Лема Адамара

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Версія від 19:04, 22 грудня 2021, створена Олюсь (обговорення | внесок)
(різн.) ← Попередня версія | Поточна версія (різн.) | Новіша версія → (різн.)
Перейти до навігації Перейти до пошуку

Лема Адамара (англ. Hadamard's lemma) — твердження, що описує будову гладкої дійсної функції. Названа на честь французького математика Жака Адамара.

Нехай — функція класу , де , визначена у випуклому околі точки . Тоді існують такі функції класу , визначені в , що для всіх має місце рівність

Якщо функція — аналітична, то й функції у наведеній вище формулі аналітичні.

Узагальнене формулювання[ред. | ред. код]

Лема Адамара може бути сформульована у загальнішій формі, коли частина змінних грає роль параметрів.

Нехай — функція класу , де , визначена на випуклому околі точки , при цьому і . Тоді існують такі функції класу , визначені в , що для всіх має місце рівність

Доведення. Розглянемо допоміжну функцію , де — додаткова дійсна змінна (параметр). Нехай пробігає значення з відрізку , тоді функція , що розглядається як функція при кожному фіксованому значенні параметра , пробігає в просторі функцій від змінних деяку криву з кінцями и .

Розглядаючи як функцію змінної , залежну від параметрів і , і застосувуючи формулу Ньютона—Лейбніца, можна записати:

де

Необхідна гладкість функцій випливає з відомої теореми про диференціювання інтеграла, що залежить від параметра.

Застосування[ред. | ред. код]

Лема Адамара дозволяє отримати низку корисних наслідків, що знаходять застосування в різних розділах математики, в першу чергу, в теорії особливостей.

  • За допомогою леми Адамара легко доводиться Лема Морса.
  • Інший корисний наслідок леми Адамара (в її узагальненому вигляді) полягає в тому, що якщо росток гладкої функції обертається в нуль на гіперплощині , то його можна подати у вигляді де — деяка гладка функція.
  • Звідси слідує, що для ростка довільної гладкої функції має місце подання де і — гладкі функції.
  • Застосовуючи індукцію, звідси неважко отримати також загальніше представлення:

де и — гладкі функції та — довільне натуральне число.

Див. також[ред. | ред. код]

Джерела[ред. | ред. код]