Теорема Сильвестра — Галлаї

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Версія від 07:29, 26 червня 2021, створена Lxlalexlxl (обговорення | внесок)
(різн.) ← Попередня версія | Поточна версія (різн.) | Новіша версія → (різн.)
Перейти до навігації Перейти до пошуку

Теорема Сильвестра — класичний результат комбінаторної геометрії про конфігурації прямих на площині.

Формулювання[ред. | ред. код]

На площині дано скінченне число точок, причому таке, що будь-яка пряма, яка проходить через дві з даних точок, містить ще одну дану точку. Тоді всі дані точки лежать на одній прямій.

Про доведення[ред. | ред. код]

Теорема Сильвестра знаменита тим, що її досить складно довести безпосередньо і при цьому просте доведення полягає в переході до її двоїстого переформулювання:

Якщо на площині дано таку скінченну множину прямих, що через будь-яку точку перетину двох даних прямих проходить ще одна з них, то всі вони проходять через одну точку або паралельні.

Доведення двоїстого переформулювання[ред. | ред. код]

Sylvester.svg
Сильвестр.jpg

Нехай одна з даних прямих не проходить через одну з точок перетину . Знайдемо точку перетину і пряму, для яких відстань менша, ніж від до . Оскільки число перетинів скінченне, це дасть суперечність. Випадок, коли через проходить пряма, не паралельна , зображено на малюнку. Якщо ж третя пряма, що проходить через , паралельна до прямої , то розглянемо трикутник , середні лінії якого утворюють трикутник , де і  — точки перетину двох прямих, що проходять через , з прямою . Якщо третя пряма, що проходить через , не перетинає відрізка , то відстань від точки до неї менша, ніж до . Аналогічно, якщо третя пряма, що проходить через , не перетинає відрізка , то відстань від точки до неї менша, ніж до . Якщо ж третя пряма, що проходить через , перетинає відрізок і третя пряма, що проходить через , перетинає відрізок , то виникає точка перетину цих прямих. Якщо вона не збігається з , то вона ближче до прямої , ніж . Якщо ж вона збігається з , то можна застосувати вищенаведене міркування до неї і прямої . Виникне трикутник , середні лінії якого утворюють трикутник . Замінюючи тепер у наших міркуваннях трикутник трикутником і діючи далі аналогічно, отримуємо суперечність зі скінченністю множини. ■

Пряме доведення[ред. | ред. код]

Пряме доведення знайшов через пів століття Келлі[en].

Припустимо неколінеарність точок даної множини. Вибираємо пару: її точка і пряма , для якої відстань від до мінімальна додатна; така пара існує з огляду на скінченність множин точок і з'єднувальних прямих. Позначимо на три точки: , і з даної множини. Нехай точка є основою перпендикуляра, опущеного з на . Не зменшуючи загальності, можна вважати, що точки , і розташовані на в зазначеному порядку; при цьому точки і можуть збігатися. Тоді відстань від точки до прямої додатна і менша, ніж від до . Суперечність. ■

Зауваження[ред. | ред. код]

Оскільки в доведенні ніяк не використовується умова, що всі точки лежать у площині, теорема Сильвестра поширюється на множини в евклідовому просторі довільної розмірності.

Див. також[ред. | ред. код]