Користувач:Knu mechmat/Теорема Фубіні

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Версія від 04:58, 3 червня 2014, створена MGalyna (обговорення | внесок) (Створена сторінка: '''Теорема Фубіні''' використовується в математичному аналізі для обчислення багатокра...)
(різн.) ← Попередня версія | Поточна версія (різн.) | Новіша версія → (різн.)
Перейти до навігації Перейти до пошуку

Теорема Фубіні використовується в математичному аналізі для обчислення подвійного інтегралу за допомогою повторного інтегралу.

Формулювання[ред. | ред. код]

Нехай та вимірні простори з -кінцевими повними мірами та , визначеними відповідно на -алгебрах та . Якщо функція інтегрована на добутку просторів та відносно добутку мір та , тоді майже для всіх функція змінної інтегрована на просторі щодо міри , функція інтегрована на просторі щодо міри , і має місце рівність

Теорема Фубіні справедлива, зокрема, для випадку, коли , та - міри Лебега відповідно у евклідових просторах , та відповідно ( та натуральні), , , , - вимірна по Лебегу функція на просторі , , . У цих припущеннях теорема Фубіні має вигляд

Для того, щоб у випадку функції , визначеної на довільній вимірній по Лебегу множині , виразити кратний інтеграл через повторний, потрібно покласти функцію нулем на весь простір і застосувати формулу.

Історія[ред. | ред. код]

Особливий випадок теореми Фубіні для безперервних функцій на добуток замкнутих обмежених підмножин векторних просторів було відомо Ейлеру у 18-му столітті. Лебег (1904) поширив це на обмежені вимірні функції на добутку відрізків. у 1906 році Леві висловив гіпотезу, що теорема може бути поширена на інтегровані, а не на обмежені функції, і це було доведено Гвідо Фубіні у 1907 році.

Література[ред. | ред. код]