Ікосіани
Ікосіани — некомутативна алгебрична структура, яку 1856 року виявив ірландський математик Вільям Ровен Гамільтон[1][2]. У сучасній термінології він знайшов задання групи обертань ікосаедра[en] за допомогою генераторів та зв'язків.
Відкриття Гамільтона виникло з його спроб знайти алгебру «трійок» (3-кортежів), які, як він вірив, відбиватимуть осі координат. Ікосіани можна ототожнити з переміщеннями по вершинах додекаедра. Робота Гамільтона в цій галузі опосередковано призвела до гамільтонових циклів і гамільтонових шляхів у теорії графів[3]. Для ілюстрування та популяризації свого відкриття він також винайшов гру «Ікосіан».
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/da/Icosian_grid_small_with_labels2.svg/250px-Icosian_grid_small_with_labels2.svg.png)
Алгебра ґрунтується на трьох символах, які є коренями з одиниці, так що послідовне застосування будь-якого з них через кілька кроків приводить до одиниці. Це:
Гамільтон також дав інший зв'язок між символами:
(В сучасних термінах це (2,3,5) група трикутника.)
Операція асоціативна, але не комутативна. Вона утворює групу 60-го порядку, ізоморфну групі обертань правильного ікосаедра або додекаедра, а тому знакозмінної групи п'ятого степеня.
Хоча алгебра існує як цілком абстрактна побудова, її можна наочно подати в термінах операцій із вершинами додекаедра. Гамільтон сам використав плоске подання додекаедра як основу гри.
Уявімо жука, що повзе вздовж певного ребра додекаедра (з позначеними вершинами) у певному напрямку, скажімо, від до . Ми можемо подати це як орієнтовану дугу .
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/7f/Icosian_calculus_iota2.svg/languk-400px-Icosian_calculus_iota2.svg.png)
- Ікосіан прирівнюється до зміни напрямку будь-якого ребра, так що жук буде повзти від до (в напрямку дуги ).
- Ікосіан прирівнюється до обертання поточного напрямку жука проти годинникової стрілки навколо кінцевої вершини. У прикладі це означає зміна поточного напрями на .
- Ікосіан прирівнюється до правого повороту в кінцевій точці, тобто переході від до .
Ікосіани є одним із найраніших прикладів багатьох математичних ідей, зокрема:
- подання та вивчення груп за допомогою генераторів та зв'язків;
- групи трикутника, пізніше узагальненої групи Коксетера;
- візуалізації групи за допомогою графа, що привела до комбінаторної теорії груп, а пізніше — до геометричної теорії груп;
- гамільтонових циклів та шляхів у теорії графів[3];
- dessin d'enfant[en][4][5].
- ↑ Sir William Rowan Hamilton. Memorandum respecting a new System of Roots of Unity // Philosophical Magazine. — 1856. — Т. 12 (30 серпня). — С. 446.
- ↑ Thomas L. Hankins. Sir William Rowan Hamilton. — Baltimore, 1980. — С. 474. — ISBN 0-8018-6973-0.
- ↑ а б Norman L. Biggs, E. Keith Lloyd, Robin J. Wilson. Graph theory 1736—1936. — Oxford : Clarendon Press, 1976. — С. 239. — ISBN 0-19-853901-0.
- ↑ Gareth Jones. Dessins d'enfants: bipartite maps and Galois groups // Séminaire Lotharingien de Combinatoire. — 1995. — Т. B35d (30 серпня). — С. 4. Архівовано з джерела 8 квітня 2017.
- ↑ W. R. Hamilton. Mathematical papers, Vol. III, Algebra / H. Halberstam, R. E. Ingram. — Cambridge : Cambridge University Press, 1967. — С. 612—625.