Інтегрування з заміною змінної

Інтегрування з заміною змінної — спосіб знаходження інтеграла, що є аналогом знаходження похідної складеної функції в диференціальному численні.

Для визначеного інтеграла

Якщо $g:[a,b]\to I$ — диференційовна функція з неперервною похідною, де $I\subset \mathbb {R}$ — інтервал; а також $f:I\to \mathbb {R}$ — неперервна функція. Тоді:

$\int _{a}^{b}f(g(x))\cdot g'(x)\,dx=\int _{g(a)}^{g(b)}f(u)\ du.$

Для нової змінної $u=g(x)$ обчислимо похідну:

${\frac {du}{dx}}=g'(x)$.

Тоді новим диференціалом буде:

$du=g'(x)\,dx$.

Приклади

Приклад 1

Обчислити ${\textstyle \int (2x^{3}+1)^{7}(x^{2})\,dx.}$

Введемо нову змінну $u=2x^{3}+1.$ Тоді ${\frac {du}{dx}}=6x^{2}$ та $du=6x^{2}\,dx.$ Це значно спрощує інтеграл:

$\int (2x^{3}+1)^{7}(x^{2})\,dx={\frac {1}{6}}\int \underbrace {(2x^{3}+1)^{7}} _{u^{7}}\underbrace {(6x^{2})\,dx} _{du}={\frac {1}{6}}\int u^{7}\,du={\frac {1}{6}}\left({\frac {1}{8}}u^{8}\right)+C={\frac {1}{48}}(2x^{3}+1)^{8}+C,$

де $C$ довільна стала інтегрування.

Приклад 2

Обчислити $\int x\cos(x^{2}+1)\ dx$. Введемо нову змінну $u=x^{2}+1$ і отримаємо $du=2x\ dx$ чи $x\ dx={\frac {1}{2}}\ du$. Тому:

$\int x\cos(x^{2}+1)\,dx={\frac {1}{2}}\int 2x\cos(x^{2}+1)\,dx={\frac {1}{2}}\int \cos u\,du={\frac {1}{2}}\sin u+C={\frac {1}{2}}\sin(x^{2}+1)+C,$

де $C$ довільна стала інтегрування.

Приклад 3: Первісні тангенса і котангенса

Знайти первісну функції $\operatorname {tg} x={\tfrac {\sin x}{\cos x}}$.

Введемо нову змінну $u=\cos x$, обчислимо її диференціал $du=-\sin x\,dx$ і отримаємо:

$\int \operatorname {tg} x\,dx=\int {\frac {\sin x}{\cos x}}\,dx=\int -{\frac {du}{u}}=-\ln \left|u\right|+C=-\ln \left|\cos x\right|+C.$

Аналогічно знайдемо первісну $\operatorname {ctg} x={\tfrac {\cos x}{\sin x}}$.

Введемо нову змінну $u=\sin {x},du=\cos {x}\,dx$:

$\int \cot x\,dx=\int {\frac {\cos x}{\sin x}}\,dx=\int {\frac {du}{u}}=\ln \left|u\right|+C=\ln \left|\sin x\right|+C.$

Приклад 4: Визначений інтеграл

Обчислити

$\int _{0}^{2}{\frac {x}{\sqrt {x^{2}+1}}}dx$.

Введемо нову змінну $u=x^{2}+1$, обчислимо $du=2x\ dx$, тобто $x\ dx={\frac {1}{2}}\ du.$ Тоді:

$\int _{x=0}^{x=2}{\frac {x}{\sqrt {x^{2}+1}}}\ dx={\frac {1}{2}}\int _{u=1}^{u=5}{\frac {du}{\sqrt {u}}}={\frac {1}{2}}\left(2{\sqrt {5}}-2{\sqrt {1}}\right)={\sqrt {5}}-1.$

Оскільки нижню межу $x=0$ замінили на $u=1,$ а верхню $x=2$ на $2^{2}+1=5,$ то зворотня заміна на $x$ непотрібна.

Див. також

• Підстановка тангенса півкута

Джерела

• Григорій Михайлович Фіхтенгольц. Курс диференціального та інтегрального числення. — 2026. — 2390 с.(укр.)
• Ляшко І.І., Ємельянов В.Ф., Боярчук О.К. Математичний аналіз. Частина 1. — К. : Вища школа, 1992. — 496 с. — ISBN 5-11-003757-4.(укр.)
• Ляшко І. І., Боярчук О. К., Гай Я. Г., Головач Г. П. Математичний аналіз в прикладах і задачах. — 2026. — 2538 с.(укр.)
• Дороговцев А. Я. Математичний аналіз. Частина 1. — К. : Либідь, 1993. — 320 с. — ISBN 5-325-00380-1.(укр.)