Ізольована точка

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Ізольована точка множини в загальній топології — точка множини, що перетин деякого її околу з множиною складається з єдиної точки.

Визначення[ред.ред. код]

Нехай дано топологічний простір , і підмножина . Точка називається ізольованою точкою множини , якщо існує окіл такий, що

Пов'язані визначення[ред.ред. код]

Підмножина топологічного простору, всі точки якої є ізольованими, називається дискре́тною множино́ю. Простір, кожна точка якого є ізольованою, є дискретним.

Властивості[ред.ред. код]

  • Довільна функція , де - множина з власною топологією, завжди неперервна в ізольованій точці .

Приклади[ред.ред. код]

Нехай — множина дійсних чисел із стандартною топологією.

  • Якщо , то точка є ізольованою, а всі інші не є ізольованими.
  • Якщо то не є ізольованою точкою, а всі інші ними є.
  • Множина натуральних чисел є дискретною.
  • Множина раціональних чисел не має ізольованих точок. Зокрема, вона не є дискретною, хоч і є зліченною.
  • Існують незвідні многочлени від двох змінних f(x,y), графіки яких (тобто множина точок площини, в яких f(x,y)=0) містять одну або декілька ізольованих точок. Наприклад, графік функції y^2 = x^2*(x-1) складається з кривої, що лежить в напівплощині x>1, і ізольованої точки (0;0).

Див. також[ред.ред. код]