Очікує на перевірку

Інтеграл Борвейна

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку

У математиці, Інтеграл Борвейна — інтеграл незвичайні властивості якого були вперше представлені математиками Девідом Борвейном[en] та Джонатаном Борвейном в 2001 році.[1] Інтеграл Борвейна включає в себе добутки функцій .Функція sinc визначається як де та .[1][2]

Ці інтеграли чудові тим, що демонструють явні закономірності, які в кінцевому підсумку руйнуються. Наведемо наступний приклад:

Ця закономірність продовжується до

Але на наступному кроці очевидна закономірність не спрацьовує:

У загальному випадку, подібні інтеграли набувають значення ,якщо числа замінюються на додатні дійсні числа, такі, що сума їх обернених значень менша за .

У наведеному вище прикладі, але

З включенням додаткового множника закономірність витримує більш довший ряд:

але

У цьому випадку, але

Причина порушення закономірності та розширення ряду продемонстрована за допомогою інтуїтивного математичного пояснення.[3][4] Зокрема, переформулювання у термінах випадкових блукань з аргументом причинності проливає світло на порушення закономірності та відкриває шлях для ряду узагальнень.[5]

Загальна формула

[ред. | ред. код]

Для заданої послідовності ненульових дійсних чисел , , можна представити загальну формулу для інтеграла[1]

Для виведення формули потрібно розглянути суми, що включають . Зокрема, якщо набір з чисел, де кожне , то тоді запишемо , що є певним зкакозмінним рядом декількох перших , та покладемо , де . У цих позначеннях значення вищевказаного інтеграла дорівнює

де

У випадку, якщо , то .

Крім того, якщо існує що для кожного виконуються умови та , тобто - перше значення за якого часткова сума перших елементів послідовності перевищує , тоді для кожного але

Розглянемо випадок коли .

Якщо ,то та але

Оскільки , то отримуємо формулу

яка вірна при виключенні будь-якого з множників, але

що дорівнює значенню, заданому вище.

Література

[ред. | ред. код]
  1. а б в Borwein, David; Borwein, Jonathan M. (2001), Some remarkable properties of sinc and related integrals, The Ramanujan Journal, 5 (1): 73—89, doi:10.1023/A:1011497229317, ISSN 1382-4090, MR 1829810
  2. Baillie, Robert (2011). Fun With Very Large Numbers. arXiv:1105.3943 [math.NT].
  3. Schmid, Hanspeter (2014), Two curious integrals and a graphic proof (PDF), Elemente der Mathematik, 69 (1): 11—17, doi:10.4171/EM/239, ISSN 0013-6018, архів оригіналу (PDF) за 5 березня 2020, процитовано 28 травня 2020
  4. Baez, John (20 вересня 2018). Patterns That Eventually Fail. Azimuth. Архів оригіналу за 21 травня 2019.
  5. Satya Majumdar; Emmanuel Trizac (2019), When random walkers help solving intriguing integrals, Physical Review Letters, 123 (2): 020201, arXiv:1906.04545, Bibcode:2019arXiv190604545M, doi:10.1103/PhysRevLett.123.020201, ISSN 1079-7114

Посилання

[ред. | ред. код]