Інтегральний косинус

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук
Графіки функцій Si(x) і Ci(x) на проміжку [0, 8π]

Інтегральний косинус — функція, визначена для додатних дійсних чисел формулою:

 \mbox{Ci}(x) = \gamma + \ln x + \int_0^x \frac{\cos\, t -1 }{t} dt = -\int\limits_x^\infty\frac{\cos t}{t}dt

де  \gamma  — стала Ейлера.

Також визначаються пов'язані функції:

{\rm ci}(x)={\rm Ci}(x)\,
{\rm Cin}(x)=\gamma+\ln x-{\rm Ci}(x)\,

Властивості[ред.ред. код]

\operatorname{Ci}(x) = \frac{1}{2} \left( \operatorname{Ei}(ix) + \operatorname{Ei}(-ix) \right)
  • Для малих x \operatorname{Ci}(x) \approx \gamma + \ln x
  • З деякими іншими функціями інтегральний косинус пов'язаний співвідношеннями:
 \quad \int_0^\infty \operatorname{si}^2(t) dt = \frac{\pi}{2},
\int_0^\infty \sin(t) \operatorname{si}(t) dt = - \frac{\pi}{4}, \quad \int_0^\infty  \operatorname{Ci}(t) \operatorname{si}(t) dt = - \ln 2.


Розклад у ряд[ред.ред. код]

Інтегральний косинус можна розкласти в ряд:

 \mbox{Ci}(x) = \gamma + \ln x + \sum\limits_{n =1}^\infty \frac{ (-1)^n x^{2n}}{2n(2n)!}

За допомогою даного ряду визначається також інтегральний косинус від комплексного аргументу. Як функція комплексної змінної інтегральний косинус аналітичний на комплексній площині з розрізом вздовж від'ємної дійсної півосі.

Асимптотичний розклад для ~{\rm Re} (x) \gg 1~ задається розбіжним рядом

{\rm Ci}(x)= \frac{\sin x}{x}\left(1-\frac{2!}{x^{2}}+...\right)
                   -\frac{\cos x}{x}\left(\frac{1}{x}-\frac{3!}{x^{3}}+...\right)

Джерела[ред.ред. код]

  • Математическая энциклопедия / Под ред. И. М. Виноградова. Том 2 — М.: Мир, 1985.