Інтегральне рівняння

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Інтегральне рівняннярівняння, яке містить невідому функцію під знаком інтеграла, наприклад,

або

.

Тут і — задані функції, а — шукана. Функцію називають ядром інтегрального рівняння, а вільним членом; — параметр (з або ). Між інтегральними рівняннями та диференційними рівняннями існує тісний зв'язок, деякі задачі можуть бути сформульовані обидвома способами. Наприклад, рівняння Максвела

Основні види інтегральних рівнянь[ред.ред. код]

Лінійні рівняння[ред.ред. код]

Найпростішим типом рівнянь є рівняння Фредгольма першого роду:

де φ є невідомою функцією, f є деякою даною функцією, K є відомою функцією двох змінних, що називається ядром рівняння.

Якщо невідома функція знаходиться як під знаком інтеграла так і за його межами, то таке рівняння називається рівняням Фредгольма другого роду:

Де параметр λ є невідомим і відіграє ту ж роль, що власне значення у лінійній алгебрі.

Якщо межі інтегрування самі є змінними то таке інтегральне рівняння називається рівнянням Вольтерра. Відповідно рівняння Вольтерра першого і другого роду мають вигляд:

В усіх поданих вище рівняннях якщо функція f всюди рівна нулю то рівняння називається однорідним. В іншому випадку  — неоднорідним.

Нелінійні рівняння[ред.ред. код]

Рівняння Урисона[ред.ред. код]

Стала  — деяке додатне число, яке не завжди наперед можна визначити.

Рівняння Гаммерштейна[ред.ред. код]

Рівняння Гаммерштейна є частковим випадком рівнянь Урисона:

де — ядро Фредгольма.

Рівняння Ляпунова — Ліхтенштейна[ред.ред. код]

Рівняння Ляпунова — Ліхтенштейна  — рівняння з суттєво нелінійними операторами, наприклад:

Нелінійне Рівняння Вольтерра[ред.ред. код]

де функція неперервна за всіма своїми змінними.

Література[ред.ред. код]

  • М. Л. Краснов. Интегральные уравнения: введение в теорию. — М.: Наука, 1975.
  • В. С. Владимиров, В. В. Жаринов. Уравнения математической физики. — М.: Физматлит, 2004. — ISBN 5-9221-0310-5
  • Andrei D. Polyanin and Alexander V. Manzhirov Handbook of Integral Equations. CRC Press, Boca Raton, 1998. ISBN 0-8493-2876-4.

Посилання[ред.ред. код]