Квадратна матриця: відмінності між версіями

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку
[перевірена версія][очікує на перевірку]
м (Категоризація)
Немає опису редагування
(Не показано 45 проміжних версій цього користувача)
Рядок 1: Рядок 1:
[[Файл:Arbitrary square matrix.gif|thumb|Квадратна матриця порядку 4. Елементи <math>a_{ii}</math> утворюють головну діагональ квадратної матриці. Наприклад, основна діагональ квадратної матриці <math>4 \times 4</math> містить елементи <math>a_{11}</math>=9, <math>a_{22}</math>=11, <math>a_{33}</math>=4, <math>a_{44}</math>=10.|178x178пкс]]
'''Квадратною матрицею''' порядку '''n''' називається [[Матриці (в математиці)|матриця]], яка має '''n''' рядків та '''n''' стовпчиків.


У [[математика|математиці]], ''квадратна матриця'' — це [[Матриця_(математика)|матриця]] з однаковою кількістю рядків і стовпців. <math>(n\times n)</math>-матриця — це квадратна матриця порядку <math>n</math>:
: <math> A = \begin{pmatrix}
: <math> A = \begin{pmatrix}
a_{1,1} & a_{1,2} & \cdots & a_{1,n} \\
a_{1,1} & a_{1,2} & \cdots & a_{1,n} \\
Рядок 6: Рядок 7:
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{n,1} & a_{n,2} & \cdots & a_{n,n} \\
a_{n,1} & a_{n,2} & \cdots & a_{n,n} \\
\end{pmatrix} </math>
\end{pmatrix} </math>.


Числа <math>\ a_{i,j}</math> називаються елементами матриці. Положення кожного елемента в матриці визначається номерами рядка і стовпчика, в яких знаходиться цей елемент.
Числа <math>\ a_{i,j}</math> називаються елементами матриці. Положення кожного елемента в матриці визначається номерами рядка і стовпчика, в яких знаходиться цей елемент. Наприклад, елемент <math>\ a_{i,j}</math> знаходиться в <math>i</math>-му рядку та <math>j</math>-му стовпчику матриці <math>A</math>. Це положення часто позначається індексами.
Це положення часто позначається індексами.


Будь-які дві квадратні матриці одного порядку можна додати та перемножити. Квадратні матриці часто використовують для зображення простих [[Лінійне_відображення| лінійних перетворень]], таких як [https://en.wikipedia.org/wiki/Shear_mapping перетворення зсуву] чи [[Обертання_(математика)| обертання]]. Наприклад, якщо <math>R</math> — квадратна матриця, що представляє обертання ([[Матриця_повороту| матриця повороту]]), а <math>v</math> — [https://en.wikipedia.org/wiki/Column_vector вектор-стовпець], що описує [[Радіус-вектор| положення]] точки в просторі, добуток <math>Rv</math> визначає інший вектор-стовпець, що описує положення цієї точки після цього обертання. Якщо <math>v</math> — [https://en.wikipedia.org/wiki/Row_vector вектор-рядок], то те саме перетворення можна отримати, використовуючи <math>vR^{\rm T}</math>, де <math>R^{\rm T}</math> — [[Транспонована_матриця| транспонована]] матриця <math>R</math>.
Наприклад, елемент <math>\ a_{i,j}</math> знаходиться в '''i'''-му рядку та '''j'''-му стовпчику матриці '''А'''.
[[Файл:Change of axes.svg|right|thumb|160px|Поворот відносно початку координат.]]


==Головна діагональ==
== Підвиди ==
Елементи <math>a_{ii}</math> <math>(i=1,\dots,n)</math> утворюють [[Головна_діагональ| головну діагональ]] квадратної матриці. Вони лежать на уявній лінії, яка проходить від лівого верхнього кута до правого нижнього кута матриці. Наприклад, основана діагональ <math>(4\times 4)</math>-матриці на рисунку містить елементи <math>a_{11}=9</math>, <math>a_{22}=11</math>, <math>a_{33}=4</math>, <math>a_{44}=10</math>.
Становлять інтерес такі квадратні матриці:
* [[вироджена матриця|вироджені]], [[невироджена матриця|невироджені]], [[обернена матриця|обернена]];
* [[переставні матриці|переставні]], [[подібні матриці|подібні]], [[конгруентні матриці|конгруентні]];
* [[нормальна матриця|нормальні]], [[унітарна матриця|унітарні]]/[[ортогональна матриця|ортогональні]], [[ермітова матриця|самоспряжені]]/[[симетрична матриця|симетричні]], [[косоермітова матриця|косоермітові]]/[[кососиметрична матриця|кососиметричні]];
* [[додатноозначена матриця|додатноозначені]], [[проекційна матриця|проекційні]];
* [[діагональна матриця|діагональні]], [[одинична матриця|одиничні]].


Діагональ квадратної матриці, яка проходить від правого верхнього кута до нижнього лівого кута, називається ''побічною''.
Для квадратних матриць існують такі важливі характеристики як [[визначник матриці|визначник]], [[слід матриці|слід]] та [[ранг матриці|ранг]].


==Спеціальні види==
Також широко використовуються квадратні матриці з [[ціле число|цілочисленими]] елементами в [[теорія графів|теорії графів]].
: {| class="wikitable" style="float: right; margin:0ex 0ex 2ex 2ex;"
|-
! Назва !! Приклад з ''n'' = 3
|-
| [[Діагональна матриця]] || style="text-align:center;" | <math>
\begin{bmatrix}
a_{11} & 0 & 0 \\
0 & a_{22} & 0 \\
0 & 0 & a_{33}
\end{bmatrix}
</math>
|-
| [[Трикутна матриця|Нижньо трикутна матриця]] || style="text-align:center;" | <math>
\begin{bmatrix}
a_{11} & 0 & 0 \\
a_{21} & a_{22} & 0 \\
a_{31} & a_{32} & a_{33}
\end{bmatrix}
</math>
|-
| [[Трикутна матриця|Верхньо трикутна матриця]] || style="text-align:center;" | <math>
\begin{bmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
0 & a_{22} & a_{23} \\
0 & 0 & a_{33}
\end{bmatrix}
</math>
|}
===Діагональна або трикутна матриця===


Якщо всі елементи за межами основної діагоналі дорівнюють нулю, <math>A</math> називається [[Діагональна_матриця| ''діагональною матрицею'']]. Якщо тільки всі елементи вище (або нижче) основної діагоналі дорівнюють нулю, <math>A</math> називається нижньо (або верхньо) [[Трикутна_матриця| трикутною матрицею]].
[[Файл:Change of axes.svg|right|thumb|160px|Поворот відносно початку координат.]]


===Одинична матриця===
== Лінійні перетворення векторного простору ==

[[Одинична_матриця| ''Одинична матриця'']] <math>I_{n}</math> розміру <math>n</math> — це <math>(n\times n)</math>-матриця, у якій всі елементи на [[Головна_діагональ| головній діагоналі]] рівні <math>1</math>, а всі інші елементи дорівнюють <math>0</math>, наприклад
:<math>
I_1 = \begin{bmatrix} 1 \end{bmatrix}
,\
I_2 = \begin{bmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{bmatrix}
,\ \cdots ,\
I_n = \begin{bmatrix}
1 & 0 & \cdots & 0 \\
0 & 1 & \cdots & 0 \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & \cdots & 1
\end{bmatrix}.
</math>
Це квадратна матриця порядку <math>n</math>, а також особливий вид діагональної матриці. Її називають одиничною матрицею, оскільки добуток з нею залишає матрицю незмінною:
:<math>AI_n=I_mA=A \quad</math> для будь-якої <math>(m\times n)</math>-матриці <math>A</math>.

===Симетрична або кососиметрична матриця===

Квадратна матриця <math>A</math>, яка дорівнює її транспонованій, тобто <math>A=A^{\rm T}</math>, називається [[Симетрична_матриця| ''симетричною матрицею'']]. Якщо <math>A</math> дорівнюватиме його транспонованій матриці з мінусом, тобто <math>A=-A^{\rm T}</math>, то <math>A</math> називається [[Кососиметрична_матриця| кососиметричною матрицею]]. У [[Матриця_(математика)| комплексних матрицях ]] симетрію часто замінюють поняттям [[Ермітова_матриця| ермітових матриць]], які задовольняють рівності <math>A^{\rm H}=A</math>, де <math>A^{\rm H}</math> — [[Спряжені_числа| ермітово-спряжена]] матриця, тобто транспонована [[Спряжені_числа| комплексно-спряжена]] матриця.

За [[Спектральна_теорема| спектральною теоремою]], дійсні симетричні (або комплексні ермітові) матриці мають ортогональний (або ортонормований) [[Базис_(математика)| базис]], тобто кожен вектор виражається через [[Лінійна_комбінація| лінійну комбінацію]] власних векторів. В обох випадках усі власні значення є дійсними.<ref>Horn, Johnson 1985, Theorem 2.5.6</ref> Цю теорему можна узагальнити до нескінченновимірного випадку, пов'язаного з матрицями, які мають нескінченно багато рядків і стовпців.

===Обернена матриця===

Квадратну матрицю <math>A</math> називають [[Невироджена_матриця| ''невиродженою'']] (або ''несингулярною''), якщо існує матриця <math>B</math> така, що <ref>Brown 1991, Definitions I.2.28 and Definition I.5.13</ref>
:<math>AB=BA=I_n.</math>
Якщо <math>B</math> існує, то вона єдина і називається [[Невироджена_матриця| оберненою матрицею]] до матриці <math>A</math> і позначається <math>A^{-1}</math>.

===Нормальна матриця===

Квадратну матрицю <math>A</math> називають [[Нормальна_матриця| ''нормальною'']], якщо <math>A^{\rm T}A=AA^{\rm T}</math>, тобто якщо вона комутує з своєю транспонованою матрицею.

===Додатно та від'ємно визначені матриці===
{| class="wikitable" style="float:right; text-align:center; margin:0ex 0ex 2ex 2ex;"
|-
! [[Positive definite matrix|Додатно визначена]] !! [[Indefinite matrix|Невизначена]]
|-
| <math> \begin{bmatrix}
1/4 & 0 \\
0 & 1 \\
\end{bmatrix} </math>
| <math> \begin{bmatrix}
1/4 & 0 \\
0 & -1/4
\end{bmatrix} </math>
|-
|<math>Q(x,y) = \frac{1}{4}x^2+y^2</math>
| <math>Q(x,y) = \frac{1}{4}x^2-\frac{1}{4}y^2</math>
|-
| [[File:Square-Matrix-Ellipse.jpg|thumb]] <br> Точки для яких <math>Q(x,y)</math>&nbsp;=&nbsp;1 <br> ([[Еліпс| еліпс]]).
| [[File:Square-Matrix-Hyperbola.jpg|thumb]] <br> Точки для яких <math>Q(x,y)</math>&nbsp;=&nbsp;1 <br> ([[Гіпербола_(математика)| гіпербола]]).
|}
Симетричну <math>(n\times n)</math>-матриця називають [[Дійсне_число| ''додатно визначеною'']] (відповідно від'ємно визначеною або невизначеною), якщо для всіх ненульових векторів <math>x\in\mathbb{R}^n</math> відповідна [[Квадратична_форма| квадратична форма]]
:<math>Q(x)=x^{\rm T}Ax</math>
приймає лише додатні значення (відповідно лише від'ємні або як деякі від'ємні так і деякі додатні значення).<ref>Horn & Johnson 1985, Chapter 7</ref> Якщо квадратична форма приймає лише невід'ємні значення (відповідно лише недодатні) значення, то симетрична матриця називається ''додатно напіввизначеною'' (відповідно від'ємно напіввизначена). Отже, матриця є невизначеною саме тоді, коли вона не є ні додатно напіввизначеною, ні від'ємно напіввизначеною.

Симетрична матриця є додатно визначеною тоді і лише тоді, коли всі її власні значення додатні<ref>Horn & Johnson 1985, Theorem 7.2.1</ref>. У таблиці показано дві можливості для <math>(2\times 2)</math>-матриць.

Якщо використати два різні вектори, то отримаємо [[Білінійна_форма| білінійну форму]] пов'язану з матрицею <math>A</math>: <ref>Horn & Johnson 1985, Example 4.0.6, p. 169</ref>
:<math>B_A(x,y)=x^{\rm T}Ay.</math>

===Ортогональна матриця===

''Ортогональна матриця'' — це [[Матриця_(математика)| квадратна матриця]] з [[Дійсне_число| дійсними елементами]], стовпці та рядки якої є [[Ортогональність| ортогональними]] [[Одиничний_вектор|одиничними векторами]] (тобто, [https://en.wikipedia.org/wiki/Orthonormality ортонормованими] векторами). Еквівалентно, матриця <math>A</math> є ортогональною, якщо її [[Транспонована_матриця| транспонована]] матриця дорівнює її [[Невироджена_матриця| оберненій]]:
:<math>A^{\rm T}=A^{-1}</math>
звідки випливає
:<math>A^{\rm T}A=AA^{\rm T}=I,</math>
де <math>I</math> — [[Одинична_матриця| одинична матриця]].

Ортогональна матриця <math>A</math> завжди має обернену (<math>A^{-1}=A^{\rm T}</math>), [[Унітарна_матриця| унітарну]] (<math>A^{-1}=A^*</math>) і [[Нормальна_матриця |нормальну]] (<math>A^*A=AA^*)</math> матрицю. [[Визначник| Визначник]] будь-якої ортогональної матриці дорівнює або <math>+1</math>, або <math>-1</math>. ''Спеціальна ортогональна матриця'' — ортогональна матриця з [[Визначник| визначником]] <math>+1</math>. Як [[Лінійне_відображення| лінійне перетворення]], кожна ортогональна матриця з визначником <math>+1</math> — це простий [[Обертання_(математика)| поворот]], тоді як кожна ортогональна матриця з визначником <math>-1</math> є простим [[Відбиття_(геометрія)| відзеркаленням]], або суперпозицією віддзеркаленя і повороту.

[[Комплексне_число| Комплексний]] аналог ортогональної матриці — це [[Унітарна_матриця| унітарна матриця]].

==Операції==
===Слід===

[[Слід_матриці| Слід]] квадратної матриці <math>A</math> <math>(\operatorname{tr}(A))</math> — це сума її елементів головної діагоналі. Хоча множення матриці не є комутативним, слід добутку двох матриць не залежить від порядку множників:
:<math>\operatorname{tr}(AB)=\operatorname{tr}(BA).</math>
Це безпосередньо випливає з означення множення матриць:
:<math>\operatorname{tr}(AB)=\sum^m_{i=1}\sum^n_{j=1}A_{ij}B_{ji}=\operatorname{tr}(BA).</math>
Також слід матриці дорівнює сліду її транспонованої матриці, тобто
:<math>\operatorname{tr}(A)=\operatorname{tr}\left(A^{\rm T}\right).</math>

===Визначник===
Визначник <math>\det(A)</math> або <math>|A|</math> квадратної матриці <math>A</math> — це число, що визначає певні властивості матриці. Матриця є невиродженою [[Тоді_й_лише_тоді| тоді і лише тоді]], коли її визначник ненульовий. [[Модуль_(математика)| Абсолютне значення]] визначника дорівнює площі (в <math>\mathbb{R}^2</math>) або об'єму (в <math>\mathbb{R}^3</math>) образу одиничного квадрату (або кубу), при цьому знак визначника відповідає орієнтації відповідного лінійного відображення, визначник додатній тоді і лише тоді, коли орієнтація зберігається.
Визначник <math>(2\times 2)</math>-матриць обчислюється за формулою
:<math>\det \begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix} = ad-bc.</math>
Визначник <math>(3\times 3)</math>-матриць використовує 6 добутків ([[Правило_Саррюса|правило Сарруса]]). Більш довша [[Формула_Лейбніца_для_визначників| формула Лейбница]] узагальнює ці дві формули для будь-якої розмірності.<ref>Brown 1991, Definition III.2.1</ref>
[[File:Square-Matrix-Linear-Map.png|thumb|Лінійне перетворення в <math>\mathbb{R}^2</math>, що задане вказаною матрицею. Визначник цієї матриці дорівнює <math>-1</math>, оскільки площа зеленого паралелограма праворуч дорівнює <math>1</math>, але відображення змінило [[Орієнтація| орієнтацію]] векторів (з орієнтації проти годинникової стрілки на орієнтацію за годинниковою стрілкою).|альт=|400x200px]]

Визначник добутку квадратних матриць дорівнює добутку їх визначників:<ref>Brown 1991, Theorem III.2.12</ref>
:<math>\det(AB)=\det(A)\cdot \det(B).</math>
Додавання будь-якого рядка з коефіцієнтом до другого рядка, або будь-якого стовпця з коефіцієнтом до другого стовпця не змінює визначник. Перестановка місцями двох рядків або стовпців приводить до зміни знаку визначника.<ref>Brown 1991, Corollary III.2.16</ref> За допомогою цих операцій будь-яка матриця може бути зведена на нижньо (або верхньо) трикутної матриці, а для таких матриць визначник дорівнює добутку елементів по головній діагоналі, що дає метод обчислювання визначника будь-якої матриці. Нарешті, [[Теорема_Лапласа| теорема Лапласа]] виражає визначник у термінах [[Мінор_матриці| мінорів]], тобто визначників матриць меншої розмірності <ref>Mirsky 1990, Theorem 1.4.1</ref>. Ця теорема дає можливість рекурсивного обчислення визначників (починаючи з визначника <math>(1\times 1)</math>-матриці, або навіть з визначника <math>(0\times 0)</math>-матриці, який дорівнює 1), що можна розглядати як еквівалент формулі Лейбніца. Визначники можна використовувати для розв'язання [https://en.wikipedia.org/wiki/Linear_system лінійних систем] за допомогою [[Метод_Крамера| метода Крамера]], де відношення визначників двох пов'язаних квадратних матриць дорівнює значенню кожної зі змінних системи.<ref>Brown 1991, Theorem III.3.18</ref>

=== Лінійні перетворення векторного простору ===
Квадратні матриці застосовують для опису [[лінійне перетворення|лінійного перетворення]] [[векторний простір|векторного простору]].
Квадратні матриці застосовують для опису [[лінійне перетворення|лінійного перетворення]] [[векторний простір|векторного простору]].
: <math>f:V_K \to V_K \!</math>
: <math>f\colon \ V_K \to V_K.</math>


Для запису лінійного перетворення матрицею в лінійному просторі потрібно вибрати [[базис (математика)|базис]].
Для запису лінійного перетворення матрицею в лінійному просторі потрібно вибрати [[базис (математика)|базис]].
Рядок 35: Рядок 159:
Для дослідження властивостей лінійного перетворення використовують [[власний вектор|власні вектори]] та [[власне значення матриці|власні значення]] матриці.
Для дослідження властивостей лінійного перетворення використовують [[власний вектор|власні вектори]] та [[власне значення матриці|власні значення]] матриці.


===Власні значення та власні вектори===
[[Файл:Secretsharing-3-point.png|right|thumb|160px|Система трьох рівнянь(3 площини) з трьома невідомими (3-мірність простору). Розв'язком є точка перетину площин.]]
Число <math>\lambda</math> і ненульовий вектор <math>v</math>, що задовольняють рівності
:<math>Av=\lambda v,</math>
називаються ''власним значенням'' та ''власним вектором'' матриці <math>A</math> відповідно.<ref>Eigen means ``own'' in German and in Dutch</ref><ref>Brown 1991, Definition III.4.1</ref> Число <math>\lambda</math> — власне значення <math>(n\times n)</math>-матриці <math>A</math> тоді і лише тоді, коли матриця <math>A-\lambda I_n</math> немає оберненої, що [https://en.wikipedia.org/wiki/Logical_equivalence еквівалентно]<ref>Brown 1991,Definition III.4.9</ref> умові
:<math>\det(A-\lambda I_n)=0.</math>
Многочлен (поліном) <math>p_A</math> змінної <math>x</math>, отриманий як визначник матриці <math>\det(xI_n-A)</math>, називається [[Характеристичний_поліном| ''характерестичним многочленом'']] матриці <math>A</math>. Це [[Нормований_многочлен| нормований многочлен]] [[Степінь_многочлена| степеня]] <math>n</math>. Тому рівняння <math>p_A(\lambda)=0</math> має максимум <math>n</math> різних коренів, тобто власних значень матриці.<ref>Brown 1991, Corollary III.4.10</ref> Ці значення можуть бути комплексними, навіть якщо всі елементи матриці <math>A</math> дійсні. Згідно [[Теорема_Гамільтона_—_Келі| теореми Гамільтона-Келі ]], <math>p_A(A)=0</math>, тобто при підстановці самої матриці в характеристичний многочлен, отримаємо [[Нульова_матриця| нульову матрицю]].


==Див. також==
== Система лінійних алгебраїчних рівнянь ==
* [[Матриця_Картана| Матриця Картана]]
[[Система лінійних алгебраїчних рівнянь]] із [[невироджена матриця|невиродженою]] квадратною матрицею має єдиний розв'язок. Якщо стовпець правої частини нульовий, то система має тільки нульовий розв'язок.

== Квадратичні форми ==
Симетрична квадратна матриця називається [[додатноозначена матриця|додатньо-означеною]], якщо асоційована з нею [[квадратична форма]] ''Q''('''x''') = '''x'''<sup>T</sup>'''Ax'''
: ''Q''<sub>'''A'''</sub>(''x'',''y'') &ge; 0.

== Див. також ==
{{Портал|Математика}}
* [[Теорія матриць]]
* [[Теорія матриць]]
* [[Формула Лейбніца для визначників]]
* [[Формула Лейбніца для визначників]]
Підвиди матриць:
* [[вироджена матриця|вироджені]], [[невироджена матриця|невироджені]], [[обернена матриця|обернена]];
* [[переставні матриці|переставні]], [[подібні матриці|подібні]], [[конгруентні матриці|конгруентні]];
* [[нормальна матриця|нормальні]], [[унітарна матриця|унітарні]]/[[ортогональна матриця|ортогональні]], [[ермітова матриця|самоспряжені]]/[[симетрична матриця|симетричні]], [[косоермітова матриця|косоермітові]]/[[кососиметрична матриця|кососиметричні]];
* [[додатноозначена матриця|додатноозначені]], [[проекційна матриця|проекційні]];
* [[діагональна матриця|діагональні]], [[одинична матриця|одиничні]].


== Примітки ==
{{примітки}}


==Список літератури==
== Джерела ==
* {{Citation |last1=Brown |first1=William C. |title=Matrices and vector spaces |publisher=[[Marcel Dekker]] |location=New York, NY |isbn=978-0-8247-8419-5 |year=1991 |url-access=registration |url=https://archive.org/details/matricesvectorsp0000brow }}
* {{Citation |last1=Horn |first1=Roger A. |author1-link=Roger Horn |last2=Johnson |first2=Charles R. |author2-link=Charles Royal Johnson |title=Matrix Analysis |publisher=Cambridge University Press |isbn=978-0-521-38632-6 |year=1985 }}
* {{Citation |last1=Mirsky |first1=Leonid |authorlink=Leon Mirsky |title=An Introduction to Linear Algebra |url=https://books.google.com/?id=ULMmheb26ZcC&pg=PA1&dq=linear+algebra+determinant |publisher=Courier Dover Publications |isbn=978-0-486-66434-7 |year=1990 }}
* {{Гантмахер.Теорія матриць}}
* {{Гантмахер.Теорія матриць}}



Версія за 18:02, 11 квітня 2020

Квадратна матриця порядку 4. Елементи утворюють головну діагональ квадратної матриці. Наприклад, основна діагональ квадратної матриці містить елементи =9, =11, =4, =10.

У математиці, квадратна матриця — це матриця з однаковою кількістю рядків і стовпців. -матриця — це квадратна матриця порядку :

.

Числа називаються елементами матриці. Положення кожного елемента в матриці визначається номерами рядка і стовпчика, в яких знаходиться цей елемент. Наприклад, елемент знаходиться в -му рядку та -му стовпчику матриці . Це положення часто позначається індексами.

Будь-які дві квадратні матриці одного порядку можна додати та перемножити. Квадратні матриці часто використовують для зображення простих лінійних перетворень, таких як перетворення зсуву чи обертання. Наприклад, якщо — квадратна матриця, що представляє обертання ( матриця повороту), а вектор-стовпець, що описує положення точки в просторі, добуток визначає інший вектор-стовпець, що описує положення цієї точки після цього обертання. Якщо вектор-рядок, то те саме перетворення можна отримати, використовуючи , де транспонована матриця .

Поворот відносно початку координат.

Головна діагональ

Елементи утворюють головну діагональ квадратної матриці. Вони лежать на уявній лінії, яка проходить від лівого верхнього кута до правого нижнього кута матриці. Наприклад, основана діагональ -матриці на рисунку містить елементи , , , .

Діагональ квадратної матриці, яка проходить від правого верхнього кута до нижнього лівого кута, називається побічною.

Спеціальні види

Назва Приклад з n = 3
Діагональна матриця
Нижньо трикутна матриця
Верхньо трикутна матриця

Діагональна або трикутна матриця

Якщо всі елементи за межами основної діагоналі дорівнюють нулю, називається діагональною матрицею. Якщо тільки всі елементи вище (або нижче) основної діагоналі дорівнюють нулю, називається нижньо (або верхньо) трикутною матрицею.

Одинична матриця

Одинична матриця розміру — це -матриця, у якій всі елементи на головній діагоналі рівні , а всі інші елементи дорівнюють , наприклад

Це квадратна матриця порядку , а також особливий вид діагональної матриці. Її називають одиничною матрицею, оскільки добуток з нею залишає матрицю незмінною:

для будь-якої -матриці .

Симетрична або кососиметрична матриця

Квадратна матриця , яка дорівнює її транспонованій, тобто , називається симетричною матрицею. Якщо дорівнюватиме його транспонованій матриці з мінусом, тобто , то називається кососиметричною матрицею. У комплексних матрицях симетрію часто замінюють поняттям ермітових матриць, які задовольняють рівності , де ермітово-спряжена матриця, тобто транспонована комплексно-спряжена матриця.

За спектральною теоремою, дійсні симетричні (або комплексні ермітові) матриці мають ортогональний (або ортонормований) базис, тобто кожен вектор виражається через лінійну комбінацію власних векторів. В обох випадках усі власні значення є дійсними.[1] Цю теорему можна узагальнити до нескінченновимірного випадку, пов'язаного з матрицями, які мають нескінченно багато рядків і стовпців.

Обернена матриця

Квадратну матрицю називають невиродженою (або несингулярною), якщо існує матриця така, що [2]

Якщо існує, то вона єдина і називається оберненою матрицею до матриці і позначається .

Нормальна матриця

Квадратну матрицю називають нормальною, якщо , тобто якщо вона комутує з своєю транспонованою матрицею.

Додатно та від'ємно визначені матриці

Додатно визначена Невизначена
Square-Matrix-Ellipse.jpg

Точки для яких  = 1
( еліпс).
Square-Matrix-Hyperbola.jpg

Точки для яких  = 1
( гіпербола).

Симетричну -матриця називають додатно визначеною (відповідно від'ємно визначеною або невизначеною), якщо для всіх ненульових векторів відповідна квадратична форма

приймає лише додатні значення (відповідно лише від'ємні або як деякі від'ємні так і деякі додатні значення).[3] Якщо квадратична форма приймає лише невід'ємні значення (відповідно лише недодатні) значення, то симетрична матриця називається додатно напіввизначеною (відповідно від'ємно напіввизначена). Отже, матриця є невизначеною саме тоді, коли вона не є ні додатно напіввизначеною, ні від'ємно напіввизначеною.

Симетрична матриця є додатно визначеною тоді і лише тоді, коли всі її власні значення додатні[4]. У таблиці показано дві можливості для -матриць.

Якщо використати два різні вектори, то отримаємо білінійну форму пов'язану з матрицею : [5]

Ортогональна матриця

Ортогональна матриця — це квадратна матриця з дійсними елементами, стовпці та рядки якої є ортогональними одиничними векторами (тобто, ортонормованими векторами). Еквівалентно, матриця є ортогональною, якщо її транспонована матриця дорівнює її оберненій:

звідки випливає

де одинична матриця.

Ортогональна матриця завжди має обернену (), унітарну () і нормальну ( матрицю. Визначник будь-якої ортогональної матриці дорівнює або , або . Спеціальна ортогональна матриця — ортогональна матриця з визначником . Як лінійне перетворення, кожна ортогональна матриця з визначником — це простий поворот, тоді як кожна ортогональна матриця з визначником є простим відзеркаленням, або суперпозицією віддзеркаленя і повороту.

Комплексний аналог ортогональної матриці — це унітарна матриця.

Операції

Слід

Слід квадратної матриці — це сума її елементів головної діагоналі. Хоча множення матриці не є комутативним, слід добутку двох матриць не залежить від порядку множників:

Це безпосередньо випливає з означення множення матриць:

Також слід матриці дорівнює сліду її транспонованої матриці, тобто

Визначник

Визначник або квадратної матриці — це число, що визначає певні властивості матриці. Матриця є невиродженою тоді і лише тоді, коли її визначник ненульовий. Абсолютне значення визначника дорівнює площі (в ) або об'єму (в ) образу одиничного квадрату (або кубу), при цьому знак визначника відповідає орієнтації відповідного лінійного відображення, визначник додатній тоді і лише тоді, коли орієнтація зберігається. Визначник -матриць обчислюється за формулою

Визначник -матриць використовує 6 добутків (правило Сарруса). Більш довша формула Лейбница узагальнює ці дві формули для будь-якої розмірності.[6]

Лінійне перетворення в , що задане вказаною матрицею. Визначник цієї матриці дорівнює , оскільки площа зеленого паралелограма праворуч дорівнює , але відображення змінило орієнтацію векторів (з орієнтації проти годинникової стрілки на орієнтацію за годинниковою стрілкою).

Визначник добутку квадратних матриць дорівнює добутку їх визначників:[7]

Додавання будь-якого рядка з коефіцієнтом до другого рядка, або будь-якого стовпця з коефіцієнтом до другого стовпця не змінює визначник. Перестановка місцями двох рядків або стовпців приводить до зміни знаку визначника.[8] За допомогою цих операцій будь-яка матриця може бути зведена на нижньо (або верхньо) трикутної матриці, а для таких матриць визначник дорівнює добутку елементів по головній діагоналі, що дає метод обчислювання визначника будь-якої матриці. Нарешті, теорема Лапласа виражає визначник у термінах мінорів, тобто визначників матриць меншої розмірності [9]. Ця теорема дає можливість рекурсивного обчислення визначників (починаючи з визначника -матриці, або навіть з визначника -матриці, який дорівнює 1), що можна розглядати як еквівалент формулі Лейбніца. Визначники можна використовувати для розв'язання лінійних систем за допомогою метода Крамера, де відношення визначників двох пов'язаних квадратних матриць дорівнює значенню кожної зі змінних системи.[10]

Лінійні перетворення векторного простору

Квадратні матриці застосовують для опису лінійного перетворення векторного простору.

Для запису лінійного перетворення матрицею в лінійному просторі потрібно вибрати базис.

Для дослідження властивостей лінійного перетворення використовують власні вектори та власні значення матриці.

Власні значення та власні вектори

Число і ненульовий вектор , що задовольняють рівності

називаються власним значенням та власним вектором матриці відповідно.[11][12] Число — власне значення -матриці тоді і лише тоді, коли матриця немає оберненої, що еквівалентно[13] умові

Многочлен (поліном) змінної , отриманий як визначник матриці , називається характерестичним многочленом матриці . Це нормований многочлен степеня . Тому рівняння має максимум різних коренів, тобто власних значень матриці.[14] Ці значення можуть бути комплексними, навіть якщо всі елементи матриці дійсні. Згідно теореми Гамільтона-Келі , , тобто при підстановці самої матриці в характеристичний многочлен, отримаємо нульову матрицю.

Див. також

Підвиди матриць:


Примітки

  1. Horn, Johnson 1985, Theorem 2.5.6
  2. Brown 1991, Definitions I.2.28 and Definition I.5.13
  3. Horn & Johnson 1985, Chapter 7
  4. Horn & Johnson 1985, Theorem 7.2.1
  5. Horn & Johnson 1985, Example 4.0.6, p. 169
  6. Brown 1991, Definition III.2.1
  7. Brown 1991, Theorem III.2.12
  8. Brown 1991, Corollary III.2.16
  9. Mirsky 1990, Theorem 1.4.1
  10. Brown 1991, Theorem III.3.18
  11. Eigen means ``own in German and in Dutch
  12. Brown 1991, Definition III.4.1
  13. Brown 1991,Definition III.4.9
  14. Brown 1991, Corollary III.4.10

Список літератури