Зірка Годжа

Зірка Годжа — важливий лінійний оператор з простору q-векторів в простір (n—q)-форм. Метричний тензор задає канонічний ізоморфізм між просторами q-форм і q-векторів, тому зазвичай зіркою Годжа називають оператор з простору диференціальних форм розмірності q в простір форм розмірності n-q.

$*\colon \Lambda ^{q}(T^{*}M)\to \Lambda ^{n-q}(T^{*}M)$

Цей оператор був введений Вільямом Годжем.

Означення

Оператор дуальності - оператор на многовиді $M^{n}$ розмірності $n$ у присутності метрики $g_{ij},$ який визначається рівністю

$(*T)_{i_{k+1}...i_{n}}={\frac {1}{k!}}{\sqrt {\mathrm {det} (g_{ij})}}\varepsilon _{i_{1}...i_{n}}T^{i_{1}...i_{k}},$

де $T^{i_{1}...i_{k}}=g^{i_{1}j_{1}}...g^{i_{k}j_{k}}T_{j_{1}...j_{k}},$ компонента $\varepsilon _{i_{1}...i_{n}}$ відмінна від нуля, якщо серед індексів $i_{1},...,i_{n}$ немає повторюваних і тоді $\varepsilon _{i_{1}...i_{n}}=+1,$ якщо $\mathrm {sign} (i_{1},...,i_{n})=1$ та -1, якщо $\mathrm {sign} (i_{1},...,i_{n})=-1.$ Оператор дуальності задає ізоморфізм простору кососиметричних тензорів типу $(0,k)$ на простір кососиметричних тензорів типу $(0,n-k).$ Іноді оператор дуальності називається оператором Ходжа або *-оператором.

Нехай $V$ - дійсний векторний простір. Метрика на $V$ індукує метрику на його тензорних просторах $g(x_{1}\otimes x_{2}\otimes ...\otimes x_{k},\,x_{1}'\otimes x_{2}'\otimes ...\otimes x_{k}')=g(x_{1},x_{1}')g(x_{2},x_{2}')...g(x_{k},x_{k}').$ Це задає невироджений скалярний добуток на диференціальних формах на римановому многовиді:

$g(\alpha ,\beta ):=\int _{M}g(\alpha ,\beta )\mathrm {Vol} _{M}.$

Інша невироджена форма задається формулою $\alpha ,\beta \rightarrow \int _{M}\alpha \land \beta$ (зпарювання Пуанкаре).

Нехай $M$ - римановий n-вимірний многовид. Оператор Ходжа $*:\Lambda ^{k}M\rightarrow \Lambda ^{n-k}M$ визначається формулою

$g(\alpha ,\beta )=\int _{M}\alpha \land *\beta .$

У ортонормальному базисі $\xi _{1},...,\xi _{n}\in \Lambda ^{1}M$ його можна задати на мономах

$*(\xi _{i_{1}}\land \xi _{i_{2}}\land ...\land \xi _{i_{k}})=(-1)^{s}\xi _{j_{1}}\land \xi _{j_{2}}\land ...\land \xi _{j_{n-k}},$

де $\xi _{j_{1}},\xi _{j_{2}},...,\xi _{j_{n-k}}$ - додатковий набір ковекторів, а $s$ - сигнатура перестановки $(i_{1},...,i_{k},\,j_{1},...,j_{n-k}).$

Зауваження: $*^{2}|_{\Lambda ^{k}(M)}=(-1)^{k(n-k)}\mathrm {Id} _{\Lambda ^{k}(M)}.$

Допоміжні означення

Означимо форму об'єму

$\Omega =f(X)dX^{0}\wedge \ldots \wedge dX^{n-1}$

$\Omega _{M_{1}\ldots M_{n}}=f(X)\varepsilon _{M_{1}\ldots M_{n}}$

де $f(X):M\to \mathbb {R}$ — невід'ємний скаляр на многовиді $M$, а $\varepsilon _{M_{1}\ldots M_{n}}$ — символ Леві-Чивіти. $\varepsilon _{0\ldots n-1}=+1$. Навіть за відсутності метрики, якщо $f(X)>0$, можна визначити контраваріантні компоненти форми об'єму.

${\check {\Omega }}={\frac {1}{f(X)}}{\frac {\partial }{\partial {X^{0}}}}\wedge \cdots \wedge {\frac {\partial }{\partial {}{X^{n-1}}}}$

${\check {\Omega }}^{M_{1}\ldots M_{n}}=f^{-1}(X)\varepsilon ^{M_{1}\ldots M_{n}}$

тут антисиметричний символ $\varepsilon ^{M_{1}\ldots M_{n}}$ збігається $\varepsilon _{M_{1}\ldots M_{n}}$.

У присутності метрики $\Omega$ з піднятими індексами може відрізнятися від ${\check {\Omega }}$ на знак: $\Omega =\sigma {\check {\Omega }}$. Тут і далі $\sigma =\operatorname {sgn} \det(g_{mk})$

Уведемо операцію антисиметризації:

$A_{[m_{1}\ldots m_{q}]}={\frac {1}{q!}}\sum _{\sigma (m_{1}\ldots m_{q})}(-1)^{\operatorname {sgn}(m_{1}\ldots m_{q})}A_{\sigma (m_{1}\ldots m_{q})}$. Підсумовування ведеться за всіма перестановками $\sigma (m_{1}\ldots m_{q})$ індексів, укладених в квадратні дужки, з урахуванням їх парності $\operatorname {sgn}(\sigma )$. Аналогічно визначається антисимметризація верхніх індексів; антисимметризувати можна тільки за групою індексів одного типу. Приклади: $A_{k[lm]}={\frac {1}{2!}}(A_{klm}-A_{kml})$; $A_{k}^{[l}B_{p}^{m]}={\frac {1}{2!}}(A_{k}^{l}B_{p}^{m}-A_{k}^{m}B_{p}^{l})$.

Джерела

• David Bleecker (1981) Gauge Theory and Variational Principles. Addison-Wesley Publishing. ISBN 0-201-10096-7. Chpt. 0 contains a condensed review of non-Riemannian differential geometry.
• Jurgen Jost (2002) Riemannian Geometry and Geometric Analysis. Springer-Verlag. ISBN 3-540-42627-2. A detailed exposition starting from basic principles; does not treat the pseudo-Riemannian case.
• Charles W. Misner, Kip S. Thorne, John Archibald Wheeler (1970) Gravitation. W.H. Freeman. ISBN 0-7167-0344-0. A basic review of differential geometry in the special case of four-dimensional spacetime.
• Steven Rosenberg (1997) The Laplacian on a Riemannian manifold. Cambridge University Press. ISBN 0-521-46831-0. An introduction to the heat equation and the Atiyah-Singer theorem.
• Tevian Dray (1999) The Hodge Dual Operator [Архівовано 18 вересня 2017 у Wayback Machine.]. A thorough overview of the definition and properties of the Hodge star operator.