PrimeGrid

PrimeGrid — проект добровільних розподілених обчислень на платформі BOINC і PRPNet, метою якого є пошук простих чисел різного виду. Проект стартував 12 червня 2005 року.

Основна мета проекту — нести задоволення пересічному користувачу від знаходження простих чисел. Другою метою PrimeGrid є надання відповідних навчальних матеріалів про прості числа.

І нарешті, прості числа грають центральну роль в криптографічних систем, які використовуються для комп'ютерної безпеки. Через вивчення простих чисел можна показати, скільки вимагається обчислень, щоб зламати код шифрування і таким чином визначити, чи є поточні схеми безпеки достатньо безпечними.

Участь у проекті PrimeGrid можлива у два способи: через BOINC і через Project Staging Area (PSA)

Історія проекту

2005 рік

Проект започатковано 12 червня 2005 року приблизно о 14:00 UTC. Message@Home (тепер PrimeGrid) відкрив реєстрацію для 50 перших користувачів. Проект стартував на домашньому лептопі Rytis Slatkevičius.

Message@Home було розроблено як тестовий проект для PerlBOINC у спробі реалізувати BOINC сервер мовою програграмування . Першочерговою метою проекту на PerlBOINC було отримати короткі завдання (WU) із стандартних постійним результатом. Першим проектом був Message7, в якому ми намагалися за допомогою прямого перебору відновити повідомлення, зашифроване за допомогою md5. У серпні 2005 до проекту було долучено додаток RSA 640 Factoring Challenge. Подібно до Message7 у цьому проекті ми намагалися прямим перебором віднайти дільник для 640 цифрового RSA ключа. Message7 було припинено. 1 вересня 2005 року після невеличкої наради було обрано нову назву для проекту, PrimeGrid було обрано з варіації PrimeGrid@Home, що була запропонована користувачем на ім'я Heffed. За це він отримав 999 очок. :)

У листопаді 2005 зусиллями іншого проекту було факторизовано RSA 640, отже PrimeGrid рушив на штурм RSA 768. Оскільки шанси на факторизацію залишалися нескінченно малими, подальший розвиток залишено для PerlBOINC.

2006 рік

У березні 2006 проект RSA 768 було перервано для запуску нового, PrimeGen. У цьому проекті ми намагалися побудувати базу послідовних простих чисел, що на деякий час навернуло PrimeGrid на стежину пошуку простих чисел. Вторинною метою залишалась допомога RSA Factoring Challenges. Однак, незабаром з'ясувалося, що ці зусилля теж мають нескінченно малі шанси на успіх. Тим не менш пошук проекту, гідного розподілених обчислень, було продовжено.

В червні 2006 розпочався діалог з ведучими проекту Riesel Sieve із пропозицією перенести їхній проект на рейки BOINC. Rytis надавав підтримку PerlBOINC і команда Riesel Sieve успішно започаткувала їхній відсів (sieve), так само як додаток LLR для пошуку простих чисел. У співпраці з Riesel Sieve PrimeGrid вдалось реалізувати додаток LLR в партнерстві з іншими проектом з пошуку простих чисел, Twin Prime Search. У листопаді 2006, підпроект TPS LLR було офіційно запущено в PrimeGrid.

2007 рік

Менш ніж за два місяці, у січні 2007 рекордну пару простих чисел-близнюків було знайдено в початковому ручному проекті. PrimeGrid та TPS продовжили пошук ще більших пар простих-близнюків.

Літо 2007 виявилось досить спекотним, адже саме тоді було запущено пошук простих Cullen та Woodall. Восени, завдяки партнерським відносинам з Prime Sierpinski Problem і проектом 321, ще більше пошуків простих було додано. Додатково було додано 2 відсіва: Prime Sierpinski Problem об'єднаний відсів, що включає підтримку відсіву за проблемою Seventeen or Bust; а також комбінований Cullen/Woodall відсів:

• у липні 2007 року додано підпроект Woodall LLR.
• у серпні 2007 року додано підпроект Cullen LLR.
• 15 вересня 2007 року розпочато об'єднаний Cullen/Woodall Sieve.
• 13 жовтня 2007 року додано підпроект PSP Sieve.
• 18 листопада 2007 року додано підпроект 321 LLR.
• 11 грудня 2007 року додано підпроект PSP LLR.

Восени 2007 PrimeGrid мігрував деякі системи з PerlBOINC до стандартного програмного забезпечення BOINC. Тим не менш, багато з сервісів до цього часу залишаються на базі PerlBOINC.

2008 рік

29 лютого 2008 року встановлено співпрацю з Proth Search.

15 березня 2008 року розпочато серію челенджів. Встановлено рекорд одного дня — понад 820К очок.

13 квітня 2008 року Project Staging Area додано задля допомоги у адаптації нових застосунків для BOINC.

10 березня 2008 року підпроект PrimeGen завершено.

28 серпня 2008 року чат Meebo додано до форуму.

26 грудня 2008 року розпочато підпроект AP26.

2009 рік

У лютому 2009 року PrimeGrid товаришує з 12121 Search у пошуку простих форм 121·2ⁿ−1 та 27·2ⁿ−1. PrimeGrid додає форму +1 і розпочинає пошук усіх чотирьох форм у підпроекті 27121 Search.

12 травня 2009 року розпочато Factorial Prime Search.

3 серпня 2009 року — в PrimeGrid введено систему бейджів.

16 серпня 2009 року — розпочато Sophie Germain Prime Search.

16 вересня 2009 року PrimeGrid доєднує до підпроектів Seventeen or Bust задля розв'язання проблеми Серпинського.

20 жовтня 2009 року випущено ppsieve для PPSE sieve, що у 6 разів швидший за попередній.

5 листопада 2009 року розпочато Generalized Fermat Prime Search.

8 листопада 2009 року з'явилась надія на появу застосунку для GPU в PrimeGrid. Розпочато розробку та тестування.

У грудні 2009 року додано підтримку CUDA для AP26.

2010 рік

1 лютого 2010 року офіційно розпочинається співпраця з Seventeen or Bust заради розв'язання проблеми Серпінського.

7 березня 2010 року відновлено підпроект The Riesel Problem з TRP (Sieve).

9 березня 2010 року розпочато тестування CUDA в Proth Prime Sieve.

19 березня 2010 року розпочато підпроект extended Sierpinski problem.

21 березня 2010 року розпочато підпроект The Riesel Problem (LLR).

2011 рік

2012 рік

На початку січня 2012 програма GeneferCUDA була портована з клієнта PRPNet до BOINC. Почавши у статусі бета тесту, дуже швидко Genefer став офіційним проектом, відкритим для доєднання для будь-кого з відповідним залізячним начинням. Протягом лише першого місяця у проекті було віднайдено 2 нових простих числа форми General Fermat Number (GFN).

2013 рік

2014 рік

У травні 2014 року розпочато повторну перевірку в BOINC результатів підпроекту SR5, отриманих в PRPNet.

На початку червня 2014 року підпроект Extended Sierpinski Problem портовано з PRPNet до BOINC.

29 червня 2014 року розпочато підпроект ESP Sieve — проект «сіялка» для підпроекта ESP LLR.

18 липня 2014 року підпроект PPS-MEGA портовано з PRPNet до BOINC.

2015 рік

У жовтні 2015 року підпроекти GFN 32768, GFN 65536, GFN 131072 (Low) і GFN 131072 (Mega) портовано з PRPNet до BOINC, а у листопаді — GFN 262144, GFN 524288 та GFN 1048576.

2016 рік

У вересні 2016 року розпочато підпроект AP27.

Визначні дати

• 12 червня 2005 року — народився Message@Home з підпроектом Message7, у якому було відкрито реєстрацію для перших 50 користувачів
• 1 вересня 2005 року — Message@Home змінює назву на PrimeGrid
• 7 серпня 2007 року — в PrimeGrid знайдено найбільше відоме просте Вудала: 2013992·2^2013992-1
• 20 серпня 2007 року — в PrimeGrid знайдено найбільше відоме просте Вудала: 2367906·2^2367906-1
• 21 грудня 2007 року — в PrimeGrid знайдено найбільше відоме просте Вудала: 3752948·2^3752948-1
• 7 грудня 2009 року — в PRPNet знайдено найбільше відоме узагальнене просте Вудала: 563528·13⁵⁶³⁵²⁸-1
• 4 жовтня 2010 року — в PRPNet знайдено найбільше відоме факторіальне просте: 94550!-1
• 14 грудня 2010 року — в PRPNet знайдено найбільше відоме факторіальне просте: 103040!-1
• 20 грудня 2010 року — в PRPNet знайдено найбільше відоме прайморіальне просте: 843301#-1
• 8 лютого 2011 року — в PRPNet знайдено найбільше відоме узагальнене просте Ферма: 145310²⁶²¹⁴⁴+1
• 24 лютого 2011 року — в PRPNet знайдено найбільше відоме узагальнене просте Вудала: 404882·43⁴⁰⁴⁸⁸²-1
• 11 червня 2011 року — в PRPNet знайдено найбільше відоме факторіальне просте: 110059!+1
• 22 червня 2011 року — в PrimeGrid знайдено найбільший відомий дільник числа Ферма: 9·2^2543551+1 ділить F(2543548)
• 29 жовтня 2011 року — в PRPNet знайдено найбільше відоме узагальнене просте Ферма: 361658²⁶²¹⁴⁴+1
• 19 листопада 2011 року — в PRPNet знайдено найбільше відоме узагальнене просте Ферма: 75898⁵²⁴²⁸⁸+1
• 25 грудня 2011 року — в PrimeGrid знайдено найбільшу відому пару простих-близнюків: 3756801695685·2⁶⁶⁶⁶⁶⁹±1
• 29 січня 2012 року — в PRPNet знайдено найбільше відоме узагальнене просте Каллена: 427194·113⁴²⁷¹⁹⁴+1
• 28 лютого 2012 року — в PRPNet знайдено найбільше відоме прайморіальне просте: 1098133#-1
• 9 квітня 2012 року — в PrimeGrid знайдено найбільше відоме просте Софі Жермен: 18543637900515·2⁶⁶⁶⁶⁶⁷−1, 18543637900515·2⁶⁶⁶⁶⁶⁸−1 (2p+1)
• 15 червня 2012 року — в PrimeGrid знайдено найбільше відоме узагальнене просте Ферма: 341112⁵²⁴²⁸⁸+1
• 20 червня 2012 року — в PrimeGrid знайдено найбільше відоме узагальнене просте Ферма: 356926⁵²⁴²⁸⁸+1
• 8 серпня 2012 року — в PrimeGrid знайдено найбільше відоме узагальнене просте Ферма: 475856⁵²⁴²⁸⁸+1
• 13 травня 2013 року — в PrimeGrid знайдено найбільший відомий дільник числа Ферма: 57·2^2747499+1 ділить F(2747497)
• 25 липня 2014 року — в PrimeGrid знайдено найбільший відомий дільник числа Ферма: 193·2^3329782+1 ділить F(3329780)
• 29 лютого 2016 року — в PrimeGrid знайдено найбільше відоме просте Софі Жермен: 2618163402417·2^1290000−1, 2618163402417·2^1290001−1 (2p+1)
• 14 вересня 2016 року — в PrimeGrid знайдено найбільшу відому пару простих-близнюків: 2996863034895·2^1290000±1
• 8 жовтня 2016 року — в PrimeGrid знайдено найбільше відоме узагальнене просте Каллена: 682156·79⁶⁸²¹⁵⁶+1
• 21 серпня 2017 року — в PrimeGrid знайдено найбільше відоме узагальнене просте Каллена: 1341174·53^1341174+1
• 29 серпня 2017 року — в PrimeGrid знайдено найбільше відоме узагальнене просте Ферма: 919444^1048576+1
• 18 січня 2018 року — в PrimeGrid знайдено найбільше відоме узагальнене просте Каллена: 1323365·116^1323365+1
• 11 березня 2018 року — в PrimeGrid знайдено найбільше відоме узагальнене просте Каллена: 1806676·41^1806676+1
• 21 березня 2018 року — в PrimeGrid знайдено найбільше відоме просте Вудала: 17016602·2^17016602+1
• 31 жовтня 2018 року — в PrimeGrid знайдено найбільше відоме узагальнене просте Ферма: 1059094^1048576+1

Підпроекти (BOINC)

• 321 Prime Search (LLR)
• AP27 Search
• Cullen Prime Search (LLR)
• Extended Sierpinski Problem (LLR)
• Generalized Cullen/Woodall Prime Search (LLR)
• Prime Sierpinski Problem (LLR)
• Proth Prime Search (LLR)
• Proth Prime Search Extended (LLR)
• Proth Mega Prime Search (LLR)
• Seventeen or Bust (LLR)
• Sierpinski/Riesel Base 5 Problem (LLR)
• Sophie Germain Prime Search (LLR)
• The Riesel Problem (LLR)
• Woodall Prime Search (LLR)
• Generalized Cullen/Woodall Prime Search (Sieve)
• Proth Prime Search (Sieve)
• Generalized Fermat Prime Search (n=15)
• Generalized Fermat Prime Search (n=16)
• Generalized Fermat Prime Search (n=17 low)
• Generalized Fermat Prime Search (n=17 mega)
• Generalized Fermat Prime Search (n=18)
• Generalized Fermat Prime Search (n=19)
• Generalized Fermat Prime Search (n=20)
• Generalized Fermat Prime Search (n=21)
• Generalized Fermat Prime Search (n=22)

Завершені / призупинені підпроекти

• Message7
• RSA 640
• RSA 768
• PrimeGen
• Twin Prime Search
• AP26
• 321 Prime Search Sieve
• Cullen/Woodall Sieve
• Sierpinski (ESP/PSP/SoB) Sieve
• The Riesel Problem (Sieve)

Застосунки

Застосунок	app_name
								CUDA
321 Prime Search (LLR)	llr321
AP27 Search	ap26
Cullen Prime Search (LLR)	llrCUL
Extended Sierpinski Problem (LLR)	llrESP
Generalized Cullen/Woodall Prime Search (LLR)	llrGCW
Prime Sierpinski Problem (LLR)	llrPSP
Proth Prime Search (LLR)	llrPPS
Proth Prime Search Extended (LLR)	llrPPSE
Proth Mega Prime Search (LLR)	llrMEGA
Seventeen or Bust (LLR)	llrSOB
Sierpinski / Riesel Base 5 Problem (LLR)	llrSR5
Sophie Germain Prime Search (LLR)	llrTPS
The Riesel Problem (LLR)	llrTRP
Woodall Prime Search (LLR)	llrWOO
Generalized Cullen/Woodall Prime Search (Sieve)	gcw_sieve
Proth Prime Search (Sieve)	pps_sr2sieve
Generalized Fermat Prime Search n=15 (GFN-15)	genefer15
Generalized Fermat Prime Search n=16 (GFN-16)	genefer16
Generalized Fermat Prime Search n=17 Low (GFN-17-Low)	genefer17low
Generalized Fermat Prime Search n=17 Mega (GFN-17-Mega)	genefer17mega
Generalized Fermat Prime Search n=18 (GFN-18)	genefer18
Generalized Fermat Prime Search n=19 (GFN-19)	genefer19
Generalized Fermat Prime Search n=20 (GFN-20)	genefer20
Generalized Fermat Prime Search n=21 (GFN-21)	genefer
Generalized Fermat Prime Search n=22 (GFN-22)	genefer_wr

Переваги застосунків

• виконання завдань Sieve на GPU дає перевагу над CPU у 10-100 разів (в залежності від моделі GPU і CPU)
• виконання завдань Sieve на GPU з CUDA (NVIDIA) має перевагу над аналогічним за рівнем GPU з OpenCL (AMD)
• виконання завдань Genefer / Genefer (World Record) на GPU (NVIDIA) з використанням CUDA має перевагу над OpenCL для відеокарт родини Fermi та старших
• виконання завдань Genefer / Genefer (World Record) на GPU (NVIDIA) з використанням OpenCL має перевагу над CUDA для відеокарт родини Kepler та молодших
• виконання завдань LLR та Genefer з оптимізацією під інструкції AVX сучасних Intel процесорів (Sandy/Ivy Bridge, Haswell) дає перевагу над SSE3 у декілька разів
• виконання завдань Sieve на 64-бітному CPU дає перевагу над 32-бітних CPU клієнтом у ~1.7 раза
• виконання завдань LLR на 64-бітному CPU має невеличку перевагу над 32-бітним CPU

Підпроекти LLR

321 Prime Search

Підпроект 321 Prime Search — це продовження проекту 321 Search, що було розпочато Paul Underwood, який шукав прості виду 3·2ⁿ−1. PrimeGrid додав пошук за формою +1 і продовжує пошук аж до n=25M.

Експоненти n, для яких відповідні числа форми 3·2ⁿ+1 прості, утворюють послідовність:

1, 2, 5, 6, 8, 12, 18, 30, 36, 41, 66, 189, 201, 209, 276, 353, 408, 438, 534, 2208, 2816, 3168, 3189, 3912, 20909, 34350, 42294, 42665, 44685, 48150, 54792, 55182, 59973, 80190, 157169, 213321, 303093, 362765, 382449, 709968, 801978, 916773, 1832496, 2145353, 2291610, 2478785, 5082306, 7033641, 10829346

Експоненти n, для яких відповідні числа форми 3·2ⁿ−1 прості, утворюють послідовність:

0, 1, 2, 3, 4, 6, 7, 11, 18, 34, 38, 43, 55, 64, 76, 94, 103, 143, 206, 216, 306, 324, 391, 458, 470, 827, 1274, 3276, 4204, 5134, 7559, 12676, 14898, 18123, 18819, 25690, 26459, 41628, 51387, 71783, 80330, 85687, 88171, 97063, 123630, 155930, 164987, 234760, 414840, 584995, 702038, 727699, 992700, 1201046, 1232255, 2312734, 3136255, 4235414, 6090515, 11484018, 11731850, 11895718

Про 321 Search

Проект 321 Search було розпочато у лютому 2003 із листа від Paul Underwood, що шукав допомогу зацікавлених у пошуку простих виду 3·2ⁿ−1. Початкова мета була перевірити результати роботи вже проведені проектом Proth Search і розширити перелік простих до експоненти в 1 мільйон (n=1M). Ця мета була швидко досягнута, тому вони розвинули мету з пошуку мега великих простих, для яких вони провели відсів аж до n=5M.

Результати підпроекту

Прості числа виду 3·2ⁿ±1, що було знайдено у PrimeGrid (станом на 23 червня 2015 року):

Просте число	Цифр	Дата	Автор
3·24235414−1	1 274 988	23.03.2008	Dylan Bennett
3·22291610+1	689 844	11.08.2008	Thomas Wolfram
3·25082306+1	1 529 928	03.04.2009	Andy Brady
3·26090515−1	1 833 429	24.04.2010	David Mumper
3·27033641+1	2 117 338	21.02.2011	Michael Herder
3·210829346+1	3 259 959	14.01.2014	Sai Yik Tang
3·211484018−1	3 457 035	22.11.2014	Serhiy Gushchak
3·211731850−1	3 531 640	13.03.2015	Karsten Klopffleisch
3·211895718−1	3 580 969	23.06.2015	Michael Schulz

AP27 Search

Про AP26 (Arithmetic Progression of 26 primes)

Арифметична прогресія — послідовність чисел, різниця між послідовними членами якої є сталим числом. Наприклад послідовність 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, … є арифметичною прогресією з фіксованою різнецею, що дорівнює 2.

Таким чином, арифметична прогресія простих чисел — це послідовність простих чисел, різниця між послідовними членами якої є сталим числом. Наприклад, послідовність 3, 7, 11 є арифметичною прогресією 3 простих із фіксованою різницею 4.

Для арифметичної прогресії (AP) простих, AP-k означає k простих форми p+d*n для деяких p і d, а n приймає значення від 0 до k−1. Арифметичну прогресію, що наведено вище, можна записати як AP-3 виду 3+4·n для n=0,1,2.

n=0; 3+4·0 = 3+0 = 3

n=1; 3+4·1 = 3+4 = 7

n=2; 3+4·2 = 3+8 = 11

Іншим прикладом арифметичної прогресії простих є AP-10 виду 199+210·n для n=0..9. Вона продукує наступну послідовність простих: 199, 409, 619, 829, 1039, 1249, 1459, 1669, 1879, 2089.

AP-k також інколи записують як PAP-k (Primes in Arithmetic Progression).

Підпроект AP26 займався пошуком найдовшої (але не найбільшої) арифметичної прогресії простих чисел. На той час найдовшою відомою AP була AP-25, що була віднайдена 17 травня 2008 року і має вигляд 6171054912832631+366384·23#·n (8132758706802551)

12 квітня 2010 року у підпроекті AP26 було знайдено першу відому послідовність AP-26:

43142746595714191+23681770·23#·n для n=0..25

, де 23#=2·3·5·7·11·13·17·19·23=223092870

У травні 2010 року підпроект AP26 було завершено.

20 вересня 2016 року підпроект пошуку арифметичної прогресії простих чисел було відновлено під назвою AP27 (arithmetic progression of 27 primes)

Результати підпроекту

Арифметичні прогресії простих, що було знайдено у PrimeGrid (станом на 11 серпня 2018 року):

AP	Тип	Дата	Автор
43142746595714191+23681770*23#*n для n=0..25	AP26	12.04.2010	Benoãt Perichon
149836681069944461+7725290*23#*n для n=0..25	AP26	03.11.2016	Takeshi Nakamura
142099325379199423+16549135*23#*n для n=0..25	AP26	11.12.2016	Koichi Soraku
48277590120607451+37835074*23#*n для n=0..25	AP26	05.09.2017	Bruce E. Slade
6197161881651743+55850603*23#*n для n=0..25	AP26	30.03.2018	Tom Greer
55837783597462913+62121807*23#*n для n=0..25	AP26	13.06.2018	Tom Greer
271702189272825977+67515487*23#*n для n=0..25	AP26	11.08.2018	Syracuse University

Cullen Prime Search

Cullen Prime Search — це підпроект з пошуку простих чисел Каллена. В теорії чисел число Каллена — натуральне число виду C_n = n·2ⁿ+1

Експоненти n, для яких відповідні числа Каллена прості, утворюють послідовність:

1, 141, 4713, 5795, 6611, 18496, 32292, 32469, 59656, 90825, 262419, 361275, 481899, 1354828, 6328548, 6679881

В 1976 році Христофер Хулей (англ. Christopher Hooley) показав, що майже всі числа Каллена складені. Доведення Христофера Хулей було перероблено математиком Хірмі Суяма, щоб показати, що воно вірне для будь-якої послідовності n·2^n+a+b, де a і b — цілі числа, а також частково для чисел Вудала.

Є гіпотеза, що простих чисел Каллена є нескінчено багато.

Результати підпроекту

Прості числа Каллена, що було знайдено у PrimeGrid (станом на 25 липня 2009 року):

Просте число	Цифр	Дата	Автор
6328548·26328548+1	1 905 090	20.04.2009	Dennis R. Gesker
6679881·26679881+1	2 010 852	25.07.2009	Anonymous

Extended Sierpinski Problem

В 1962 році Джон Селфридж (John Selfridge) висунув гіпотезу, що число Серпінського k = 78557 є найменшим з таких чисел. Проблема Серпінського намагається підтвердити цю гіпотезу. В 1976 році Натан Мендельсон (Nathan Mendelsohn) висунув гіпотезу, що другим числом Серпінського є просте число k = 271129. Prime Sierpinski Problem намагається підтвердити гіпотезу, що це число не найменшим простим числом Серпінського.

Якщо обидві ці проблеми будуть розв'язані і буде встановлено, що k = 78557 є найменшим числом Серпінського, і k = 271129 — найменшим простим числом Серпінського, однак це не доводить, що k = 271129 є другим числом Серпінського. Оскільки Prime Sierpinski Problem перевіряє всі прості k у проміжку 78557 < k < 271129, все що достатньо зробити, це перевірити всі складені з проміжку 78557 < k < 271129. Таким чином було розпочато проект Extended Sierpinski Problem.

Станом на квітень 2018 року пошук залишається для 10-ти k, до яких досі не знайдено простих:

91549, 99739, 131179, 163187, 200749, 202705, 209611, 227723, 229673, 238411

Результати підпроекту

Прості, що було знайдено у PrimeGrid (станом на 3 квітня 2018 року):

Прості підпроекту ESP
Просте число	Цифр	Дата	Автор
227753·291397+1	27 519	13.03.2010	Lennart Vogel
261203·2354561+1	106 739	20.03.2010	Lennart Vogel
185449·2435402+1	131 075	21.03.2010	Rodger Ewing
167957·2417463+1	125 675	21.03.2010	Brian Carpenter
208381·2463068+1	139 403	22.03.2010	Lennart Vogel
168587·2545971+1	164 359	23.03.2010	Steve Martin
187681·2573816+1	172 742	23.03.2010	Lennart Vogel
225679·2620678+1	186 849	24.03.2010	Lennart Vogel
85013·2699333+1	210 526	25.03.2010	Steve Martin
107929·21007898+1	303 413	05.04.2010	Brian Carpenter
98749·21045226+1	314 650	09.04.2010	Rodger Ewing
154801·21305084+1	392 875	29.04.2010	Rodger Ewing
219259·21300450+1	391 480	29.04.2010	Lennart Vogel
250463·21316921+1	396 439	30.04.2010	Rodger Ewing
147559·22562218+1	771 310	27.03.2012	Rodger Ewing
198677·22950515+1	888 199	23.10.2012	Ardo van Rangelrooij
94373·23206717+1	965 323	10.03.2013	Jörg Meili
211195·23224974+1	970 820	11.03.2013	Ardo van Rangelrooij
161041·27107964+1	2 139 716	06.01.2015	Martin Vanc
193997·211452891+1	3 447 670	03.04.2018	Tom Greer

Generalized Cullen/Woodall Prime Search

Узагальнене число Каллена визначається як число виду n·bⁿ+1, де n+2>b. Якщо просте число можна записати таким чином, його називають узагальненим простим числом Каллена.

Узагальнене число Вудала визначається як число виду n·bⁿ−1, де n+2>b. Якщо просте число можна записати таким чином, його називають узагальненим простим числом Вудала.

Метою GCW Prime Search є пошук узагальнених простих Каллена і Вудала за основами, для яких досі не віднайшли жодного простого. З самого початку GCW13 Search пощастило знайти найбільше відоме узагальнене просте Вудала: 563528·13⁵⁶³⁵²⁸−1.

Наступні бази було обрано для подальшого пошуку узагальнених простих:

• Вудал: b = 43, 104 і 121
• Каллен: b = 13, 25, 29, 41, 47, 49, 53, 55, 68, 69, 73, 79, 101, 109, 113, 116 і 121

Основа 149 — наступна основа без відомих простих для обох і GC, і GW.

Початкова глибина відсіву для цих основ становила 1.5T. Lennart Vogel перевірив на простоту всі основи аж до n=100K (лише GW121 до 50K). Як побачимо нижче, це все була подвійна перевірка попередніх зусиль.

Результати проекту

b	Узагальнене	Просте число	Цифр	Дата	Автор
13	Woodall	563528·13563528−1	627 745	07.12.2009	Lennart Vogel
43	Woodall	404882·43404882−1	661 368	24.02.2011	Ricky L. Hubbard
104	Woodall	129840·104129840−1	261 897	26.05.2010	Sideshow_Larry
121	Woodall	94112·12194112−1	196 021	19.05.2010	unconnected
13	Cullen
25	Cullen
29	Cullen
41	Cullen	1806676·411806676+1	2 913 785	11.03.2018	Hiroyuki Okazaki
47	Cullen
49	Cullen
53	Cullen	1341174·531341174+1	2 312 561	21.08.2017	Hiroyuki Okazaki
55	Cullen
68	Cullen	129897·68129897+1	238 043	25.05.2010	[SG-SPEG]Puzzle-Peter
69	Cullen
73	Cullen
79	Cullen	682156·79682156+1	1 294 484	08.10.2016	Franz-Xaver Harvanek
101	Cullen
109	Cullen
113	Cullen	427194·113427194+1	877 069	29.01.2012	Ricky L. Hubbard
116	Cullen	1323365·1161323365+1	2 732 038	18.01.2018	Scott Brown
121	Cullen

Message7

Першим проектом Message@Home (тепер PrimeGrid) був Message7, в якому за допомогою прямого перебору намагалися відновити повідомлення, зашифроване за допомогою md5. У серпні 2005 року Message7 було припинено.

PrimeGen

У березні 2006 було запущено проект PrimeGen, метою якого було побудувати базу послідовних простих чисел. Однак, незабаром з'ясувалося, що ці зусилля мають нескінченно малі шанси на успіх, отже підпроект було зупинено.

Prime Sierpinski Problem

Числом Серпінського називається таке непарне натуральне число k, що для довільного натурального n число k·2ⁿ+1 не є простим.

Послідовність відомих чисел Серпінського починається так:

78557, 271129, 271577, 322523, 327739, 482719, 575041, 603713, 903983, 934909, 965431, …

Те, що число 78557 є числом Серпінського, було доведено в 1962 році Джоном Селфріджем (англ. John Selfridge), який виявив, що кожне число виду 78557·2ⁿ+1 ділиться принаймні на одне число із множини {3, 5, 7, 13, 19, 37, 73}. Аналогічно, 271129 також є числом Серпінського: кожне число число виду 271129·2ⁿ+1 ділиться принаймні на одне число із множини {3, 5, 7, 13, 17, 241}.

Початково проблему Серпінського можна сформулювати так: «Яким є найменше число Серпінського?», а проблему простого Серпінського: «Яким є найменше просте число Серпінського?»

Більшість знавців теорії чисел вірять, що 78557 є найменшим числом Серпінського. Щоб це довести, достатньо показати, що для кожного k, такого, що 0 < k < 78557, існує таке n, що число k·2ⁿ+1 є простим.

Найменше доведене просте число Серпінського — 271129. Щоб довести, що 271129 є найменшим простим числом Серпінського, необхідно показати, що кожне просте k, таке, що 0 < k < 271129, не є числом Серпінського.

Seventeen or Bust працює над проблемою Серпінського, а Prime Sierpinski Project — над проблемою простого Серпінського.

Для наступних k до цього часу залишаються невідомі прості для кожного з проектів:

Seventeen or Bust	Prime Sierpinski Project
21181
22699	22699
24737
55459
67607	67607
	79309
	79817
	152267
	156511
	222113
	225931
	237019

Результати підпроекту

Прості, що було знайдено у PrimeGrid (станом на 17 вересня 2017 року):

Просте число	Цифр	Дата	Автор
168451·219375200+1	5 832 522	17.09.2017	Ben Maloney

Proth Prime Search

У підпроекті Proth Prime Search відшукуються прості числа виду k·2ⁿ+1, за умови 2ⁿ > k, що часто називають простими числами Прота. Цей проект також дає можливість віднайти дільники для «класичних» чисел Ферма, узагальнених чисел Ферма чи розширених узагальнених чисел Ферма. Як тільки у PrimeGrid знаходиться просте Прота, воно одразу проходить додаткову перевірку на сервері PrimeGrid, чи є воно дільником однієї з форм чисел Ферма.

Proth Prime Search проводиться у співпраці з проектом Proth Search. Початковою метою проекту PrimeGrid було перевірити всю попередню роботу проекту Proth Search аж до n=500K для непарних k<1200 і заповнити будь-які можливі прогалини. PrimeGrid перевірив все аж до n=200000 і знайшов деякі прості, що було випущено минулим пошуком. Незважаючи на те, що прості вже надто малі, щоб потрапити до бази Top 5000, цей пошук був важливим, адже він міг призвести до відшукання нових дільників для «класичних» чисел Ферма, узагальнених чисел Ферма або розширених узагальнених чисел Ферма.

Про Proth Search

Проект Proth Search було започатковано 1998 року за участю Ray Ballinger та Wilfrid Keller, які організували розподілені обчислення для знаходження простих Прота (прості виду k·2ⁿ+1) для k < 300. Ray був зацікавлений у пошуку простих, а Wilfrid — у пошуку дільників для чисел Ферма. Пізніше проект розширив межі свого пошуку до k < 1200. Mark Rodenkirch (aka rogue) допомагав Ray в утримані веб-сайту останні декілька літ.

На початку 2008 року PrimeGrid та Proth Search розпочали співпрацю з надання програмного забезпечення для об'єднання зусиль розподілених обчислень.

Від того часу PrimeGrid веде пошук простих Прота у декількох різних підпроектах, як у вигляді підпроектів BOINC, так і в PRPNet.

Станом на 18 липня 2014 року в PrimeGrid існує 3 діапазони пошуку простих Прота, які оформлені як 3 різних підпроекта BOINC:

• PPSE: k·2ⁿ+1 для 1200<k<10000
• PPS: k·2ⁿ+1 для k<1200
• PPS-Mega: k·2ⁿ+1 для 100<k<300 і 3.322M<=n<3.6M

Мега Просте визначається як просте з щонайменше одним мільйоном десяткових знаків (титанічні прості містять щонайменше 1000 знаків, гігантське просте — 10000 знаків). Станом на 3 березня 2015 року відомо про 125 Мега Простих.

Підпроект PPS-Mega фокусується на пошуку Мега Простих. Час перевірки на одному ядрі швидкого комп'ютера займає близько 1 години (Intel Haswell CPU). Пошук простих форми k·2ⁿ+1 було розпочато з n=3322000 для k<100, виключаючи k=3, 5, 7, 27. 18 липня 2014 року підпроект було перенесено з PRPNet в BOINC із зміною діапазонів пошуку з k<100 на 100<k<300.

PrimeGrid має намір продовжити пошук простих чисел Прота невизначено довго.

Результати підпроекту

Фактично не минає дня, щоб у підпроекті не було відшукано нових простих Прота. Серед усіх цих простих особливій інтерес викликають прості, що є дільниками чисел Ферма.

У табличці, що наведена нижче, представлені прості Прота, що було знайдено у PrimeGrid, що є дільниками чисел Ферма (станом на 14 лютого 2015 року):

Просте число	Цифр	Ділить	Дата	Автор
651·2476632+1	143 484	F(476624)	27.12.2008	Eric Ueda
519·2567235+1	170 758	F(567233)	06.03.2009	Senji Yamashita
659·2617815+1	185 984	F(617813)	31.03.2009	Eric Embling
7333·2138560+1	41 715	F(138557)	12.03.2011	Dirk D'huyvetters
9·22543551+1	765 687	F(2543548)	22.06.2011	Scott Brown
3771·2221676+1	66 736	F(221670)	01.07.2011	Mark Doom
4479·2226618+1	68 223	F(226614)	08.07.2011	Peter Doggart
25·22141884+1	644 773	F(2141872)	09.09.2011	Grzegorz Granowski
329·21246017+1	375 092	F(1246013)	04.01.2012	Bruce Dodson
131·21494099+1	449 771	F(1494096)	07.02.2012	Rob Derrera
7905·2352281+1	106 052	F(352279)	02.05.2012	James Boerner
1705·2906110+1	272 770	F(906108)	13.06.2012	Robert Boniecki
183·21747660+1	526 101	F(1747656)	10.03.2013	Bart van Rooijen
57·22747499+1	827 082	F(2747497)	13.05.2013	Marshall Bishop
2145·21099064+1	330 855	F(1099061)	18.06.2013	Sai Yik Tang
193·23329782+1	1 002 367	F(3329780)	25.07.2014	Raymond Ottusch
267·22662090+1	801 372	F(2662088)	13.02.2015	Jay Parangalan

Станом на 18 липня 2014 року підпроектом MEGA у PRPNet було знайдено 7 Мега Простих:

Просте число	Цифр	Дата	Автор
81·23352924+1	1 009 333	17.01.2012	Michał Gasewicz
87·23496188+1	1 052 460	28.03.2014	Stefan Larsson
51·23490971+1	1 050 889	28.03.2014	Gary Craig
93·23544744+1	1 067 077	06.05.2014	Michał Gasewicz
33·23570132+1	1 074 719	10.06.2014	Fabrice Le Foulher
35·23570777+1	1 074 913	10.06.2014	Robert Lacroix
35·23587843+1	1 080 050	04.07.2014	Peter Tibbott

Станом на 28 грудня 2017 року підпроектом Proth Mega Prime Search були знайдені наступні Мега Прості:

Прості підпроекту Proth Mega Prime Search
Просте число	Цифр	Дата	Автор
9·23497442+1	1 052 836	23.10.2012	Heinz Ming
7·25775996+1	1 738 749	02.11.2012	Martyn Elvy
129·23328805+1	1 002 073	24.07.2014	Eric Clifton
193·23329782+1	1 002 367	25.07.2014	Raymond Ottusch
179·23371145+1	1 014 819	23.09.2014	John Christy
255·23395661+1	1 022 199	01.12.2014	John Christy
177·23411847+1	1 027 071	06.01.2015	William Darney
245·23411973+1	1 027 109	07.01.2015	Rick Channing
159·23425766+1	1 031 261	01.02.2015	Evelyn Chew
113·23437145+1	1 034 686	14.02.2015	Evelyn Chew
197·23477399+1	1 046 804	19.04.2015	Tom Greer
249·23486411+1	1 049 517	10.05.2015	Evelyn Chew
195·23486379+1	1 049 507	10.05.2015	Naoki Yoshioka
135·23518338+1	1 059 128	02.08.2015	Evelyn Chew
141·23529287+1	1 062 424	01.09.2015	Chris Hoefliger
191·23548117+1	1 068 092	30.10.2015	Roman Azarenko
251·23574535+1	1 076 045	25.01.2016	Randall Scalise
275·23585539+1	1 079 358	09.02.2016	Tyler Bredl
387·23322763+1	1 000 254	21.02.2016	Sami Heikkilä
189·23596375+1	1 082 620	24.02.2016	Hiroyuki Okazaki
323·23482789+1	1 048 427	20.06.2016	Scott Brown
329·23518451+1	1 059 162	21.06.2016	Stefan Larsson
345·23532957+1	1 063 529	22.06.2016	William de Thomas
351·23545752+1	1 067 381	22.06.2016	Sylvanus A. Zimmerman
381·23563676+1	1 072 776	23.06.2016	Milan Fňašek
309·23577339+1	1 076 889	24.06.2016	Russell Mathers
403·23334410+1	1 003 716	25.06.2016	Roman Trunov
453·23387048+1	1 019 606	14.07.2016	Andreas Mueller
479·23411975+1	1 027 110	25.07.2016	Matt Jurach
453·23461688+1	1 042 075	23.08.2016	Randall Scalise
491·23473837+1	1 045 732	29.08.2016	Stephen Norton
495·23484656+1	1 048 989	05.09.2016	Randall Scalise
447·23533656+1	1 063 740	28.09.2016	Stefan Geiger
465·23536871+1	1 064 707	30.09.2016	Kenneth Biscop
415·23559614+1	1 071 554	08.10.2016	Randall Scalise
597·23322871+1	1 000 287	21.10.2016	Randall Scalise
791·23323995+1	1 000 626	24.10.2016	Randall Scalise
555·23325925+1	1 001 206	30.10.2016	Alexander Falk
821·23327003+1	1 001 531	02.11.2016	Randall Scalise
659·23327371+1	1 001 642	03.11.2016	Dejana Ristic
655·23327518+1	1 001 686	04.11.2016	Paul Mazumdar
673·23330436+1	1 002 564	12.11.2016	Randall Scalise
611·23334875+1	1 003 901	27.11.2016	John S. Chambers
849·23335669+1	1 004 140	29.11.2016	Randall Scalise
651·23337101+1	1 004 571	03.12.2016	Konstantin Stanko
733·23340464+1	1 005 583	12.12.2016	Randall Scalise
543·23351686+1	1 008 961	16.01.2017	Simon Rawles
1183·23353058+1	1 009 375	19.01.2017	Michele T. Mazzucato
619·23362814+1	1 012 311	09.02.2017	Daniel Frużyński
533·23362857+1	1 012 324	09.02.2017	Hans-Jürgen Bergelt
777·23367372+1	1 013 683	17.02.2017	Lars Fricke
617·23368119+1	1 013 908	18.02.2017	Kimmo Koski
715·23368210+1	1 013 936	18.02.2017	Daniel Frużyński
677·23369115+1	1 014 208	20.02.2017	Wolfgang Schmidt
861·23377601+1	1 016 763	12.03.2017	Mike Kinney
1093·23378000+1	1 016 883	14.03.2017	Andreas Rohmann
621·23378148+1	1 016 927	14.03.2017	Randall Scalise
663·23390469+1	1 020 636	23.04.2017	Rolf Henrik Nilsson
805·23391818+1	1 021 042	28.04.2017	Reiner Elgetz
555·23393389+1	1 021 515	03.05.2017	Douglas B. McKay
1049·23395647+1	1 022 195	12.05.2017	Randall Scalise
609·23392301+1	1 021 188	29.04.2017	“jimmy”
611·23398273+1	1 022 985	22.05.2017	Randall Scalise
1167·23399748+1	1 023 430	27.05.2017	Eric Eskam
833·23403765+1	1 024 639	13.06.2017	Randall Scalise
953·23405729+1	1 025 230	20.06.2017	Randall Scalise
907·23417890+1	1 028 891	05.08.2017	Randall Scalise
999·23418885+1	1 029 190	09.08.2017	Randall Scalise
975·23419230+1	1 029 294	10.08.2017	Eric Eskam
1005·23420846+1	1 029 781	18.08.2017	Łukasz Piotrowski
1119·23422189+1	1 030 185	24.08.2017	Jochen Beck
1127·23427219+1	1 031 699	15.09.2017	Randall Scalise
911·23432643+1	1 033 331	05.10.2017	Jochen Beck
1147·23435970+1	1 034 334	17.10.2017	Randall Scalise
625·23438572+1	1 035 117	27.10.2017	Jochen Beck
543·23438810+1	1 035 188	29.10.2017	Randall Scalise
943·23440196+1	1 035 606	02.11.2017	Lukáš Hron
943·23442990+1	1 036 447	13.11.2017	Joshua Charles Campbell
1155·23446253+1	1 037 429	27.11.2017	Randall Scalise
1065·23447906+1	1 037 927	03.12.2017	Juan C. Toledo
1155·23455254+1	1 040 139	28.12.2017	Josh Closs

З 2018 року у проекті відбулась зміна політики анонсування відкриттів визначних простих чисел. Лише числа, що потрапляють у топ 100 простих, анонсуються.

RSA 640

У серпні 2005 до проекту було долучено додаток RSA 640 Factoring Challenge. Подібно до Message7 у цьому проекті відбувались намагання прямим перебором віднайти дільник для 640 цифрового RSA ключа.

У листопаді 2005 зусилями іншого проекту було факторизовано RSA 640, отже PrimeGrid рушив на штурм RSA 768 Factoring Challenge.

RSA 768

Оскільки шанси на факторизацію RSA 768 виявились нескінченно малими, подальший розвиток залишено для PerlBOINC. У березні 2006 проект RSA 768 було перервано для запуску нового, PrimeGen.

Seventeen or Bust

Числом Серпінського називається таке непарне натуральне число k, що для довільного натурального n число k·2ⁿ+1 не є простим.

Послідовність відомих чисел Серпінського починається:

78557, 271129, 271577, 322523, 327739, 482719, 575041, 603713, 903983, 934909, 965431, …

Те, що число 78557 є числом Серпінського, було доведено в 1962 році Джоном Селфріджем (англ. John Selfridge), який виявив, що кожне число виду 78557·2ⁿ+1 ділиться принаймні на одне число із множини {3, 5, 7, 13, 19, 37, 73}.

Проблему Серпінського можна сформулювати так: «Яким є найменше число Серпінського?»

Більшість знавців теорії чисел вірять, що 78557 є найменшим числом Серпінського. Щоб це довести, достатньо показати, що для кожного непарного k, такого, що 0<k<78557, існує таке n, що число k·2ⁿ+1 є простим.

Підпроект Seventeen or Bust працює над проблемою Серпінського. Проект так називається, бо до його початку не біло відомо, чи існують прості для 17 чисел k. Наразі залишається знайти прості числа для 5 k:

№	k	Просте число	Цифр	Дата	Автор
1	4847	4847·23321063+1	999 744	15.10.2005	Richard Hassler
2	5359	5359·25054502+1	1 521 561	06.12.2003	Randy Sundquist
3	10223	10223·231172165+1	9 383 761	31.10.2016	Szabolcs Peter
4	19249	19249·213018586+1	3 918 990	26.03.2007	Константин Агафонов
5	21181
6	22699
7	24737
8	27653	27653·29167433+1	2 759 677	08.06.2005	Derek Gordon
9	28433	28433·27830457+1	2 357 207	30.12.2004	анонімний учасник
10	33661	33661·27031232+1	2 116 617	13.10.2007	Sturle Sunde
11	44131	44131·2995972+1	299 823	05.12.2002	deviced (нік)
12	46157	46157·2698207+1	210 186	27.11.2002	Stephen Gibson
13	54767	54767·21337287+1	402 569	22.12.2002	Peter Coels
14	55459
15	65567	65567·21013803+1	305 190	03.12.2002	James Burt
16	67607
17	69109	69109·21157446+1	348 431	07.12.2002	Sean DiMichele

Результати підпроекту

Прості, що було знайдено у PrimeGrid (станом на 31 жовтня 2016 року):

Просте число	Цифр	Дата	Автор
10223·231172165+1	9 383 761	31.10.2016	Szabolcs Peter

Sierpinski/Riesel Base 5 Problem

Проблема Серпінського/Різеля за основою 5

Цей підпроект є поширенням проблеми Серпинського/Різеля (SoB/TRP). Він намагається розв'язати проблему Серпінського/Різеля за основою 5, віднайти найменше число Серпинського/Різеля. Таким чином відшукуються прості виду k·5ⁿ±1 з парними значеннями k.

Числа Серпінського за основою 5

Гіпотеза полягає у тому, що найменшим парним числом Серпінського за основою 5 є k = 159986. Щоб довести це, достатньо показати, що існує просте число виду k·5ⁿ+1 для кожного парного k < 159986. Наразі це доведено для всіх парних k, окрім наступних 32 значень (станом на 20 червня 2018 року): k = 6436, 7528, 10918, 26798, 29914, 31712, 36412, 41738, 44348, 44738, 45748, 51208, 58642, 60394, 62698, 64258, 67612, 67748, 71492, 74632, 76724, 83936, 84284, 90056, 92906, 93484, 105464, 118568, 126134, 138514, 139196, 152588

Числа Різеля за основою 5

Гіпотеза полягає у тому, що найменшим парним числом Різеля за основою 5 є k=346802. Щоб довести це, достатньо показати, що існує просте число виду k·5ⁿ−1 для кожного парного k < 346802. Наразі це доведено для всіх парних k, окрім наступних 69 значень (станом на 15 серпня 2018 року): k = 3622, 4906, 23906, 26222, 35248, 35816, 52922, 63838, 64598, 68132, 71146, 76354, 81134, 88444, 92936, 102818, 102952, 109238, 109838, 109862, 127174, 131848, 134266, 136804, 143632, 145462, 145484, 146264, 146756, 147844, 151042, 152428, 154844, 159388, 164852, 170386, 170908, 177742, 182398, 187916, 189766, 190334, 195872, 201778, 204394, 206894, 207494, 213988, 231674, 238694, 239062, 239342, 246238, 248546, 259072, 265702, 267298, 271162, 273662, 285598, 285728, 298442, 304004, 313126, 318278, 322498, 325922, 335414, 338866

Історія

17 вересня 2004 року на сторінках yahoo групи primeform Роберт Сміт (Robert Smith) вперше презентував ідею пошуку найменших чисел Серпінського/Різеля за основою 5. Використовуючи покриваючу множину {3, 7, 13, 31, 601}, він висунув гіпотезу, що k=346802 є найменшим числом Різеля за основою 5. Невдовзі Гвідо Сметрійнз (Guido Smetrijns) запропонував k=159986 як найменше число Серпінського за основою 5.

Після виконання великої частини самостійних обрахунків, Роберт оголосив про це на форумі mersenneforum.org 28 вересня 2004 року, і таким чином, зусилля з розподіленого обчислення було розпочато. Іншими важливими гравцями у справі розробки, управління і розвитку проекту є Lars Dausch, Geoff Reynolds, Anand S Nair, і Thomas Masser.

Результати підпроекту

Прості, що було знайдено у PrimeGrid (станом на 29 липня 2018 року):

Прості підпроекту SR5
Просте число	Цифр	Дата	Автор
301016·5586858−1	410 202	24.01.2011	Puzzle Peter
210092·5618136−1	432 064	31.01.2011	Puzzle Peter
266206·5608649−1	425 433	10.02.2011	Puzzle Peter
270748·5614625−1	429 610	14.02.2011	Puzzle Peter
49568·5640900−1	447 975	01.07.2011	Sascha Beat Dinkel
262172·5643342−1	449 683	13.07.2011	Kimmo Myllyvirta
27994·5645221−1	450 995	18.07.2011	Philipp Bliedung
331882·5674961−1	471 784	11.11.2011	Ronny Willig
2488·5679769−1	475 142	24.11.2011	Sascha Beat Dinkel
72532·5708453−1	495 193	07.02.2012	Göran Schmidt
5374·5723697−1	505 847	13.04.2012	Kelvin Lewis
18656·5735326−1	513 976	03.05.2012	Lennart Vogel
338948·5743996−1	520 037	07.05.2012	Ricky L Hubbard
340168·5753789−1	526 882	18.05.2012	Kimmo Myllyvirta
316594·5766005−1	535 421	30.05.2012	Michael Becker
11812·5769343−1	537 752	02.06.2012	Göran Schmidt
289184·5770116−1	538 294	07.06.2012	David Yost
162668·5785748−1	549 220	03.07.2012	Lennart Vogel
48764·5831946−1	581 510	12.10.2012	David Yost
57406·5844253−1	590 113	07.11.2012	David Yost
174344·5855138−1	597 722	09.01.2013	Ronny Willig
162434·5856004−1	598 327	10.01.2013	Predrag Kurtovic
110488·5917100+1	641 031	25.03.2013	Ronny Willig
102976·5929801−1	649 909	09.05.2013	David Yost
70082·5936972−1	654 921	30.05.2013	Scott Brown
243686·51036954−1	724 806	16.06.2013	Katsumi Hirai
55154·51063213+1	743 159	16.06.2013	Senji Yamashita
97768·5987383−1	690 157	17.06.2013	Ulrich Hartel
130484·51080012−1	754 902	17.06.2013	Randy Ready
305716·51093095−1	764 047	18.06.2013	Randy Ready
329584·51122935−1	784 904	21.06.2013	Stephen R Cilliers
92182·51135262+1	793 520	21.06.2013	Randy Ready
17152·51131205−1	790 683	22.06.2013	Bob Benson
1396·51146713−1	801 522	23.06.2013	Randy Ready
150344·51205508−1	842 620	28.06.2013	Randy Ready
97366·51259955−1	880 676	04.07.2013	Jörg Meili
243944·51258576−1	879 713	05.07.2013	Tod Slakans
268514·51292240−1	903 243	16.07.2013	Raymond Schouten
256612·51335485−1	933 470	04.08.2013	Wolfgang Schwieger
175124·51422646−1	994 393	31.10.2013	David Yost
245114·51424104−1	995 412	01.11.2013	David Yost
173198·51457792−1	1 018 959	04.12.2013	Motohiro Ohno
37292·51487989+1	1 040 065	29.12.2013	Stephen R Cilliers
59912·51500861+1	1 049 062	17.01.2014	Raymond Ottusch
178658·51525224−1	1 066 092	31.01.2014	Keishi Toda
22934·51536762−1	1 074 155	06.02.2014	Keishi Toda
330286·51584399−1	1 107 453	21.03.2014	Scott Brown
104944·51610735−1	1 125 861	09.04.2014	Brian Smith
207394·51612573−1	1 127 146	09.04.2014	Honza Cholt
326834·51634978−1	1 142 807	25.04.2014	Scott Brown
22478·51675150−1	1 170 884	19.06.2014	Guo Hua Miao
138172·51714207−1	1 198 185	27.06.2014	Walter Darimont
24032·51768249+1	1 235 958	23.07.2014	Hiroyuki Okazaki
133778·51785689+1	1 248 149	17.08.2014	Guo Hua Miao
325918·51803339−1	1 260 486	21.09.2014	Jörg Meili
109208·51816285+1	1 269 534	18.10.2014	Scott Brown
144052·52018290+1	1 410 730	23.05.2015	Wolfgang Schmidt
100186·52079747−1	1 453 686	21.10.2015	Toshitaka Kumagai
154222·52091432+1	1 461 854	10.11.2015	Scott Brown
306398·52112410−1	1 476 517	11.01.2016	André Ahlfors Dahl
77072·52139921+1	1 495 746	06.03.2016	Wolfgang Becker
92158·52145024+1	1 499 313	15.03.2016	Karl Burridge
296024·52185270−1	1 527 444	25.03.2016	Steven Wong
53546·52216664−1	1 549 387	30.05.2016	Tom Greer
180062·52249192−1	1 572 123	20.08.2016	Stefan Larsson
171362·52400996−1	1 678 230	25.08.2017	Frank Schwegler
301562·52408646−1	1 683 577	17.09.2017	Håkan Lind
327926·52542838−1	1 777 374	19.06.2018	Selya Tsuji
81556·52539960+1	1 775 361	20.06.2018	Jiří Bočan
66916·52628609−1	1 837 324	29.07.2018	Honza Cholt
194368·52638045−1	1 843 920	15.08.2018	Honza Cholt

Sophie Germain Prime Search

Просте число p називається простим Софі Жермен, якщо число 2·p+1 також є простим. Наприклад просте число 5 є простим Софі Жермен, адже число 2·5+1 = 11 також є простим. Ці числа названі числами Софі Жермен на честь екстраординарної французької математички, що зробила важливий внесок в галузі диференційної геометрії і теорії чисел та у вивчені Останньої Теореми Ферма.

В підпроекті Sophie Germain Prime Search спочатку перевіряється на простоту число виду k·2ⁿ−1. Якщо воно є простим, тоді перевіряються числа k·2ⁿ+1, k·2^n-1−1 та k·2ⁿ⁺¹−1. Якщо виявиться, що простим є також k·2^n-1−1 або k·2ⁿ⁺¹−1 — це означає, що знайдено просте Софі Жермен. Якщо простим виявиться k·2ⁿ+1, тоді можна сказати, що знайдено прості числа-близнюки. Можливість знайти просте Софі Жермен або прості-близнюки робить пошук саме у цьому підпроекті привабливішим.

Результати підпроекту

Прості Софі Жермен, що було знайдено у PrimeGrid (станом на 29 лютого 2016 року):

Просте число SGS	2p+1	Цифр	Дата	Автор
18543637900515·2666667−1	18543637900515·2666668−1	200 701	09.04.2012	Philipp Bliedung
2618163402417·21290000−1	2618163402417·21290001−1	388 342	29.02.2016	Scott Brown

Прості-близнюки, що було знайдено у PrimeGrid (станом на 14 вересня 2016 року):

Просте число	Цифр	Дата	Автор
3756801695685·2666669±1	200 700	25.12.2011	Timothy D. Winslow
2996863034895·21290000±1	388 342	14.09.2016	Tom Greer

The Riesel Problem

Ганс Івар Різель (англ. Hans Ivar Riesel, нар. 1929 у Стокгольмі) — шведський математик, у 1956 показав, що існує нескінчено велика кількість додатніх непарних чисел k таких, що k·2ⁿ−1 є числом складеним для будь-якого цілого n ≥ 1. Такі числа тепер отримали назву чисел Різеля. Він також показав, що число k = 509203 є одним з таких. А також 509203 плюс будь-яке натуральне число, помножене на 11184810. Кожне число виду 509203·2ⁿ−1 ділиться принаймні на одне число із множини {3, 5, 7, 13, 17, 241}.

Існує гіпотеза, що 509203 є найменшим числом Різеля. Проблема Різеля полягає у тому, щоб довести, що 509203 є найменшим числом Різеля. Щоб показати, що це число є найменшим, достатньо віднайти просте число для кожного додатнього непарного k, меншого за 509203. Станом на 13 грудня 2017 року залишається віднайти прості для 49 чисел k:

2293, 9221, 23669, 31859, 38473, 46663, 67117, 74699, 81041, 93839, 97139, 107347, 121889, 129007, 143047, 146561, 161669, 192971, 206039, 206231, 215443, 226153, 234343, 245561, 250027, 315929, 319511, 324011, 325123, 327671, 336839, 342847, 344759, 362609, 363343, 364903, 365159, 368411, 371893, 384539, 386801, 397027, 409753, 444637, 470173, 474491, 477583, 485557, 494743

Результати підпроекту

Прості, що було знайдено у PrimeGrid (станом на 5 жовтня 2014 року):

Просте число	Цифр	Дата	Автор
191249·23417696−1	1 028 835	21.11.2010	Jonathan Pritchard
428639·23506452−1	1 055 553	14.01.2011	Brett Melvold
65531·23629342−1	1 092 546	05.04.2011	Adrian Schori
123547·23804809−1	1 145 367	08.05.2011	Jakub Łuszczek
415267·23771929−1	1 135 470	08.05.2011	Alexey Tarasov
141941·24299438−1	1 294 265	26.05.2011	Scott Brown
353159·24331116−1	1 303 802	31.05.2011	Jaakko Reinman
162941·2993718−1	299 145	02.02.2012	Dmitry Domanov
252191·25497878−1	1 655 032	23.06.2012	Jan Haller
398023·26418059−1	1 932 034	05.11.2013	Vladimir Volynsky
304207·26643565−1	1 999 918	10.11.2013	Randy Ready
40597·26808509−1	2 049 571	25.12.2013	Frank Meador
402539·27173024−1	2 159 301	02.10.2014	Walter Darimont
502573·27181987−1	2 162 000	04.10.2014	Denis Iakovlev
273809·28932416−1	2 688 931	13.12.2017	Wolfgang Schwieger

Twin Prime Search

Twin Prime Search (TPS) — підпроект, що займався пошуком великих простих-близнюків (twin primes). Підпроект використовує програму LLR (для тестування на простоту) та NewPGen (для відсіву), був розпочатий 13 квітня 2006 Майклом Квоком (Michael Kwok).

До цього часу не відомо, чи існує нескінченно багато простих-близнюків.

Проектом TPS було знайдено рекордні прості-близнюки 2003663613·2¹⁹⁵⁰⁰⁰±1 15 січня 2007 році на комп'ютері користувача Eric Vautier. Ці числа складаються з 58711 цифри, що зробило їх найбільшими відомими на той час простими-близнюками. Проект працював у співпраці з PrimeGrid, що зробив більшість LLR тестів.

6 серпня 2009 року 2 проекта (PrimeGrid та Twin Prime Search) оголосили, що рекорд простих-близнюків поновлено. Це прості 65516468355·2³³³³³³±1 і складаються з 100355 цифр. Найменше з цих двох простих станом на серпень 2009 також є найбільшим з відомих простих Чена.

Woodall Prime Search

Woodall Prime Search — це підпроект з пошуку простих чисел Вудала. В теорії чисел число Вудала (що інколи називають числами Каллена другого порядку) — натуральне число виду W_n = n·2ⁿ−1

Експоненти n, для яких відповідні числа Вудала прості, утворюють послідовність:

2, 3, 6, 30, 75, 81, 115, 123, 249, 362, 384, 462, 512, 751, 822, 5312, 7755, 9531, 12379, 15822, 18885, 22971, 23005, 98726, 143018, 151023, 667071, 1195203, 1268979, 1467763, 2013992, 2367906, 3752948, 17016602

В 1976 році Христофер Хулей (англ. Christopher Hooley) показав, що майже всі числа Каллена складені. Доведення Христофера Хулей було перероблено математиком Хірмі Суяма, щоб показати, що воно вірне для будь-якої послідовності n·2^n+a+b, де a і b — цілі числа, а також частково для чисел Вудала.

Є гіпотеза, що простих чисел Вудала є нескінчено багато.

Результати підпроекту

Прості числа Вудала, що було знайдено у PrimeGrid (станом на 21 березня 2018 року):

Просте число	Цифр	Дата	Автор
2013992·22013992−1	606 279	04.08.2007	Lasse Mejling Andersen
2367906·22367906−1	712 818	13.08.2007	Stephen Kohlman
3752948·23752948−1	1 129 757	21.12.2007	Matthew J. Thompson
17016602·217016602−1	5 122 515	21.03.2018	Diego Bertolotti

Підпроекти PRP

Метою проектів PRP (англ. PRobably Prime) є пошук ймовірно простих чисел, що вимагають додаткової перевірки на простоту методом LLR.

Generalized Fermat Prime Search

Це підпроект з пошуку узагальнених простих чисел Ферма виду bⁿ+1, де n є ступінню 2.

Про узагальнені прості Ферма

Протягом XVII сторіччя П'єр Ферма (Pierre de Fermat) та Марен Мерсенн (Marin Mersenne) вивчали дві певні форми чисел, з надією, що вони можуть продукувати велику кількість простих чисел, чи навіть нескінчену кількість простих. Мерсенн працював над переліком простих виду 2ⁿ−1, таких, що n < 257. Знадобилось багато років праці, щоб створити коректний перелік таких чисел. У листуванні з Френікл (Frénicle) Ферма висловив переконання, якщо n є ступінню 2, тоді 2ⁿ+1 є простим числом. Ферма знав, що 3, 5, 17, 257 і 65537 є простими, але пізніше Леонард Ейлер (Leonhard Euler) показав, що Ферма помилявся, віднайшовши дільник для наступного числа.

На честь натхнених піонерів теорії чисел, числа виду 2ⁿ−1 тепер називаються числами Мерсенна, а числа виду 2ⁿ+1 числами Ферма. Пошук простих Мерсенна та Ферма значно просунувся від часів XVII сторіччя. Тепер відомі всі прості Мерсенна з кількістю цифр менше за 2'000'000 і досліджено всі числа Ферма аж до 2'000'000'000 цифр! Це стало можливим, тому що протягом XIX ст. було винайдено декілька ефектнивних методів перевірки цих чисел на простоту. Одночасно з цим, деякі тести не менш швидкі були знайдені для перевірки всіх чисел N, якщо відома факторизація чисел N−1 або N+1. Таким чином багато форм чисел можуть бути використані для пошуку найбільших відомих простих, але на диво пошук найбільших простих обмежується числами Мерсенна. Відомими виключенями стали (2¹⁴⁸+1)/17 (винайдено у 1951 році з використанням ручного обчислювального методу), 180·(2¹²⁷−1)²+1 (винайдено у 1951 році) і 391581·2²¹⁶¹⁹³−1 (знайдено за допомогою «Amdahl 6» в 1989).

З 50-х по 70-ті розмір найбільших відомих простих постійно ріс разом із швидкостями комп'ютерів, але використовувані алгоритми залишались тими самими, що і наприкінці XIX ст. Але в 80-х роках XX ст., методи, що використовуються для обчислення базової операції алгоритму, добутку, змінилась. Помітивши, що добуток може бути представлений у вигляді суми скінченої послідовності, теорія дискретних транформація показала, як швидко обчислити цю операцію за допомогою швидких перетворень Фур'є (Fast Fourier Transform, FFT). За допомогою цього методу було знайдено деякі прості з більш ніж 10'000 та 100'000 цифр.

В 1994 R. Crandall та B. Fagin винайшли, що за допомогою дискретних зважених трансформацій (Discrete Weighted Transform, DWT) швидкість пошуку простих Мерсенна та Ферма може бути подвоєна. Цей метод було використано у пошуку шости нових простих Мерсена (найбільше з них містило понад 6'000'000 цифр) і довести складеність деяких чисел Ферма. Але прості серед чисел Мерсена та Ферма є рідкістю і шанс знайти нове просте малий.

В 1998 році Y. Gallot помітив, що дискретна зважена трансформація є поліноміальною операцією і якщо представлення чисел не обмежується базою 2, тоді багато чисел можуть бути перевірені на тому ж рівні швидкості, як і числа Мерсенна: узагальнені числа Ферма (Generalized Fermat Numbers, GFN), які є числами виду bⁿ+1, де n є ступінню 2. Він реалізував алгоритм в 1999 у програмі Proth.exe, яка з того часу була ще оптимізована. Теоретичні гіпотези стали дійсністю: пошук узагальнених простих Ферма так само швидкий, як і пошук простих Мерсенна такого ж розміру. За допомогою десятків комп'ютерів було знайдено багато простих, що містять більше ніж 100'000 цифр. У 2002 P. Carmody разом з B. Frey досягли великих успіхів в алгоритмі відсіву узагальнених чисел Ферма. P. Carmody організував прикладання великих зусиль до відсіву за допомогою програми, що була написана D. Underbakke, що таким чином прискорило пошук узагальнених простих чисел Ферма.

Узагальнених чисел Ферма існує набагато більше, ніж чисел Мерсенна того ж розміру і багато з них чекають на те, щоб заповнити прогалини між простими Мерсена, що вже знайдено і тими, що ще ні. Якщо ви зацікавлені у пошуку простих XXI сторіччя, вас запрошують долучитися до Generalized Fermat Prime Search!

Результати підпроекту

Мега прості GFN (b²ⁿ+1, де n≥18), що було знайдено у PrimeGrid (станом на 31 жовтня 2018 року):

Просте число	Цифр	Дата	Автор
10590941048576+1	6 317 602	31.10.2018	Rob Gahan
9194441048576+1	6 253 210	29.08.2017	Sylvanus A. Zimmerman
2312092524288+1	3 336 572	04.08.2018	Rob Gahan
2061748524288+1	3 310 478	20.03.2018	Cesare Marini
1880370524288+1	3 289 511	15.01.2018	Scott Brown
475856524288+1	2 976 633	08.08.2012	Masashi Kumagai
356926524288+1	2 911 151	20.06.2012	(bherbihyewrbg)
341112524288+1	2 900 832	15.06.2012	Peyton Hayslette
75898524288+1	2 558 647	19.11.2011	Michael Goetz
5828034262144+1	1 773 542	26.09.2018	Rob Gahan
5205422262144+1	1 760 679	17.06.2018	Scott Brown
5152128262144+1	1 759 508	05.06.2018	Rob Gahan
4489246262144+1	1 743 828	01.03.2018	Wolfgang Schwieger
4246258262144+1	1 737 493	15.02.2018	Rob Gahan
3933508262144+1	1 728 783	27.01.2018	Alen Kecic
3853792262144+1	1 726 452	10.01.2018	Rod Skinner
3673932262144+1	1 721 010	03.12.2017	Sean Humphries
3596074262144+1	1 718 572	16.11.2017	Howard Gordon
3547726262144+1	1 717 031	30.10.2017	Scott Brown
3060772262144+1	1 700 222	30.06.2017	Sean Humphries
2676404262144+1	1 684 945	22.03.2017	Wolfgang Schwieger
2611204262144+1	1 682 141	11.03.2017	Roman Vogt
2514168262144+1	1 677 825	24.02.2017	William de Thomas
2042774262144+1	1 654 187	24.11.2016	Tsuyoshi Ohsugi
1828858262144+1	1 641 593	10.08.2016	Brook Harste
1615588262144+1	1 627 477	04.05.2016	Brook Harste
1488256262144+1	1 618 131	05.03.2016	Stefan Larsson
1415198262144+1	1 612 400	16.02.2016	Frank Matillek
773620262144+1	1 543 643	19.04.2012	Senji Yamashita
676754262144+1	1 528 413	12.02.2012	Carlos Loureiro
525094262144+1	1 499 526	18.01.2012	David Tomecko
361658262144+1	1 457 075	29.10.2011	Michel Johnson
145310262144+1	1 353 265	08.02.2011	Ricky L Hubbard
40734262144+1	1 208 473	08.03.2011	Senji Yamashita

Підпроекти Sieve

Підпроекти Sieve (з англ. sieve — відсів) займаються відсіюванням кандидатів для підпроектів LLR. Відсів складених кандидатів може бути набагато ефективніше за перевірку на простоту методом LLR. Із часом, коли глибина відсіву росте, ефективність відсіву падає і видалення складених чисел із кандидатів на простоту відбувається все рідше. Коли середній час на відсів кандидатів стає спвіставний з середнім часом на перевірку методом LLR, доцільність використання відсіву втрачається.

321 Prime Search Sieve

Підпроект 321 Prime Search Sieve займається відсівом для підпроекту 321 Prime Search

Наразі підпроект поставлено на паузу, оскільки була досягнута оптимальна глибина відсіву.

Cullen/Woodall Sieve

Підпроект Cullen/Woodall Sieve займається відсівом для Cullen та Woodall Prime Search

Наразі підпроект поставлено на паузу, оптимальна глибина відсіву у 2500T була досягнута навесні 2012.

Generalized Cullen/Woodall Sieve

Підпроект Generalized Cullen/Woodall Sieve займається відсівом для Generalized Cullen/Woodall Prime Search

Proth Prime Search Sieve

Підпроект Proth Prime Search Sieve займається відсівом для Proth Prime Search

Sierpinski (ESP/PSP/SoB) Sieve

Підпроект об'єднує зусилля з відсіву для підпроектів Seventeen or Bust, Prime Sierpinski Project, Extended Sierpinski Project

Відсів для Seventeen or Bust та Prime Sierpinski Project поставлено на паузу, оскільки була досягнута оптимальна глибина відсіву.

Відсів Extended Sierpinski Project Sieve для Extended Sierpinski Project розпочато 29 червня 2014 року.

Наразі підпроект поставлено на паузу, оптимальна глибина відсіву для Extended Sierpinski Project була досягнута у червні 2016 року.

The Riesel Problem Sieve

Підпроект The Riesel Problem Sieve займається відсівом для The Riesel Problem

Наразі підпроект поставлено на паузу, оскільки була досягнута оптимальна глибина відсіву.

Project Staging Area (PSA)

Від початку PSA було створено задля дослідження, тестування та підготовки майбутніх BOINC підпроектів для PrimeGrid. У PSA досі ведеться пошук простих чисел інших форм, яких немає в підпроектах BOINC. Існує два напрямки участі у PSA — PRPNet та Manual Sieving:

• PRPNet було розроблено Марком Роденкірхом (англ. Mark Rodenkirch), PRPNet дуже подібний до BOINC, але використовується тільки для пошуку простих чисел. PRPNet не має  (інтерфейсної оболонки). Натомість він стартує або в DOS вікні (Windows) або в командному терміналі (Linux). Все досить просто — скачай, розпакуй файл для твоєї ОС, відредагуй декілька рядків у файлі prpclient.ini і запускай.
• Ручний відсів (Manual Sieving) — гарний відсів веде до кращого результату під час перевірки чисел на простоту. Деякі пошуки вимагають досить значних зусиль, тому для таких відсівів залучається спільнота. Є ділька проектів, що координуються за допомогою постингу на форумі.

За участь в PSA існує ручна процедура нарахування очок в віртуальний підпроект PSA в BOINC.

Підпроекти PRPNet

1. 121 Prime Search
   • server=121:0:1:prpnet.primegrid.com:12001
2. 27 Prime Search
   • server=27:0:1:prpnet.primegrid.com:12006
3. Factorial Prime Search
   • server=FPS:0:1:prpnet.primegrid.com:12002
4. Primorial Prime Search
   • server=PRS:0:1:prpnet.primegrid.com:12008
5. Wieferich Prime Search (ПРИЗУПИНЕНО)
   • server=WIEFERICH:0:2:prpnet.primegrid.com:13000
6. Wall-Sun-Sun Prime Search (ПРИЗУПИНЕНО)
   • server=WALLSUNSUN:0:2:prpnet.primegrid.com:13001

Підпроекти Manual Sievieng

1. Factorial Prime Search (Manual Sieve)
2. Primorial Prime Search (Manual Sieve)
3. Sierpinski/Riesel base 5 Project (Manual Sieve)
4. Generalized Fermat Prime Search (Manual Sieve)
5. PPS/RSP (Manual Sieve)

Бейджики

PrimeGrid нагороджує користувачів, що досягли певного рівня зароблених очок, бейджиками. Ці відзнаки не дають нікому ніякої переваги, але багато хто сприймає бейджі як знак певного досягнення. Нагорода бейджами використовується також для заохочення участі у менш популярних підпроектах. Поточні рівні бейджів: Бронза (10'000) / Срібло (100'000) / Золото (500'000) / Аметист (1'000'000) / Рубін (2'000'000) / Бірюза (5'000'000) / Нефрит (10'000'000) / Сапфір (20'000'000) / Смарагд (50'000'000) / Подвійна Бронза (100'000'000) / Подвійне Срібло (200'000'000) / Подвійне Золото (500'000'000) / Подвійний Аметист (1'000'000'000) / Подвійний Рубін (2'000'000'000) / Подвійна Бірюза (5'000'000'000) / Подвійний Нефрит (10'000'000'000) / Подвійний Сапфір (20'000'000'000) / Подвійний Смарагд (50'000'000'000)

Підпроект	Бейджики
321 LLR
321 Sieve
AP
Cullen LLR
CW Sieve
ESP LLR
GCW LLR
GCW Sieve
GFN
PSP LLR
PSP Sieve
PSA
PPS LLR
PPS Sieve
SOB LLR
SGS LLR
SR5 LLR
TRP LLR
TRP Sieve
TPS LLR
Woodall LLR

До квітня 2014 року між підпроектами LLR та AP26/Sieve/GFN/PSA існувала різниця у рівнях для бейджиків одного кольору. 9 квітня 2014 року цю різницю було скасовано, у тому числі ретроспективно по відношенню до тих підпроектів, що на той час вже були завершені або призупинені.

29 червня 2014 року розпочато ESP Sieve в підпроекті PSP Sieve, перейменований на Sierpinski (ESP/PSP/SoB) Sieve, досягнення за яким використовуються для бейджа PSP Sieve.

18 липня 2014 року із PRPNet в BOINC перенесено підпроект PPS-Mega, досягнення за яким зараховуються для бейджа PPS LLR.

20 вересня 2016 року розпочато підпроект AP27 Search, досягнення за яким зараховуються для бейджа AP.

Див. також

• Розподілені обчислення
• BOINC
• Прості числа
• Seventeen or Bust
• PrimeGrid PRPNet

Джерела

• Офіційний сайт проекту