Інтеграл

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук
Визначений інтеграл дорівнює площі криволінійної фігури, обмеженої кривою
Розділи в Математичному аналізі
Фундаментальна теорема
Границя функції
Неперервність
Теорема Лагранжа

Інтеграл — центральне поняття інтегрального числення, узагальнення поняття суми для функції, визначеній на континуумі. Існує кілька різновидів визначених інтегралів: інтеграл Рімана, інтеграл Лебега, інтеграл Стілтьєса тощо.

Інтегрування[ред.ред. код]

Процес знаходження інтеграла називається інтегруванням. Цей процес зазвичай використовується при знаходженні таких величин як площа, об'єм, маса, зсув тощо, коли задана швидкість або розподіл змін цієї величини по відношенню до деякої іншої величини (розташування, час тощо).

Існує декілька різних визначень операції інтегрування, що відрізняються в технічних деталях. Проте всі вони сумісні, тобто будь-які два способи інтегрування, якщо їх можна застосувати до даної функції, дадуть той самий результат.

Інтегрування — операція, обернена до диференціювання, див. основна теорема аналізу. В результаті невизначеного інтегрування виходить функція, яка називається первісною. Першим інтегралом є число (або, принаймні, не залежна від змінної інтегрування частина).

Історія[ред.ред. код]

Інтеграл в давнину[ред.ред. код]

Інтеграція простежується ще в давньому Єгипті, приблизно у 1800 до н.е., Московський математичний папірус демонструє знання формули об'єму січної піраміди. Першим відомим методом для розрахунку інтегралів є метод вичерпання Евдокса (приблизно 370 до н. е.), який намагався знайти площі і об'єми, розриваючи їх на нескінченну безліч частин, для яких площа або об'єм вже відомий. Цей метод був підхоплений і розвинутий Архімедом, і використовувався для розрахунку площ парабол і наближеного розрахунку площі круга. Аналогічні методи були розроблені незалежно в Китаї в 3-м столітті н.е Лю Хуейєм, який використовував їх для знаходження площі круга. Цей метод був згодом використаний Дзю Чонгши для знаходження об'єму сфери.

Ньютон і Лейбніц[ред.ред. код]

Знак інтеграла (∫), був вперше використаний Лейбніцом в кінці XVII століття. Цей символ утворився з букви ſ («довга s») — скорочення слова лат. ſumma (summa, сума).


Інтеграл Рімана[ред.ред. код]

Докладніше: Інтеграл Рімана

Інтеграл Рімана — найпростіший із визначених інтегралів, є границею інтегральної суми. Для функції однієї змінної , визначеній на відрізку [a, b] та певного розбиття R цього відрізку на відрізки інтегральна сума визнається як

де  — будь-яка точка з відрізку.

Якщо існує границя таких сум при прямуванні найбільшої довжини відрізку до нуля, то функція називається інтегрованою, а границя інтегральної суми називається інтегралом Рімана функції на відрізку і позначається

.

Інтеграл Рімана можна також визначити як границю сум Дарбу.

Інші визначення інтегралу розширюють клас інтегрованих функцій, включаючи в них функції, для яких границі інтегральних сум не існує.

Головна теорема інтегрального числення[ред.ред. код]

Якщо у функції на відрізку існує первісна , то

Ця формула називається формулою Ньютона-Лейбніца, або основною формулою інтегрального числення.

Див. також[ред.ред. код]

Посилання[ред.ред. код]


Сигма Це незавершена стаття з математики.
Ви можете допомогти проекту, виправивши або дописавши її.