У математиці , Інтеграл Борвейна — інтеграл незвичайні властивості якого були вперше представлені математиками Девідом Борвейном [en] та Джонатаном Борвейном в 2001 році.[ 1] Інтеграл Борвейна включає в себе добутки функцій
s
i
n
c
(
x
)
{\displaystyle \mathrm {sinc} (x)}
.Функція sinc визначається як
s
i
n
c
(
x
)
=
sin
(
x
)
x
{\displaystyle \mathrm {sinc} (x)={\frac {\sin(x)}{x}}}
де
x
≠
0
{\displaystyle x\neq 0}
та
s
i
n
c
(
0
)
=
1
{\displaystyle \mathrm {sinc} (0)=1}
.[ 1] [ 2]
Ці інтеграли чудові тим, що демонструють явні закономірності, які в кінцевому підсумку руйнуються. Наведемо наступний приклад:
∫
0
∞
sin
(
x
)
x
d
x
=
π
2
,
∫
0
∞
sin
(
x
)
x
sin
(
x
/
3
)
x
/
3
d
x
=
π
2
,
∫
0
∞
sin
(
x
)
x
sin
(
x
/
3
)
x
/
3
sin
(
x
/
5
)
x
/
5
d
x
=
π
2
.
{\displaystyle {\begin{aligned}&\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin(x)}{x}}\,{\rm {d}}x={\frac {\pi }{2}},\\&\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin(x)}{x}}{\frac {\sin(x/3)}{x/3}}\,{\rm {d}}x={\frac {\pi }{2}},\\&\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin(x)}{x}}{\frac {\sin(x/3)}{x/3}}{\frac {\sin(x/5)}{x/5}}\,{\rm {d}}x={\frac {\pi }{2}}.\end{aligned}}}
Ця закономірність продовжується до
∫
0
∞
sin
(
x
)
x
sin
(
x
/
3
)
x
/
3
⋯
sin
(
x
/
13
)
x
/
13
d
x
=
π
2
.
{\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {\sin(x)}{x}}{\frac {\sin(x/3)}{x/3}}\cdots {\frac {\sin(x/13)}{x/13}}\,{\rm {d}}x={\frac {\pi }{2}}.}
Але на наступному кроці очевидна закономірність не спрацьовує:
∫
0
∞
sin
(
x
)
x
sin
(
x
/
3
)
x
/
3
⋯
sin
(
x
/
15
)
x
/
15
d
x
=
467807924713440738696537864469
935615849440640907310521750000
π
=
π
2
−
6879714958723010531
935615849440640907310521750000
π
≈
π
2
−
2
,
31
×
10
−
11
.
{\displaystyle {\begin{aligned}\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin(x)}{x}}{\frac {\sin(x/3)}{x/3}}\cdots {\frac {\sin(x/15)}{x/15}}\,{\rm {d}}x&={\frac {467807924713440738696537864469}{935615849440640907310521750000}}\pi \\&={\frac {\pi }{2}}-{\frac {6879714958723010531}{935615849440640907310521750000}}\pi \\&\approx {\frac {\pi }{2}}-2{,}31\times 10^{-11}.\end{aligned}}}
У загальному випадку, подібні інтеграли набувають значення
π
2
{\displaystyle {\frac {\pi }{2}}}
,якщо числа
3
,
5
,
7
,
…
{\displaystyle 3,5,7,\ldots }
замінюються на додатні дійсні числа, такі, що сума їх обернених значень менша за
1
{\displaystyle 1}
.
У наведеному вище прикладі,
1
3
+
1
5
+
⋯
+
1
13
<
1
,
{\displaystyle {\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}+\dots +{\frac {1}{13}}<1,}
але
1
3
+
1
5
+
…
+
1
15
>
1.
{\displaystyle {\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}+\ldots +{\frac {1}{15}}>1.}
З включенням додаткового множника
2
cos
(
x
)
{\displaystyle 2\cos(x)}
закономірність витримує більш довший ряд:
∫
0
∞
2
cos
(
x
)
sin
(
x
)
x
sin
(
x
/
3
)
x
/
3
⋯
sin
(
x
/
111
)
x
/
111
d
x
=
π
2
,
{\displaystyle \int _{0}^{\infty }2\cos(x){\frac {\sin(x)}{x}}{\frac {\sin(x/3)}{x/3}}\cdots {\frac {\sin(x/111)}{x/111}}\,{\rm {d}}x={\frac {\pi }{2}},}
але
∫
0
∞
2
cos
(
x
)
sin
(
x
)
x
sin
(
x
/
3
)
x
/
3
⋯
sin
(
x
/
111
)
x
/
111
sin
(
x
/
113
)
113
d
x
<
π
2
.
{\displaystyle \int _{0}^{\infty }2\cos(x){\frac {\sin(x)}{x}}{\frac {\sin(x/3)}{x/3}}\cdots {\frac {\sin(x/111)}{x/111}}{\frac {\sin(x/113)}{113}}\,{\rm {d}}x<{\frac {\pi }{2}}.}
У цьому випадку,
1
3
+
1
5
+
⋯
+
1
111
<
2
,
{\displaystyle {\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}+\dots +{\frac {1}{111}}<2,}
але
1
3
+
1
5
+
⋯
+
1
113
>
2.
{\displaystyle {\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}+\dots +{\frac {1}{113}}>2.}
Причина порушення закономірності та розширення ряду продемонстрована за допомогою інтуїтивного математичного пояснення.[ 3] [ 4] Зокрема, переформулювання у термінах випадкових блукань з аргументом причинності проливає світло на порушення закономірності та відкриває шлях для ряду узагальнень.[ 5]
Для заданої послідовності ненульових дійсних чисел ,
a
0
,
a
1
,
a
2
,
…
{\displaystyle a_{0},a_{1},a_{2},\ldots }
, можна представити загальну формулу для інтеграла[ 1]
∫
0
∞
∏
k
=
0
n
sin
(
a
k
x
)
a
k
x
d
x
.
{\displaystyle \int _{0}^{\infty }\prod _{k=0}^{n}{\frac {\sin(a_{k}x)}{a_{k}x}}\,{\rm {d}}x.}
Для виведення формули потрібно розглянути суми, що включають
a
k
{\displaystyle a_{k}}
. Зокрема, якщо
γ
=
(
γ
1
,
γ
2
,
…
,
γ
n
)
∈
{
±
1
}
n
{\displaystyle \gamma =(\gamma _{1},\gamma _{2},\ldots ,\gamma _{n})\in \{\pm 1\}^{n}}
набір з
n
{\displaystyle n}
чисел, де кожне
±
1
{\displaystyle \pm 1}
, то тоді запишемо
b
γ
=
a
0
+
γ
1
a
1
+
γ
2
a
2
+
⋯
+
γ
n
a
n
{\displaystyle b_{\gamma }=a_{0}+\gamma _{1}a_{1}+\gamma _{2}a_{2}+\cdots +\gamma _{n}a_{n}}
, що є певним зкакозмінним рядом декількох перших
a
k
{\displaystyle a_{k}}
, та покладемо
ε
γ
=
γ
1
γ
2
⋯
γ
n
{\displaystyle \varepsilon _{\gamma }=\gamma _{1}\gamma _{2}\cdots \gamma _{n}}
, де
±
1
{\displaystyle \pm 1}
. У цих позначеннях значення вищевказаного інтеграла дорівнює
∫
0
∞
∏
k
=
0
n
sin
(
a
k
x
)
a
k
x
d
x
=
π
2
a
0
C
n
,
{\displaystyle \int _{0}^{\infty }\prod _{k=0}^{n}{\frac {\sin(a_{k}x)}{a_{k}x}}\,{\rm {d}}x={\frac {\pi }{2a_{0}}}C_{n},}
де
C
n
=
1
2
n
n
!
∏
k
=
1
n
a
k
∑
γ
∈
{
±
1
}
n
ε
γ
b
γ
n
sgn
(
b
γ
)
.
{\displaystyle C_{n}={\frac {1}{2^{n}n!\prod \limits _{k=1}^{n}a_{k}}}\sum _{\gamma \in \{\pm 1\}^{n}}\varepsilon _{\gamma }b_{\gamma }^{n}\operatorname {sgn} (b_{\gamma }).}
У випадку, якщо
a
0
>
|
a
1
|
+
|
a
2
|
+
⋯
+
|
a
n
|
{\displaystyle a_{0}>|a_{1}|+|a_{2}|+\cdots +|a_{n}|}
, то
C
n
=
1
{\displaystyle C_{n}=1}
.
Крім того, якщо існує
n
{\displaystyle n}
що для кожного
k
=
0
,
…
,
n
−
1
{\displaystyle k=0,\ldots ,n-1}
виконуються умови
0
<
a
n
<
2
a
k
{\displaystyle 0<a_{n}<2a_{k}}
та
a
1
+
a
2
+
⋯
+
a
n
−
1
<
a
0
<
a
1
+
a
2
+
⋯
+
a
n
−
1
+
a
n
{\displaystyle a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{n-1}<a_{0}<a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{n-1}+a_{n}}
, тобто
n
{\displaystyle n}
- перше значення за якого часткова сума перших
n
{\displaystyle n}
елементів послідовності перевищує
a
0
{\displaystyle a_{0}}
, тоді
C
k
=
1
{\displaystyle C_{k}=1}
для кожного
k
=
0
,
…
,
n
−
1
{\displaystyle k=0,\ldots ,n-1}
але
C
n
=
1
−
(
a
1
+
a
2
+
⋯
+
a
n
−
a
0
)
n
2
n
n
!
∏
k
=
1
n
a
k
.
{\displaystyle C_{n}=1-{\frac {(a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{n}-a_{0})^{n}}{2^{n}n!\prod \limits _{k=1}^{n}a_{k}}}.}
Розглянемо випадок коли
a
k
=
1
2
k
+
1
{\displaystyle a_{k}={\frac {1}{2k+1}}}
.
Якщо
n
=
7
{\displaystyle n=7}
,то
a
7
=
1
15
{\displaystyle a_{7}={\frac {1}{15}}}
та
1
3
+
1
5
+
1
7
+
1
9
+
1
11
+
1
13
≈
0
,
955
,
{\displaystyle {\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{9}}+{\frac {1}{11}}+{\frac {1}{13}}\approx 0,955,}
але
1
3
+
1
5
+
1
7
+
1
9
+
1
11
+
1
13
+
1
15
≈
1
,
02.
{\displaystyle {\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{9}}+{\frac {1}{11}}+{\frac {1}{13}}+{\frac {1}{15}}\approx 1,02.}
Оскільки
a
0
=
1
{\displaystyle a_{0}=1}
, то отримуємо формулу
∫
0
∞
sin
(
x
)
x
sin
(
x
/
3
)
x
/
3
⋯
sin
(
x
/
13
)
x
/
13
d
x
=
π
2
,
{\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {\sin(x)}{x}}{\frac {\sin(x/3)}{x/3}}\cdots {\frac {\sin(x/13)}{x/13}}\,{\rm {d}}x={\frac {\pi }{2}},}
яка вірна при виключенні будь-якого з множників, але
∫
0
∞
sin
(
x
)
x
sin
(
x
/
3
)
x
/
3
⋯
sin
(
x
/
15
)
x
/
15
d
x
=
π
2
(
1
−
(
3
−
1
+
5
−
1
+
7
−
1
+
9
−
1
+
11
−
1
+
13
−
1
+
15
−
1
−
1
)
7
2
6
⋅
7
!
⋅
(
1
/
3
⋅
1
/
5
⋅
1
/
7
⋅
1
/
9
⋅
1
/
11
⋅
1
/
13
⋅
1
/
15
)
)
,
{\displaystyle {\begin{aligned}&\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin(x)}{x}}{\frac {\sin(x/3)}{x/3}}\cdots {\frac {\sin(x/15)}{x/15}}\,{\rm {d}}x={\frac {\pi }{2}}\left(1-{\frac {(3^{-1}+5^{-1}+7^{-1}+9^{-1}+11^{-1}+13^{-1}+15^{-1}-1)^{7}}{2^{6}\cdot 7!\cdot (1/3\cdot 1/5\cdot 1/7\cdot 1/9\cdot 1/11\cdot 1/13\cdot 1/15)}}\right),\end{aligned}}}
що дорівнює значенню, заданому вище.
↑ а б в Borwein, David ; Borwein, Jonathan M. (2001), Some remarkable properties of sinc and related integrals, The Ramanujan Journal , 5 (1): 73—89, doi :10.1023/A:1011497229317 , ISSN 1382-4090 , MR 1829810
↑ Baillie, Robert (2011). Fun With Very Large Numbers. arXiv :1105.3943 [math.NT ].
↑ Schmid, Hanspeter (2014), Two curious integrals and a graphic proof (PDF) , Elemente der Mathematik , 69 (1): 11—17, doi :10.4171/EM/239 , ISSN 0013-6018 , архів оригіналу (PDF) за 5 березня 2020, процитовано 28 травня 2020
↑ Baez, John (20 вересня 2018). Patterns That Eventually Fail . Azimuth . Архів оригіналу за 21 травня 2019.
↑ Satya Majumdar; Emmanuel Trizac (2019), When random walkers help solving intriguing integrals, Physical Review Letters , 123 (2): 020201, arXiv :1906.04545 , Bibcode :2019arXiv190604545M , doi :10.1103/PhysRevLett.123.020201 , ISSN 1079-7114