Інтегральна формула Коші

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Інтегра́льна фо́рмула Коші́ — одна з головних формул комплексного аналізу, виведена Оґюстеном-Луї Коші. Вона дозволяє виразити значення регулярної функції в будь-якій точці області через значення функції на межі цієї області. Використовується для доведення еквівалентності понять диференційовності та регулярності, а також при обчисленні контурних інтегралів у комплексній площині.

Теорема[ред.ред. код]

Нехай функція диференційовна в області . Якщо скінченна область разом зі своєю межею в області , а , то

.

Доведення[ред.ред. код]

Підінтегральний вираз є відношенням двох диференційовних функцій, при цьому знаменник обертається в нуль лише при . Тому функція диференційовна в усіх точках області за винятком точки . Візьмемо настільки малим, щоб круг належав області , і позначимо через область , з якої видалено точку , а через область , з якої видалено круг .

Функція диференційовна в області , і область лежить в області разом зі своєю межею (позначимо її через ). Отже, за інтегральною теоремою Коші інтеграл по від дорівнює нулю. Проте складається з С та кола . Інтегрування відбувається проти годинникової стрілки, тому залишається зліва, а круг — справа. Тому, змінивши напрямок інтегрування по колу на протилежне можна стверджувати:

Інтеграл зліва не залежить від . Тому при обчисленні інтеграла в правій частині значення можна обирати довільно. Отже:

Підінтегральний вираз в обмежений при : він прямує до . Так як довжина дорівнює , а модуль інтеграла не більший за добуток максимума модуля підінтегральної функції на довжину шляху інтегрування, то . Інтеграл обчислюються при переході до параметричного запису рівняння кола :

Отже,

Оскільки ліва частина рівності не залежить від , то теорему доведено.

Наслідки[ред.ред. код]

Оскільки це центральна формула всього комплексного аналізу, то вона має декілька важливих наслідків:

  • Поняття диференційовності та регулярності еквівалентні;
  • Якщо функція має розвинення в ряд Тейлора або ряд Лорана в околі деякої точки , то коефіційєнти ряду визначаються формулою:
де r — довільне додатне дійсне число;
  • Якщо функція має похідні до n-ого порядку включно у точці , то вони визначаються за формулою
Формулу легко довести, якщо прирівняти вирази для коефіцієнтів ряду Тейлора в інтегральній та диференціальній формах;
де первісна для . Слід зауважити, що багатозначна функція може і не мати первісної, навіть якщо вона, функція, і регулярна в даній області.

Приклад[ред.ред. код]

Для функції

обчислити значення інтегралу для контура

Розв’язання[ред.ред. код]

Функція має три особливі точки: .

У першому випадку до даного контуру потрапляють всі особливості. Отже, інтеграл можна розбити на три:

Числа можна обрати будь-якими малими, аби вони не включили інших особливих точок функції. Отже, застосувавши інтегральну формулу Коші до кожного з інтегралів маємо:

Джерела[ред.ред. код]

  • Евграфов М.А. Аналитические функции. — М.: Наука, 1965. — 471 ст.