Індекс підгрупи

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Індекс підгрупи у групі ― число класів суміжності в кожному (правому або лівому) із розкладів групи за цією підгрупою (в нескінченному випадку — потужність множини цих класів).

Індекс підгрупи в групі зазвичай позначається .

Пов'язані означення[ред.ред. код]

  • Якщо число суміжних класів скінченне, то називається підгрупою скінченного індексу в .

Властивості[ред.ред. код]

  • Добуток порядку підгрупи на її індекс рівний порядку групи (теорема Лагранжа).
    • Це твердження є вірним як для скінченної групи , так і у випадку нескінченної ― для відповідних потужностей.
  • Якщо H є підгрупою G, а K — підгрупою H, то:

Теорема Пуанкаре[ред.ред. код]

Перетин скінченної кількості підгруп скінченного індексу має скінченний індекс (теорема Пуанкаре).

Твердження достатньо довести для випадку двох підгруп. Нехай підгрупи Н і F — підгрупи скінченного індексу в групі G і D — їх перетин. Елементи a і b тоді і тільки тоді належать одному лівосторонньому суміжному класу по D, якщо , тобто якщо і . Отже всі лівосторонні класи суміжності групи G по підгрупі D, це всі непусті перетини лівосторонніх суміжності по підгрупі Н з лівосторонніми класами по підгрупі F. Із скінченності індексів підгруп Н і F випливає скінченність числа цих перетинів і скінченність індексу підгрупи D в групі G.

З доведення також випливає нерівність:

Див. також[ред.ред. код]

Література[ред.ред. код]