Єгипетський дріб

Єгипетський дріб — в математиці сума різних одиничних дробів типу ${\frac {1}{n}}$, наприклад ${\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{3}}+{\tfrac {1}{16}}$. Так що кожен дріб є виразом в якому чисельник дорівнює 1, а знаменник — додатне ціле число, причому так, що знаменники всі різні. Сума виразу такого типу — це додатне раціональне число a/b; наприклад сума вищенаведеного єгипетського дробу — 43/48. Кожне додатне раціональне число може бути представлене у вигляді єгипетського дробу. Суми такого типу та подібні їм з доданками 2/3 і 3/4 використовували стародавні єгипетські математики для запису раціональних чисел, їх продовжували використовувати і пізніші цивілізації аж до середніх віків. Звичайні дроби та десяткові дроби з часом витіснили єгипетські дроби зі вжитку. Все ж єгипетські дроби залишаються об'єктом досліджень сучасної теорії чисел та розважальної математики, а також в історичних студіях стародавньої математики.

Історія

Стародавній Єгипет

Додаткову інформацію за даним питанням див. в Єгипетська система числення.

Єгипетські дроби були винайдені і вперше використані в стародавньому Єгипті. Одним з перших відомих згадок про єгипетські дроби є математичний папірус Рінда. Три більш давніх тексти, в яких згадуються єгипетські дроби — це Єгипетський математичний шкіряний сувій, московський математичний папірус і дерев'яна табличка Ахмім. Папірус Рінда був написаний писарем Ахмесом в епоху Другого перехідного періоду; він включає таблицю єгипетських дробів для раціональних чисел виду 2/ n , а також 84 математичні задачі, їх рішення та відповіді, записані у вигляді єгипетських дробів.

Єгиптяни ставили ієрогліф

(ер, «[один] з» або ре, рот) над числом для позначення одиничного дробу в звичайному записі, а в священних текстах використовували лінію. Наприклад:

$={\frac {1}{3}}$

$={\frac {1}{10}}$

У них також були спеціальні символи для дробів 1/2, 2/3 і 3/4, якими можна було записувати також інші дроби (більші за 1/2).

$={\frac {1}{2}}$

$={\frac {2}{3}}$

$={\frac {3}{4}}$

Єгиптяни також використовували і інші форми запису, основані на ієрогліфі Око Гора для представлення спеціального набору дробів виду 1/2^k (для k = 1, 2, …, 6), тобто, двоелементних раціональних чисел. Такі дроби використовувалися разом з іншими формами записи єгипетських дробів для того, щоб поділити хекат (~ 4,785 л), основну міру обсягу в Давньому Єгипті. Цей комбінований запис також використовувався для вимірювання об'єму зерна, хліб а та пива. Якщо після запису кількості у вигляді дробу Ока Гору залишався якийсь залишок, його записували в звичайному вигляді кратно ро, одиниці виміру, рівний 1/320 Хекат.

Наприклад, так:

$={\frac {1}{331}}$

При цьому "рот " містився перед усіма ієрогліфами.

Античність і Середньовіччя

Єгипетські дроби продовжували використовуватися в стародавній Греції і згодом математиками всього світу до Середньовіччя, незважаючи на наявні до них зауваження стародавніх математиків (наприклад, Клавдій Птолемей говорив про незручність використання єгипетських дробів в порівнянні з Вавилонською системою. Важливу роботу в дослідженні єгипетських дробів провів математик XIII століття Фібоначчі у своїй праці «Liber Abaci».

Основна тема «Liber Abaci» — обчислення, що використовують десяткові і звичайні дроби, що витіснили з часом єгипетські дроби. Фібоначчі використовував складний запис дробів, що включав запис чисел зі змішаною підставою і запис у вигляді сум дробів, часто використовувалися і єгипетські дроби. Також у книзі були наведені алгоритми перекладу зі звичайних дробів в єгипетські.

Алгоритм Фібоначчі

Перший метод розкладання довільного дробу на єгипетські складові описав Фібоначчі в XIII столітті. У сучасному записі його алгоритм можна викласти таким чином.

1. Дріб ${\frac {m}{n}}$ розкладається на 2 доданки:

${\frac {m}{n}}={\frac {1}{\lceil n/m\rceil }}+{\frac {(-n)\,{\bmod {\,}}m}{n\lceil n/m\rceil }}.$

Тут $\lceil n/m\rceil$ — частка від ділення n на m, округлене до цілого в більшу сторону, а $~(-n)\,{\bmod {\,}}m$ — (додатня) остача від ділення -n на m.

2. Перший доданок у правій частині вже має вигляд єгипетського дробу. З формули видно, що чисельник другого доданка строго менше, ніж у вихідного дробу. Аналогічно, за тією ж формулою, розкладемо другий доданок і продовжимо цей процес, поки не отримаємо доданок з чисельником 1.

Метод Фібоначчі завжди сходиться після кінцевого числа кроків і дає розкладання, яке шукали. Приклад:

${\frac {7}{15}}={\frac {1}{3}}+{\frac {2}{15}}={\frac {1}{3}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{120}}$

Але отримане таким методом розкладання може виявитися не найкоротшим. Приклад його невдалого застосування:

${\frac {5}{121}}={\frac {1}{25}}+{\frac {1}{757}}+{\frac {1}{763309}}+{\frac {1}{873960180913}}+{\frac {1}{1527612795642093418846225}},$

в той час як більш досконалі алгоритми призводять до розкладання:

${\frac {5}{121}}={\frac {1}{33}}+{\frac {1}{121}}+{\frac {1}{363}}.$

Розклад Енгеля

Розклад Енгеля є ще одним методом представлення чисел у вигляді єгипетського дробу. Існує кілька алгоритмів виконання такого розкладу.

Сучасна теорія чисел

Сучасні математики продовжують досліджувати ряд задач, пов'язаних з єгипетськими дробом.

• В кінці минулого століття було дано оцінки максимального знаменника і довжини розкладання довільного дробу в єгипетські. Дріб x/y має розкладання в єгипетські дроби з максимальним знаменником не більше

$O\left({\frac {y\log ^{2}y}{\log \log y}}\right)$

і з числом доданків не більше:

$O\left({\sqrt {\log y}}\right)$

• Гіпотеза Ердеша - Грехема стверджує, що для всякої розмальовки цілих чисел більших 1 в r > 0 кольорів існує кінцеве однокольорове підмножина S цілих чисел, таких, що

$\sum _{n\in S}1/n=1.$

Ця гіпотеза доведена Ернестом Крутом в 2003 році.

Відкриті проблеми

Єгипетські дроби ставлять ряд важких і донині невирішених математичних проблем.

• Гіпотеза Ердеша - Страуса стверджує, що для будь-якого цілого числа n ≥ 2, існують додатні цілі x, y і z такі, що

${\frac {4}{n}}={\frac {1}{x}}+{\frac {1}{y}}+{\frac {1}{z}}.$

Комп'ютерні експерименти показують, що гіпотеза вірна для всіх n ≤ 10¹⁴, але доказ поки не знайдено. Узагальнення цієї гіпотези стверджує, що для будь-якого додатного k існує N таке, що для всіх n ≥ N існує розкладання

${\frac {k}{n}}={\frac {1}{x}}+{\frac {1}{y}}+{\frac {1}{z}}.$

Ця гіпотеза належить Анджею Шинцелю.

Література

• Ван дер Варден. Пробуждающаяся наука. Математика древнего Египта, Вавилона и Греции. [Архівовано 27 березня 2009 у Wayback Machine.] Перевод с голландского Н. Веселовского. М.: Физматгиз, 1959, 456 с. (Репринт: М.: УРСС, 2007)
• Нейгебауэр О. Лекции по истории античных математических наук (Догреческая математика). Т. 1. М.-Л.: ОНТИ, 1937.
• Нейгебауэр О. Точные науки в древности. М.: Наука, 1968. (Репринт: М.: УРСС, 2003)
• Раик А. Е. Очерки по истории математики в древности. Саранск, Мордовское гос. изд-во, 1977.
• Раик А. Е. К истории египетских дробей. Историко-математические исследования, 23, 1978, с. 181–191.
• Яновская С. А. К теории египетских дробей. Труды Института истории естествознания, 1, 1947, с. 269–282.
• Beeckmans, L. (1993). The splitting algorythm for Egyptian fractions. Journal of Number Theory. 43: 173—185.
• Botts, Truman (1967). A chain reaction process in number theory. Mathematics Magazine: 55—65.
• Breusch, R. (1954). A special case of Egyptian fractions, solution to advanced problem 4512. American Mathematical Monthly. 61: 200—201.
• Bruins, Evert M. (1957). Platon et la tabl égyptienne 2/n. Janus. 46: 253—263.
• Eves, Howard (1953). An Introduction to the History of Mathematics,. Holt, Reinhard, and Winston. 0-03-029558-0.
• Gillings, Richard J. (1982). Mathematics in the Time of the Pharaohs. Dover. ISBN 0-486-24315-X.
• Graham, R. L. (1964). On finite sums of reciprocals of distinct nth powers (PDF). Pacific Journal of Mathematics. 14 (1): 85—92. Архів оригіналу (PDF) за 22 листопада 2009. Процитовано 28 травня 2014.
• Hultsch, Friedrich (1895). Die Elemente der ägyptischen Theilungsrechnung. Leipzig: S. Hirzel.
• Knorr, Wilbur R. (1982). Techniques of fractions in ancient Egypt and Greece. Historia Mathematica. 9: 133—171.
• Lüneburg, Heinz (1993). Leonardi Pisani Liber Abbaci oder Lesevergnügen eines Mathematikers. Mannheim: B. I. Wissenschaftsverlag. ISBN 3-411-15461-6.
• Martin, G. (1999). Dense Egyptian fractions. Transactions of the American Mathematical Society. 351: 3641—3657.
• Menninger, Karl W. (1969). Number Words and Number Symbols: A Cultural History of Numbers. MIT Press. ISBN 0-262-13040-8.
• Robins, Gay; Shute, Charles (1990). The Rhind Mathematical Papyrus: An Ancient Egyptian Text. Dover. ISBN 0-486-26407-6.
• Stewart, B. M. (1954). Sums of distinct divisors. American Journal of Mathematics. 76: 779—785.
• Stewart, I. (1992). The riddle of the vanishing camel. Scientific American (June): 122—124.
• Struik, Dirk J. (1967). A Concise History of Mathematics. Dover. с. 20–25. ISBN 0-486-60255-9.
• Takenouchi, T. (1921). On an indeterminate equation. Proc. Physico-Mathematical Soc. of Japan, 3rd ser. 3: 78—92.
• Tenenbaum, G.; Yokota, H. (1990). Length and denominators of Egyptian fractions. Journal of Number Theory. 35: 150—156.
• Vose, M. (1985). Egyptian fractions. Bulletin of the London Mathematical Society. 17: 21.
• Wagon, S. (1991). Mathematica in Action. W.H. Freeman. с. 271–277.

Посилання

• Девід Эппштейн. Egyptian Fractions. Архів оригіналу за 19 лютого 2012. Процитовано 28 травня 2014.
• Egyptian fractions. Архів оригіналу за 19 лютого 2012. Процитовано 28 травня 2014.
• Mathematics in Egyptian Papyri. 2000. Архів оригіналу за 19 лютого 2012. Процитовано 28 травня 2014.