Індукована топологія

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Індукована топологія — природний спосіб задання топології на підмножині топологічного простору.

Визначення[ред.ред. код]

Нехай дано топологічний простір , де — довільна множина, а — визначена на топологія. Нехай також . Визначимо — сім'юпідмножин таким чином:

Нескладно перевірити, що є топологією на . Ця топологія називається індукованою топологією . Топологічний простір називається підпростором .

Цю конструкцію можна узагальнити. Нехай — довільна множина, — топологічний простір і — довільне відображення в . Тоді як візьмемо всілякі множині виду (), де — відкриті множини в . Топологія називається індукованою відображенням топологією. Відображення в цій топології автоматично стає неперервним. Це найслабша (вона містить найменше множин) з усіх можливих топологій на множині , для яких відображення буде неперервним.

Приклад[ред.ред. код]

Нехай дана дійсна пряма зі стандартною топологією. Тоді топологія, індукована останньою на множині всіх натуральних чисел , є дискретною.

Властивості[ред.ред. код]

Нехай є підпростором в і позначає відображення вкладення. Тоді для довільного топологічного простору відображення є неперервним тоді і тільки тоді коли композиція відображень є неперервною.

Characteristic property of the subspace topology

Цю властивість можна використати для визначення індукованої топології на . Надалі позначаиме підпростір простору .

  • Якщо є неперервним то його обмеження на теж є неперервним.
  • Якщо є неперервним то is continuous.
  • Якщо є підпростором в то є також підпростором в з тією ж топологією. Іншими словами топологія на індуковаа топологією на є тою ж, що і топологія індукована з .
  • Якщо є базисом топології то є базисом топології .
  • Топологія індукована обмеженням метрики на підмножину метричного простору збігається з індукованою топологією.

Джерела[ред.ред. код]

Сигма Це незавершена стаття з математики.
Ви можете допомогти проекту, виправивши або дописавши її.