Інверсія кривої

Зелену кардіоїду побудовано інверсією червоної параболи відносно пунктирного кола.

Інве́рсія криво́ї — результат застосування операції інверсії до заданої кривої C. Відносно фіксованого кола з центром O і радіусом k інверсія точки Q — це точка P, що лежить на промені OQ, і OP•OQ = k². Інверсія кривої C — це множина всіх точок P, що є інверсіями точок Q, які належать кривій C. Точку O в цій побудові називають це́нтром інве́рсії, коло називають ко́лом інве́рсії, а k — ра́діусом інве́рсії.

Інверсія, застосована двічі, дасть тотожне перетворення, так що інверсія, застосована до інверсії кривої відносно того ж кола, дасть початкову криву. Точки самого кола переходять у себе, так що коло інверсії під час операції не змінюється.

Рівняння

Інверсією точки (x, y) відносно одиничного кола є (X, Y), де:

$X={\frac {x}{x^{2}+y^{2}}},\ Y={\frac {y}{x^{2}+y^{2}}}$,

або, що еквівалентно:

$x={\frac {X}{X^{2}+Y^{2}}},\ y={\frac {Y}{X^{2}+Y^{2}}}$.

Так що інверсія кривої, визначеної рівнянням f(x, y) = 0, відносно одиничного кола задається рівнянням:

$f\left({\frac {X}{X^{2}+Y^{2}}},\ {\frac {Y}{X^{2}+Y^{2}}}\right)=0$.

З цього рівняння випливає, що інверсія алгебричної кривої степеня n відносно кола дає алгебричну криву степеня не більше 2n.

Так само, інверсією кривої, заданої параметричним рівнянням:

$x=x(t),\ y=y(t)$,

відносно одиничного кола буде:

$X=X(t)={\frac {x(t)}{x(t)^{2}+y(t)^{2}}},\ Y=Y(t)={\frac {y(t)}{x(t)^{2}+y(t)^{2}}}.$

Звідси випливає, що колова інверсія раціональної кривої є також раціональною кривою.

Узагальнюючи, інверсією кривої, заданої рівнянням f(x, y) = 0, відносно кола з центром в (a, b) і радіусом k є

$f\left(a+{\frac {k^{2}(X-a)}{(X-a)^{2}+(Y-b)^{2}}},\ b+{\frac {k^{2}(Y-b)}{(X-a)^{2}+(Y-b)^{2}}}\right)=0.$

Інверсією кривої, заданої параметрично:

$x=x(t),\ y=y(t)$,

відносно того ж кола буде:

$X=X(t)=a+{\frac {k^{2}(x(t)-a)}{(x(t)-a)^{2}+(y(t)-b)^{2}}},\ Y=Y(t)=b+{\frac {k^{2}(y(t)-b)}{(x(t)-a)^{2}+(y(t)-b)^{2}}}$.

У полярній системі координат рівняння простіші, якщо розглядаємо інверсію відносно одиничного кола. Інверсією точки (r, θ) відносно одиничного кола є (R, Θ), де

$R={\frac {1}{r}},\ \Theta =\theta$,

або, що еквівалентно:

$r={\frac {1}{R}},\ \theta =\Theta$.

Таким чином, інверсія кривої f(r, θ) = 0 визначається рівнянням f(1/R, Θ) = 0, а інверсією кривої r = g(θ) буде r = 1/g(θ).

Приклади

Застосування перетворення, наведеного вище, до лемніскати Бернуллі

$(x^{2}+y^{2})^{2}=a^{2}(x^{2}-y^{2})$

дасть

$a^{2}(u^{2}-v^{2})=1$

— рівняння гіперболи. Оскільки інверсія є біраціональним перетворенням і гіпербола є раціональною кривою, це показує, що лемніската також є раціональною кривою, іншими словами, крива має рід нуль. Якщо застосувати інверсію до кривої Ферма xⁿ + yⁿ = 1, де n непарне, отримаємо

$(u^{2}+v^{2})^{n}=u^{n}+v^{n}.$

Будь-яка раціональна точка на кривій Ферма має відповідну раціональну точку на цій кривій, що дає еквівалентне формулювання великої теореми Ферма.

Окремі випадки

Для простоти в як коло інверсії в прикладах використаємо одиничне коло. Результат інверсії для інших кіл можна отримати перетворенням початкової кривої.

Прямі

Якщо пряма проходить через початок координат, її рівняння в полярних координатах буде θ = θ₀, де θ₀ сталий. Рівняння не змінюється за інверсії.

Рівняння в полярних координатах прямої, що не проходить через початок координат,

$r\cos(\theta -\theta _{0})=a$

і рівнянням інверсії кривої буде

$r=a\cos(\theta -\theta _{0})$

яке задає коло, що проходить через початок координат. Застосування інверсії вже до цього кола показує, що інверсією кола, яке проходить через початок координат, буде пряма.

Кола

У полярних координатах загальне рівняння кола, що не проходить через початок координат, має вигляд

$r^{2}-2r_{0}r\cos(\theta -\theta _{0})+r_{0}^{2}-a^{2}=0\quad (a,\ r>0,\ a\neq r_{0}),$

де a — радіус і (r₀, θ₀) — полярні координати центра. Рівнянням інверсної кривої буде

$1-2r_{0}r\cos(\theta -\theta _{0})+(r_{0}^{2}-a^{2})r^{2}=0,$

або

$r^{2}-{\frac {2r_{0}}{r_{0}^{2}-a^{2}}}r\cos(\theta -\theta _{0})+{\frac {1}{r_{0}^{2}-a^{2}}}=0.$

Це рівняння кола з радіусом

$A={\frac {a}{|r_{0}^{2}-a^{2}|}}$

і центром у точці з координатами

$(R_{0},\ \Theta _{0})=\left({\frac {r_{0}}{r_{0}^{2}-a^{2}}},\ \theta _{0}\right).$

Зауважимо, що R₀ може бути від'ємним.

Якщо початкове коло перетинається з одиничним колом, то центри цих двох кіл і точка перетину утворюють трикутник зі сторонами 1, a, r₀ і цей трикутник буде прямокутним, якщо

$r_{0}^{2}=a^{2}+1.$

Але з рівняння вище випливає, що прочаткове коло збігається з його інверсією тільки в разі, коли

$r_{0}^{2}-a^{2}=1.$

Таким чином, інверсія кола збігається з початковим колом тоді й лише тоді, коли коло перетинає одиничне коло під прямими кутами.

Параболи з центром інверсії у вершині

Рівнянням параболи, якщо повернути її так, щоб вісь стала горизонтальною, буде x = y². У полярних координатах це перетворюється на

$r={\frac {\cos \theta }{\sin ^{2}\theta }}.$

Рівнянням інверсної кривої тоді буде

$r={\frac {\sin ^{2}\theta }{\cos \theta }}=\sin \theta \tan \theta$,

і це цисоїда Діокла.

Конічні перетини з центром інверсії у фокусі

Рівняння в полярних координатах конічного перетину з фокусом у початку координат, з точністю до подібності

$r={\frac {1}{1+e\cos \theta }}$,

де e — ексцентриситет. Інверсією цієї кривої буде:

$r=1+e\cos \theta$,

і це — рівняння равлика Паскаля. Якщо e = 0, це коло інверсії. Якщо 0 < e < 1, початкова крива є еліпсом і її інверсія — це замкнута крива з ізольованою точкою в початку координат. Якщо e = 1, початкова крива є параболою і її інверсія є кардіоїдою, що має касп у початку координат. Якщо e > 1, початкова крива є гіперболою і її інверсія утворює дві петлі з точкою перетину на початку координат.

Еліпси і гіперболи з центрами інверсії у вершинах

Загальним рівнянням еліпса або гіперболи є:

${\frac {x^{2}}{a^{2}}}\pm {\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1$.

Перетворимо рівняння так, щоб початок координат став вершиною:

${\frac {(x-a)^{2}}{a^{2}}}\pm {\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1$,

і після перетворення:

${\frac {x^{2}}{2a}}\pm {\frac {ay^{2}}{2b^{2}}}=x$

або, замінивши константи:

$cx^{2}+dy^{2}=x$.

Зауважимо, що парабола, розглянута вище, тепер потрапляє в цю схему, якщо покласти c = 0 і d = 1. Рівнянням інверсної кривої буде:

${\frac {cx^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}}+{\frac {dy^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}}={\frac {x}{x^{2}+y^{2}}}$

або

$x(x^{2}+y^{2})=cx^{2}+dy^{2}$.

Це рівняння описує сімейство кривих, які називаються конхоїдами Слюза. Це сімейство включає, на додачу до цисоїди Діокла, описаної вище, трисектрису Маклорена (d = −c/3) і праву строфоїду (d = −c).

Еліпси і гіперболи з центрами інверсії в центрі

Рівняння еліпса або гіперболи:

$cx^{2}+dy^{2}=1$,

після операції інвертування:

$(x^{2}+y^{2})^{2}=cx^{2}+dy^{2}$

і це — лемніската Бута. Якщо d = −c, це лемніската Бернуллі.

Конічні перерізи з довільною точкою інверсії

Інверсія конічного перетину (відмінного від кола) є циркулярною кривою третього порядку, якщо центр інверсії лежить на кривій, і біциркулярною кривою четвертого порядку в іншому випадку. Конічні перетини є раціональними, так що інвертовані криві теж раціональні. І навпаки, будь-яка раціональна циркулярна крива третього порядку або раціональна біциркулярна крива четвертого порядку є інверсією конічного перетину. Фактично будь-яка з цих кривих повинна мати особливість, і якщо взяти цю точку за центр інверсії, інверсна крива буде конічним перетином.

Аналагматичні криві

Аналагмати́чна крива́ — це крива, яка при інверсії переходить у себе. До них належать коло, овал Кассіні і трисектриса Маклорена.

Див. також

• Інверсна геометрія
• Інверсія (геометрія)

Посилання

• J. W. Stubbs. On the application of a new Method to the Geometry of Curves and Curve Surfaces // Philosophical Magazine Series 3. — 1843. — Т. 23 (22 квітня). — С. 338–347.
• J. Dennis Lawrence. A catalog of special plane curves. — Dover Publications, 1972. — 22 квітня. — С. 43–46,121. — ISBN 0-486-60288-5.
• Weisstein, Eric W. Inverse Curve(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
• Weisstein, Eric W. Anallagmatic Curve(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
• «Inversion» на сайті Visual Dictionary Of Special Plane Curves [Архівовано 23 травня 2012 у Wayback Machine.]
• «Inverse d'une Courbe par Rapport à un Point» at Encyclopédie des Formes Mathématiques Remarquables [Архівовано 12 червня 2021 у Wayback Machine.]
• Визначення на сайті MacTutor «знамениті криві» [Архівовано 3 жовтня 2019 у Wayback Machine.]. Цей сайт також містить приклади інверсних кривих і Java-аплет для перегляду інверсних кривих зі списку.
• Григорій Михайлович Фіхтенгольц. Курс диференціального та інтегрального числення. — 2023. — 1900+ с.(укр.)