Інтеграли Френеля

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Інтеграли Френеля S(x) і C(x) — це спеціальні функції, названі на честь Огюстена Жана Френеля, використовуються в оптиці. Вони виникають при розрахунку дифракції Френеля. Визначаються як:

Параметричний графік S(x) і C(x) дає криву на площині, що називається спіраль Корню або клотоїда.

Розкладання у ряд[ред.ред. код]

Нормализовані інтеграли Френеля, S(x) и C(x). На цих кривих аргумент підінтегральних тригонометричних функцій дорівнює , а не , як на рисунку вище.

Інтеграли Френеля можуть бути представлені степеневими рядами, що сходяться для всіх x:

Деякі автори використовують в якості аргументу тригонометричних підінтегральных функцій . Отримані функції отримуються із означених вище, шляхом стискання графіка по осі Y у разів і розтягненням уздовж осі X у стільки ж разів.

Спіраль Корню[ред.ред. код]

Спіраль Корню (x,y)=(C(t), S(t)). Спіраль прямує до центрів отворів за .
Докладніше: Клотоїда

Спіраль Корню, також відома як клотоїда, — це крива, що є параметричним графіком S(t) від C(t). Спіраль Корню була придумана Марі Альфредом Корню для полегшення розрахунку дифракції у прикладних задачах.

Оскільки,

то у такій параметризації дотичний вектор має одиничну довжину, тому t являеться довгою кривою, що вимірюється від точки (0,0). Звідси, дві гілки спіралі мають нескінченну довжину.

Кривизна цієї кривої у будь-якій точці пропорційна довжині дуги, що розміщується між цією точкою та початком координат. Завдяки цій властивості вона застосовується в будівництві доріг, оскільки кутове прискорення машини, що рухається по цій кривій з постійною швидкістю, буде залишатися сталим.

Властивості[ред.ред. код]

  • C(x) и S(x) — непарні функції x.
.
  • Інтегралы Френеля не виражаються через елементарні функції, окрім часткових випадків. Границя цих функцій при дорівнює

Обчислення[ред.ред. код]

Контур, що використовується для обчислення граничного значення інтегралів Френеля.

Границі функцій C и S за можуть бути знайдені за допомогою інтегрування по контуру. Для цього обраховується контурний інтеграл функції

по границі сектору на комплексній площині, що утворений віссю абсцис, променем , і колом з радіусом R з центром на початку координат.

При інтеграл по дузі прямує до 0, інтеграл по дійсній осі прямує до значення інтегралу Пуасона

і, після деяких перетворень, інтеграл уздовж променя, що залишився, може бути виражений через граничне значення інтегралу Френеля.

Дивіться також[ред.ред. код]

Примітки[ред.ред. код]

  • Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, eds. Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. — New York: Dover, 1972. (См. часть 7) (англ.)

Посилання[ред.ред. код]