Перегляд вихідного коду сторінки 0 (число)

{{Натуральне число|num=0|uk=Нуль|factor=[[Нуль]]|roman=Відсутній|bin=0|hex=0|oct=0 
|Арабський запис=<big>٠,0</big> 
|Бенгальський запис= <big> ০</big>
}}
{{Infobox number
|ordinalsuffix=-ий
|lang1=[[Арабська мова|Арабською]] і [[Сорані]]
|lang1 symbol={{resize|200%|٠}}
|lang3=[[Бенгальська мова|Бенгалі]]
|lang3 symbol={{resize|150%|০}}
|lang4=[[Деванаґарі]]
|lang4 symbol={{resize|150%|०}}
|lang7=[[Китайські цифри]]
|lang7 symbol=零, 〇
}}
{{вікісловник|нуль|нульовий}}

'''0''' ('''нуль''' від {{lang-la|nullus}}&nbsp;— ніякий)&nbsp;— [[0 (цифра)|цифра]] й одночасно [[число]], [[нейтральний елемент]] для операції [[додавання]]. [[Множення]] будь-якого елемента множини на нуль дає нуль.

== Природа нуля ==
Залежно від множини, на якій визначена операція додавання, нуль може мати різну природу. Зазвичай мають на увазі дійсний нуль, тобто нуль в контексті множини дійсних чисел; комплексний нуль; нуль-[[многочлен]]; нуль-[[вектор]].

Очевидно,{{кому}} що дійсний нуль, комплексний нуль, нуль-многочлен (якщо коеффіцієнти многочлена комплексні числа) є одним й тим самими [[об'єкт]]ом.

Дійсний нуль є границею між областю [[Додатне число|додатніх]] й областю [[Від'ємне число|від'ємних]] чисел. Нуль не має знака. Деякі вчені говорять про множинності нуля, розділяючи [[Дійсне число|множину дійсних чисел]] на три [[підмножина|підмножини]] однакової [[потужність множини|потужності]]: додатні, від'ємні й беззнакові числа. При цьому беззнакові числа є нуль. Множина беззнакових чисел замкнена відносно операцій додавання й множення.

Нуль є нульовим [[число Мерсенна|числом Мерсенна]].

== Нуль як натуральне число ==
Існує два підходи до визначення [[натуральне число|натуральних чисел]], що відрізняються належністю нуля множині натуральних чисел. В радянській школі прийнято не відносити нуль до натуральних чисел.

== В математиці ==
{{See also|Парність числа нуль}}

'''0'''&nbsp;— [[ціле число]], що слідує одразу перед [[1 (число)|1]]. [[Парність числа нуль|Нуль є парним числом]]<ref>[[Lemma (mathematics)|Lemma]] B.2.2, ''The integer 0 is even and is not odd'', in {{cite book |first=Robert C. |last=Penner |year=1999 |title=Discrete Mathematics: Proof Techniques and Mathematical Structures |publisher=World Scientific |isbn=981-02-4088-0 |page=[https://archive.org/details/discretemathemat0000penn/page/34 34] |url=https://archive.org/details/discretemathemat0000penn/page/34 }}</ref> оскільки ділиться без залишку на 2.<ref>{{cite book
|title=The historical roots of elementary mathematics
|first1=Lucas Nicolaas Hendrik
|last1=Bunt
|first2=Phillip S.
|last2=Jones
|first3=Jack D.
|last3=Bedient
|publisher=Courier Dover Publications
|year=1976
|isbn=0-486-13968-9
|pages=254–255
|url=https://books.google.com/books?id=7xArILpcndYC}}, [https://books.google.com/books?id=7xArILpcndYC&pg=PA255 Extract of pages 254—255]
</ref> 0 (за межами [[СРСР|радянської]] школи)&nbsp;— [[натуральне число]], і є єдиним не додатнім натуральним числом. А також:

* Існує нульове [[число Фібоначчі]]
* 2<sup>0</sup> = 1
* 0! = 1
* в [[Давня Греція|Давній Греції]] числа 0 не було
* У [[Числення висловлень|численні висловлень]] нуль може використовуватись для позначення [[значення істинності]] «хиба».
* Власність [[Логарифм|логарифму]]: <math>\log_a 1 = 0</math>, при а > 0

== В фізиці ==
Значення нуль відіграє особливу роль для багатьох фізичних величин. Для деяких величин, рівень нуля за природою відрізняється від інших, в той час як для деяких він вибраний довільним чином. Наприклад, для [[Термодинамічна температура|абсолютної температури]] (що вимірюється в [[Кельвін]]ах) [[Абсолютний нуль|нуль]] це найменше можливе значення (існують визначення і [[Абсолютна від'ємна температура|від'ємних температур]], але системи із негативною температурою фактично не мають холодніших значень). На противагу цьому є шкала температур Цельсія, де за нуль довільним чином вибрано значення [[Температура плавлення|температури замерзання]] води. При вимірювання інтенсивності звуку в [[децибел]]ах або [[Фон (одиниця гучності)|фонах]], нульовий рівень вибирають довільно відповідно до опорного значення— наприклад, значення для порогу чутності. У [[Фізика|фізиці]], [[Нульова енергія|точка нульової енергії]] найменше можливе значення енергії, якою може володіти [[Квантова механіка|квантово-механічна]] [[фізична система]], а також це є енергія {{нп|Стаціонарний стан системи|стаціонарного стану|en|Stationary state}} системи.

== В хімії ==
Нуль був запропонований як [[Атомний номер|атомний номер]] теоретичного елементу {{нп|тетранейтрон||en|tetraneutron}}. Було показано, що кластер із чотирьох [[Нейтрон|нейтронів]] може бути досить стабільним, аби його на повних правах розглядали як [[Атом|атом]]. Це б утворило новий [[Хімічний елемент|елемент]], що не містить [[Протон|протонів]] і не має заряду [[Ядро атома|ядра]].

Ще в 1926, Андреас фон Антропофф ввів термін [[нейтроній]] для гіпотетичної форми [[Матерія (фізика)|матерії]] утвореної лише з нейтронів, без участі протонів, яку він впорядкував як хімічний елемент із атомним числом нуль на початку нової версії [[Періодична система хімічних елементів|періодичної таблиці хімічних елементів]]. Згодом він класифікував його як благородний газ посеред декількох спіральних представлень періодичної системи для класифікації хімічних елементів.

== В інших галузях ==
* [[ASCII]]-код управляючого символу <code>NUL</code>
* [[Музичний інтервал]] [[прима (інтервал)|прима]] охоплює '''0''' [[Тон (музика)|тонів]]
* [[0 (рік)|Нульового року]] в [[юліанський календар|юліанському]] й [[григоріанський календар|григоріанському]] календарі не було
* В Інформатиці індексування [[Масив (структура даних)|масиву]] починається з 0 в таких мовах програмування, як [[C]], [[C++]], [[Java]], [[Python]] та інші.

== Цікаві факти ==
* Будь-яке число (крім нуля) в нульовому степені буде дорівнювати одиниці

== Історія ==
Хоча в [[Давня Греція|Давній Греції]] число 0 не було відоме, в астрономічних таблицях [[Клавдій Птолемей|Клавдія Птолемея]] пусті клітинки позначались символом ο (літера омікрон, від {{lang-grc|ονδεν}}&nbsp;— ''нічого''); можливо, що це позначення вплинуло на появу нуля, але більшість істориків визнає, що десятковий нуль винайшли індійські математики
<ref>[http://www-gap.dcs.st-and.ac.uk/~history/HistTopics/Zero.html Історія нуля] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20081204042054/http://www-gap.dcs.st-and.ac.uk/~history/HistTopics/Zero.html# |date=4 грудень 2008 }} {{ref-en}}</ref><ref>[http://home.ubalt.edu/ntsbarsh/zero/ZERO.HTM Zero in Four Dimensions: Cultural, Historical, Mathematical, and Psychological Perspectives]{{ref-en}}</ref>. Спочатку найпершим у світі вважали код нуля, знайдений у напису [[787]] року, нанесеному на храмовий мур у місті [[Гваліор]] (Центральна Індія), але [[2017]] року [[радіовуглецеве датування]], якому піддали т.&nbsp;зв. {{нп|Бахшалійський рукопис|||Bakhshali manuscript}}, написаний на бересті, сповнений математичних правил, прикладів і пояснень до них (у підрахунках сотні разів з'являється нуль у вигляді крапки) та знайдений ще [[1881]] року у полі на території сучасного [[Пакистан]]у, засвідчив, що індійські математики широко вживали нуль ще в [[III століття|III столітті нашої ери]]. І лише через багато століть арабські математики підхопили нуль від індійців, а через їхні праці цифра нуль потім поступово перейшла в європейську систему числення<ref>[https://zbruc.eu/node/71043 «Нуль» старіший, ніж припускали // Zbruch, 23.09.2017]</ref>.

=== Стародавній Близький Схід ===
{| style="float:right; clear:right; text-align:center; border: 1px solid" align=right cellspacing=0 cellpadding=8
|-
!''nfr''<br/>&nbsp;
|серце із трахеєю<br/>красивий, приємний, добрий
|<hiero>F35</hiero>
|}
[[Єгипетська система числення|Система числення Стародавнього Єгипту]] була [[Десяткова система числення|десятковою]]. Єгиптяни для запису цифр використовували [[ієрогліфи]] і вони не були [[Позиційні системи числення|позиційними]] як прийнято зараз. Близько 1770&nbsp;р. до н.&nbsp;е., Єгиптяни мали символ для позначення нуля, що зустрічається у облікових записах. Символ ''nfr'', що означав «красивий», також використовувався для позначення основного рівня при кресленні гробниць і пірамід, а відстані вимірювалися відносно цієї лінії основи, як такі що знаходяться вище або нижче цієї лінії.<ref>{{cite book |last=Joseph |first=George Gheverghese |page=86 |title=The Crest of the Peacock: Non-European Roots of Mathematics (Third Edition) |isbn=978-0-691-13526-7 |publisher=[[Princeton University Press|Princeton]] |year=2011}}</ref>

До середини другого тисячоліття до н.&nbsp;е., [[Вавилонська математика]] мала складну [[Шістдесяткова система числення|шістдесяткову]] позиційну систему числення. Відсутність позиційного значення (нуль) позначали як ''пропуск'' між шістдесятковими цифрами. До 300&nbsp;р. до н.&nbsp;е., в цій самій [[Вавилонські цифри|Вавилонській системі]] було прийнято використовувати символ пунктуації (два нахилені клини) для заповнення [[Вільні і зв'язані змінні|знакомісця]]. На табличці знайдені у місті [[Кіш (місто)|Кіш]] (що датується приблизно з 700&nbsp;р. до н.&nbsp;е.), писар Бел-бан-аплу (Bêl-bân-aplu) записував нулі трьома гачками, а не двома нахиленими клинами.<ref name="multiref1">Kaplan, Robert. (2000). ''The Nothing That Is: A Natural History of Zero''. Oxford: Oxford University Press.</ref>

Вавилонській символ для заповнення знакомісця не був повноцінним нулем, оскільки він не використовувався самостійно без інших цифр. А також він не використовувався в кінці чисел. Таким чином такі цифри як 2 і 120 (2×60), 3 і 180 (3×60), 4 і 240 (4×60), виглядали однаково, оскільки великим цифрам бракувало в кінці шістдесяткового розряду. Відрізнити їх можна було лише завдяки контексту.

=== Американські континенти доколумбійських часів ===
[[Файл:Estela C de Tres Zapotes.jpg|thumb|upright|alt=ілюстрація уламків каменя із написами Доколумбійських часів в Америці|Зворотня сторона стели ''C'' [[Епіольмеки|Епіольмеків]] із {{нп|Трес Запотес||en|Tres Zapotes}} (археологічного пам'ятника в Мексиці), другий за віком знайдений запис [[Мезоамериканський календар довгого рахунку|дат довгого рахунку]]. Числа 7.16.6.16.18 перераховують як Вересень, 32&nbsp;р. до н.&nbsp;е. (за Юліанським календарем). Ієрогліфи, що збереглися довкола запису дати вважають одним із декількох прикладів {{нп|Письмо Епіольмеків|письма Епіольмеків|en|Isthmian script}}.]]

[[Мезоамериканський календар довгого рахунку]], що існував у південно-центральній Мексиці і Центральній Америці використовував нуль для заповнення знакомісця в {{нп|Двадцяткова система числення|двадцятковій|en|vigesimal}} (із основою-20) позиційний системі числення. Багато різних символів, зокрема цей неповний {{нп|чотирилисник||en|quatrefoil}} —[[Файл:MAYA-g-num-0-inc-v1.svg|alt=невелике зображення неповного чотирилисника]]—використовувався як символ нуля для цих довгих дат, найстарішим із них (на другій Стелі в Чіапа де Корзо, [[Чіапас]]) мав записану дату в 36&nbsp;до н.&nbsp;е. Насправді, записи довгих за відліком дат в яких використовувався нуль, знаходилися до часів 3-го століття до н.е, але оскільки така система відліку довгих чисел не мала б сенсу без деякого заповнювача знакомісця, а між мезоамериканськими ієрогліфами зазвичай немає пропусків, ці ранні дати прийняті як доказ, що поняття 0 вже існувало в ті часи.

Оскільки вісім найдавніших календарів довгого рахунку знаходилися за межами батьківщини Мая,<ref>Diehl, p. 186</ref> прийнято вважати, що використання нуля на Американських континентах почалося до Майя, і ймовірно нуль був винаходом [[Ольмеки|Ольмеків]].<ref>{{cite news |last=Mortaigne |first=Véronique |url=https://www.theguardian.com/culture/2014/nov/28/mayan-civilisation-paris-exhibition |title=The golden age of Mayan civilisation – exhibition review |work=[[The Guardian]] |date=November 28, 2014 |deadurl=no |archiveurl=https://web.archive.org/web/20141128222215/http://www.theguardian.com/culture/2014/nov/28/mayan-civilisation-paris-exhibition |archivedate=28 November 2014 |accessdate=October 10, 2015}}</ref> Багато із найстарших календарів довгого рахунку були знайдені на територіях, що є різними для Ольмеків, хоча цивілізація Ольмеків перестала існувати до {{nowrap|4-го століття до н.е.}}, що на декілька століть раніше ніж вік найдавніших календарів довгого рахунку.

Хоча нуль був невід'ємною частиною [[Система числення майя|системи чисел Майя]], в якій використовувався своєрідний ієрогліф для позначення цифри «нуль», подібному до порожнього панциру [[Сухопутні черепахи|черепахи]], вважають що це ніяк не вплинуло на систему числення [[Старий світ|Старого Світу]].

[[Кіпу]], пристосування із шнурів з вузликами, яке використовувалося у [[Інки|Імперії Інків]] і їх попередніх спільнотах в у [[Анди|Андах]] для запису цифрових даних, представляли собою кодування у [[Десяткова система числення|десятковій]] позиційній системі. Нуль позначали як відсутність вузла в відповідній позиції.

=== Класичні античні часи ===
В [[Стародавня Греція|стародавній Греції]] не було символу для позначення нуля (μηδέν), і не використовували цифрового знакомісця для нього.<ref>{{Cite web |url=http://yaleglobal.yale.edu/about/zero.jsp |title=The History of Zero |last=Wallin |first=Nils-Bertil |date=19 November 2002 |website=YaleGlobal online |publisher=The Whitney and Betty Macmillan Center for International and Area Studies at Yale. |access-date=September 1, 2016 |deadurl=yes |archiveurl=https://web.archive.org/web/20160825124525/http://yaleglobal.yale.edu/about/zero.jsp |archivedate=25 August 2016 |df=dmy-all }}</ref> Схоже на те, що вони були не певні щодо статусу нуля як числа. Існувало запитання, «Як ніщо може ''бути'' чимось?», що призвело до появи філософських і релігійних (у період [[середньовіччя]]) роздумів щодо природи і існування нуля і [[вакуум]]у. [[Апорії Зенона|Парадокс]] [[Зенон Елейський|Зенона Елейського]] в більшій мірі був викликаний непевною інтерпретацією поняття нуля.

[[Файл:P. Lund, Inv. 35a.jpg|thumb|right|300px|alt=Fragment of papyrus with clear Greek script, lower-right corner suggests a tiny zero with a double-headed arrow shape above it|Приклад давньогрецького запису символа нуль (в правому нижньому куті) на папірусі 2-го століття]]
Близько 130&nbsp;р. до н.&nbsp;е., [[Клавдій Птолемей|Птолемей]], під впливом [[Гіппарх]]а і Вавилонців, використовував символ нуль (невелике коло із довгою рискою зверху) у своїй роботі з математичної астрономії, що відома як ''[[Альмагест]]''. Спосіб використання нуля можна побачити із таблиці хорд в даній крижці. Птолемей використовував нуль у [[Шістдесяткова система числення|шістдесятковій]] системі числення, також використовував буквені [[Грецька система числення|грецькі цифри]]. Оскільки він використовувався самостійно, не лише як заповнювач знакомісця, цей Елліністичний нуль є напевне найдавнішою письмовою згадкою, де використовується цифрове представлення нуля в Старому світі.<ref>{{MacTutor|id=Zero|title=A history of Zero}}</ref>

Після [[Візантійська імперія|Візантійських]] рукописів Птолемеєвого ''Алмагеста'', Елліністичний нуль перетворився у грецьку літеру [[Омікрон (літера)|Омікрон]].

Інше позначення нуля використовували в таблицях разом із [[Римська система числення|римськими числами]] в 525&nbsp;р. (перше відоме використання знайдене у [[Діонісій Малий|Діонісія Малого]]), але у вигляді слова, ''nulla'', що означало «ніщо», а не символа.<ref>{{cite web |title=Zero and Fractions |url=http://www.knowtheromans.co.uk/Categories/SubCatagories/RomanNumerals/#V |website=Know the Romans |accessdate=21 September 2016}}</ref> Коли при діленні залишок дорівнював нулю, використовувалося слово ''nihil'', що тако означає «ніщо». Ці середньовічні поняття нулів згодом використовувалися в усіх майбутніх середньовічних [[Обчислення дати Великодня|розрахунках дат Великодня]]. Вперше літеру «N» як символ, що позначав нуль в таблиці римських чисел, використав [[Беда Преподобний]] або його соратники в&nbsp;725&nbsp;р.

=== Китай ===
[[Файл:Zero in Rod Calculus.png|thumb|right|Це зображення як нуль представляли в Китаї за допомогою [[Рахункові палички|рахункових паличок]], що взяте із прикладу наведеного у ''Історії математики''. Порожнє місце використовувалося аби представити нуль.<ref name="Hodgkin"/>]]
Точний вік математичного трактату ''{{нп|Сунцу Суанчінг||en|Sunzi Suanjing}}''&nbsp;— невідомий, але за оцінками він датується періодом з 1-го до {{nowrap|5-го століть н.е.}}, а Японські записи, що датуються 18-им&nbsp;століттям, описують як система Китайських [[рахункові палички|рахункових паличок]] {{nowrap|з 4-го століття до н.е.}} використовувалася для здійснення розрахунків в десятковій системі. Відповідно до ''Історії Математики'', палички «надавали десяткове представлення числа, де пусте місце означало нуль.»<ref name="Hodgkin">{{cite book |last=Hodgkin |first=Luke |title=A History of Mathematics : From Mesopotamia to Modernity: From Mesopotamia to Modernity |url=https://books.google.com/books?id=f6HlhlBuQUgC&pg=PA85 |date=2 June 2005 |publisher=Oxford University Press |isbn=978-0-19-152383-0 |page=85}}</ref> Система рахункових паличок, як вважають була [[Позиційні системи числення|позиційною]] системою.<ref>Crossley, Lun. 1999, p.12 «the ancient Chinese system is a place notation system»</ref>

У [[690]]&nbsp;р., [[У Цзетянь|Імператриця У]] ввела у вжиток {{нп|Китайські ієрогліфи Імператриці У|зетійські символи|en|Chinese characters of Empress Wu}}, одним з яких був «〇». Це слово тепер використовують як синонім для числа нуль.

В ті часи нуль ре розглядали як число, а він був «порожньою позицією».<ref name="Crossley">{{cite book |author1=Kang-Shen Shen |author2=John N. Crossley |author3=Anthony W. C. Lun |author4=Hui Liu |title=The Nine Chapters on the Mathematical Art: Companion and Commentary |url=https://books.google.com/books?id=eiTJHRGTG6YC3 |year=1999 |publisher=Oxford University Press |isbn=978-0-19-853936-0 |page=35 |quote=zero was regarded as a number in India... whereas the Chinese employed a vacant position}}</ref> ''{{нп|Математичний трактат в дев'яти розділах||en|Mathematical Treatise in Nine Sections}}'' [[Цінь Цзюшао]], написаний в 1247 є найстарішим китайським математичним текстом, що зберігся в якому використовується округлий символ для позначення нуля.<ref name="Qin">{{cite web |url=http://grmath4.phpnet.us/istoria/the_history_of%20math_greece/the_history_of%20math_greece_3-5.pdf |title=Mathematics in the Near and Far East |format=pdf |website=grmath4.phpnet.us |page=262}}</ref> За часів [[Династія Хань|Династії Хань]] {{nowrap|(2-е століття н.е.)}} китайські автори були знайомі із поняттям від'ємних чисел, це видно із ''[[Дев'ять розділів з математичного мистецтва|Дев'яти розділів із математичного мистецтва]]'',<ref name=struik33>Struik, Dirk J. (1987). ''A Concise History of Mathematics''. New York: Dover Publications. pp. 32–33. «''In these matrices we find negative numbers, which appear here for the first time in history.''»</ref>, що є набагато раніше ніж це поняття добре закріпилося в Європі у 15-му&nbsp;столітті.<ref name="Qin"/>

=== Індія та Південно-Східна Азія ===
{{нп|Пінгала||en|Pingala}}(3-є/2-ге століття до н.&nbsp;е.<ref>{{cite book |author=Kim Plofker |title=Mathematics in India |url=https://books.google.com/books?id=DHvThPNp9yMC&pg=PA55 |year=2009 |publisher=Princeton University Press |isbn=0-691-12067-6 |pages=55–56}}</ref>), що вивчав веди [[Чандас]],<ref>{{cite book |author=Vaman Shivaram Apte |title=Sanskrit Prosody and Important Literary and Geographical Names in the Ancient History of India |url=https://books.google.com/books?id=4ArxvCxV1l4C&pg=PA648 |year=1970 |publisher=Motilal Banarsidass |isbn=978-81-208-0045-8 |pages=648–649}}</ref> використовував [[Двійкова система числення|двійкові числа]] у вигляді коротких і довгих рисочок (довгі риски мали довжину вдвічі більшу за короткі), запис що був схожим на [[Азбука Морзе|код Морзе]].<ref>{{cite web |url=http://people.sju.edu/~rhall/Rhythms/Poets/arcadia.pdf |title=Math for Poets and Drummers |format=pdf |website=people.sju.edu}}</ref> Пінгала використовував [[Санскрит]]ське слово ''[[Шуньята|шунья]]'' для явного вказання нуля.<ref>Kim Plofker (2009), Mathematics in India, Princeton University Press, {{ISBN|978-0691120676}}, page 54–56. Quote&nbsp;— «In the Chandah-sutra of Pingala, dating perhaps the third or second century BC, […] Pingala's use of a zero symbol [śūnya] as a marker seems to be the first known explicit reference to zero.» Kim Plofker (2009), Mathematics in India, Princeton University Press, {{ISBN|978-0691120676}}, 55–56. "In the Chandah-sutra of Pingala, dating perhaps the third or second century BC, there are five questions concerning the possible meters for any value «n». […] The answer is (2)<sup>7</sup> = 128, as expected, but instead of seven doublings, the process (explained by the sutra) required only three doublings and two squarings&nbsp;— a handy time saver where «n» is large. Pingala's use of a zero symbol as a marker seems to be the first known explicit reference to zero.</ref>

Вважають, що найбільш раннім текстом де використовувалася десяткова [[Позиційні системи числення|позиційна система чисел]], що також містила в собі нуль, це ''{{нп|Локавібхага||en|Lokavibhaga}}'', [[Джайнізм|Днайнійський]] текст з [[Космологія|космології]], що зберігся у середньовічному перекладі на санскрит оригіналу з [[Пракрити|пракритської]], яка датується 458&nbsp;р. н.&nbsp;е. ([[Сака ера]] 380). В цьому тексті, ''[[Шуньята|шунья]]'' («пустий, порожній») також використовувалося як слово, що ідентифікує нуль.<ref>Ifrah, Georges (2000), p.&nbsp;416.</ref>

== Див. також ==
* [[0 (цифра)]]
* [[+0]]
* [[Від'ємний і додатний нуль]]

== Примітки ==
{{reflist}}

== Посилання ==
{{Commonscat|0 (number)}}
* [http://wordlaw.org.ua/2011/02/03/yak-vinajshli-cifru-shho-poznachaye-nichogo.html Як винайшли цифру, що позначає «нічого»? Історія нуля]{{Недоступне посилання|date=грудень 2018 |bot=InternetArchiveBot }} // wordlaw.org.ua
* [http://en.wikisource.org/wiki/The_Encyclopedia_Americana_%281920%29/Zero The Encyclopedia Americana (1920) / Zero]{{ref-en}}
* [https://zbruc.eu/node/71043 «Нуль» старіший, ніж припускали // Zbruch, 23.09.2017]

{{Натуральні числа до 1000|zero}}
{{Number-stub}}

[[Категорія:Нуль]]
[[Категорія:Винаходи Індії]]
[[Категорія:Ніщо]]