Інтеграл Стілтьєса

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Інтеграл Стілтьєса (або інтеграл Рімана-Стілтьєса) — узагальнення визначеного інтеграла, дане в 1894 році голландським математиком Томасом Стілтьєсом.

Визначення[ред.ред. код]

Нехай маємо дві дійсні функції , P  — множину розбиттів відрізка  - Введемо позначення для довільних точок відрізків розбиття ; Величиною розбиття називатимемо довжину найдовшого відрізка розбиття:

.
Інтеграл Стілтьєса позначається так:
і за означенням він рівний границі:

У випадку, якщо  — інтеграл Стілтьєса збігається з інтегралом Рімана.

Часто вимагається також щоб g ' була функцією обмеженої варіації на проміжку , тобто величина

була скінченною. Це суттєво розширює множину інтегровних функцій.

Властивості[ред.ред. код]

(у випадку існування останнього інтеграла).
  • .
  • .
  • Якщо тоді .
  • Якщо тоді
  • .

В усіх попередніх рівняннях і вимагається існування інтегралів в правій частині.

  • Інтегрування частинами:

Застосування[ред.ред. код]

Головною областю застосування інтеграла Стілтьєса є теорія ймовірностей. Якщо є функцією розподілу випадкової змінної то математичне сподівання E(|f(X)|) виражається формулою:

незалежно від дискретності чи неперервності випадкової змінної. У цьому суттєва перевага інтеграла Стілтьєса над звичайним інтегралом.

Література[ред.ред. код]