...95.1300G. doi:10.1103/PhysRev.95.1300. 
  4. Curtright, T.L. (March 2011). Renormalization Group Functional Equations. Physical Review D 83 (6): 065019. Bibcode:2011PhRvD..83f5019C. arXiv:1010.5174. doi:10.1103/PhysRevD.83.065019.  Текст «lastZachos » проігноровано (довідка)
  5. а б Callan, C.G. (1970). Broken scale invariance in scalar field theory. Physical Review D 2 (8): 1541–1547. Bibcode:1970PhRvD...2.1541C. doi:10.1103/PhysRevD.2.1541. 
  6. Bogoliubov, N.N.; Shirkov, D.V. (1959). The Theory of Quantized Fields. New York, NY: Interscience. 
  7. Kadanoff, Leo P. (1966). Scaling laws for Ising models near . Physics Physique Fizika 2: 263. doi:10.1103/PhysicsPhysiqueFizika.2.263. 
  8. Wilson, K.G. (1975). The renormalization group: Critical phenomena and the Kondo problem. Rev. Mod. Phys. 47 (4): 773. Bibcode:1975RvMP...47..773W. doi:10.1103/RevModPhys.47.773. 
  9. Wilson, K.G. (1971). Renormalization group and critical phenomena. I. Renormalization group and the Kadanoff scaling picture. Physical Review B 4 (9): 3174–3183. Bibcode:1971PhRvB...4.3174W. doi:10.1103/PhysRevB.4.3174. 
  10. Wilson, K. (1971). Renormalization group and critical phenomena. II. Phase-space cell analysis of critical behavior. Physical Review B 4 (9): 3184–3205. Bibcode:1971PhRvB...4.3184W. doi:10.1103/PhysRevB.4.3184. 
  11. Wilson, K.G.; Fisher, M. (1972). Critical exponents in 3.99 dimensions. Physical Review Letters 28 (4): 240. Bibcode:1972PhRvL..28..240W. doi:10.1103/physrevlett.28.240. 
  12. Wilson, Kenneth G.. Wilson's Nobel Prize address. NobelPrize.org. 
  13. Symanzik, K. (1970). Small distance behaviour in field theory and power counting. Communications in Mathematical Physics 18 (3): 227–246. Bibcode:1970CMaPh..18..227S. doi:10.1007/BF01649434. 
  14. Gross, D.J.; Wilczek, F. (1973). Ultraviolet behavior of non-Abelian gauge theories. Physical Review Letters 30 (26): 1343–1346. Bibcode:1973PhRvL..30.1343G. doi:10.1103/PhysRevLett.30.1343. 
  15. Politzer, H.D. (1973). Reliable perturbative results for strong interactions. Physical Review Letters 30 (26): 1346–1349. Bibcode:1973PhRvL..30.1346P. doi:10.1103/PhysRevLett.30.1346.