Інтервали між простими числами

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку

Інтервали між простими числами — це різниці між двома послідовними простими числами. n-й інтервал, що позначається , — це різниця між (n + 1)-м і n-м простими числами, тобто

Ми маємо: . Послідовність інтервалів між простими числами добре вивчена. Іноді розглядають функцію замість .

Перші 30 інтервалів між простими числами такі:

1, 2, 2, 4, 2, 4, 2, 4, 6, 2, 6, 4, 2, 4, 6, 6, 2, 6, 4, 2, 6, 4, 6, 8, 4, 2, 4, 2, 4, 14 (послідовність A001223 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS).

Прості зауваження[ред. | ред. код]

Для будь-якого простого числа P, символом P# ми будемо позначати прайморіал P, тобто добуток всіх простих чисел, що не перевершують P. Якщо Q — це просте число, наступне після P, то послідовність

є послідовністю з послідовних складених чисел, тому існують інтервали між простими числами довжиною не менше, ніж . Отже, існують як завгодно великі інтервали між простими числами, і для будь-якого простого P існує n таке, що (Очевидно, що для цього ми можемо вибрати n таким, що буде найбільшим простим числом, що не перевершує .). Інший спосіб побачити, що існують як завгодно великі інтервали між простими числами, використовує той факт, що множина простих чисел має нульову щільність, відповідно до теореми про розподіл простих чисел.

Насправді, інтервал між простими величини P може зустрітися між простими, набагато меншими, ніж P#. Наприклад, найперша послідовність з 71 послідовних складеного числа знаходиться між 31398 і 31468, тоді як 71# є 27-значним числом.

Уже середнє значення інтервалів між простими зростає як натуральний логарифм n.

З іншого боку, гіпотеза про простих близнюків стверджує, що для нескінченно багатьох n.

Інтервали між простими можуть бути оцінені зверху і знизу за допомогою функції Якобсталя. послідовність A048670 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS).

Чисельні результати[ред. | ред. код]

На вересень 2017 року найбільший відомий інтервал між числами, визначеними як ймовірно прості, має довжину 6 582 144, з 216841-значними ймовірно простими знайшов Martin Raab[1]. Найбільший відомий інтервал між простими числами — це інтервал довжини 1113106, з 18662-значними простими знайдений P. Cami, M. Jansen and J. K. Andersen.[2][3]

Відношення M=gn/ln(pn) показує, у скільки разів даний інтервал gn відрізняється від середнього інтервалу між простими поблизу простого числа pn. На 2017 рік найбільше відоме значення M=41,93878373 виявлено для інтервалу довжиною 8350 після 87-значного простого числа 293703234068022590158723766104419463425709075574811762098588798217895728858676728143227. Цей рекорд знайдено в процесі розподілених обчислень Gapcoin.[4]

Відношення S=gn/ln2pn (відношення Крамера — Шенкса — Гренвілла) вивчають у зв'язку з гіпотезою Крамера, яка стверджує, що . Якщо не розглядати аномально високі значення S, що спостерігаються для то найбільше відоме значення S = 0,9206386 виявлено для інтервалу довжиною 1132 після 16-значного простого числа 1693182318746371. Цей рекорд знайшов у 1999 році Bertil Nyman[5] (послідовність A111943 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS містить це і всі попередні прості числа , що відповідають рекордним значенням S).

Будемо говорити, що є максимальним інтервалом, якщо для всіх буде . Mіж першими простими числами спостерігається приблизно максимальних інтервалів;[6] див. також послідовність A005250 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS.

Перші 80 максимальних інтервалів (n не наводиться; див. OEIS A005669)
Від 1 до 30
# gn pn
1 1 2
2 2 3
3 4 7
4 6 23
5 8 89
6 14 113
7 18 523
8 20 887
9 22 1129
10 34 1327
11 36 9551
12 44 15683
13 52 19609
14 72 31397
15 86 155921
16 96 360653
17 112 370261
18 114 492113
19 118 1349533
20 132 1357201
21 148 2010733
22 154 4652353
23 180 17051707
24 210 20831323
25 220 47326693
26 222 122164747
27 234 189695659
28 248 191912783
29 250 387096133
30 282 436273009
Від 31 до 60
# gn pn
31 288 1294268491
32 292 1453168141
33 320 2300942549
34 336 3842610773
35 354 4302407359
36 382 10726904659
37 384 20678048297
38 394 22367084959
39 456 25056082087
40 464 42652618343
41 468 127976334671
42 474 182226896239
43 486 241160624143
44 490 297501075799
45 500 303371455241
46 514 304599508537
47 516 416608695821
48 532 461690510011
49 534 614487453523
50 540 738832927927
51 582 1346294310749
52 588 1408695493609
53 602 1968188556461
54 652 2614941710599
55 674 7177162611713
56 716 13829048559701
57 766 19581334192423
58 778 42842283925351
59 804 90874329411493
60 806 171231342420521
Від 61 до 80
# gn pn
61 906 218209405436543
62 916 1189459969825483
63 924 1686994940955803
64 1132 1693182318746371
65 1184 43841547845541059
66 1198 55350776431903243
67 1220 80873624627234849
68 1224 203986478517455989
69 1248 218034721194214273
70 1272 305405826521087869
71 1328 352521223451364323
72 1356 401429925999153707
73 1370 418032645936712127
74 1442 804212830686677669
75 1476 1425172824437699411
76 1488 5733241593241196731
77 1510 6787988999657777797
78 1526 15570628755536096243
79 1530 17678654157568189057
80 1550 18361375334787046697
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90

Найбільші інтервали перших десяти тисяч[ред. | ред. код]

Вже у другій тисячі є інтервал, довжиною 34 числа, в якому немає простих чисел — (1327—1361). Причому, цей інтервал утримує свій рекорд довжини до десятої тисячі. Лише в дев'ятій тисячі є другий інтервал такої ж довжини — (8467-8501), а в десятій — довший інтервал (36 чисел) — (9551-9587), який і є найдовшим інтервалом перших десяти тисяч. Є також інтервал довжиною 32 числа — (5591-5623).

Подальші результати[ред. | ред. код]

Верхні оцінки[ред. | ред. код]

Постулат Бертрана стверджує, що для будь-якого k завжди існує хоча б одне просте число між k і 2 k, тому, зокрема, , звідки .

Теорема про розподіл простих чисел говорить, що «середня довжина» інтервалів між простим p і наступним простим числом має порядок . Фактична довжина інтервалів може бути більшою або меншою від цього значення. Однак, з теореми про розподіл простих чисел можна вивести верхню оцінку для довжини інтервалів простих чисел: для будь-якого існує таке N, що для всіх буде .

Хохайзель першим показав[7] що існує таке постійне

при

звідси слідує що

для досить великого n.

Звідси випливає, що інтервали між простими стають як завгодно меншими по відношенню до простих: частка прямує до нуля при прямуванні n до нескінченності.

Хохайзель отримав для можливе значення 32999/33000. Цю оцінку поліпшив до 249/250 Гайльбронн,[8] і до для будь-якого Чудаков[ru].[9]

Основне поліпшення отримав Інгем,[10], який показав, що якщо

для деякої константи , Де O використовується в сенсі нотації O велике, то

для будь-якого . Тут, як завжди, позначає дзета функцію Рімана, а  — функцію розподілу простих чисел, які не перевищують x. Відомо, що допускається , звідки для можна взяти будь-яке число, більше . З результату Інгема відразу випливає, що завжди існує просте число між числами і для досить великих n. Зауважимо, що ще не доведена гіпотеза Лінделефа, яка стверджує, що для c можна вибрати будь-яке додатне число, але з неї випливає, що завжди існує просте число між і для досить великих n (див. також Гіпотеза Лежандра). Якщо ця гіпотеза правильна, то можливо, що необхідна ще більш строга гіпотеза Крамера. Одним з досягнутих наближень до гіпотези Лежандра є доведений факт про те, що .[11]

Мартін Гакслі показав, що можна вибрати .[12]

Останній результат належить Бакеру, Гарману і Пінцу, які показали, що можна взяти рівним 0,525.[11]

2005 року Денієл Ґолдстон, Янос Пінц і Джем Їлдирим довели, що

і пізніше покращили це[13] до

2013 року Чжан Ітан представив статтю, де доводиться, що[14]

Цей результат багаторазово поліпшувався аж до

Зокрема, це означає, що множина всіх пар простих чисел, різниця між якими не перевищує 246, нескінченна[15][16].

Нижні оцінки[ред. | ред. код]

Роберт Ренкін[en] довів, що існує константа така, що нерівність

зберігається для нескінченно багатьох значень n. Найкраще відоме значення для c на поточний момент — це , де  — стала Ейлера-Маскероні.[17] Пал Ердеш запропонував приз $5000 за доведення або спростування того, що константа c в наведеній нерівності може бути як завгодно великою.[18]

Гіпотези про інтервали між простими числами[ред. | ред. код]

Функція «різниця простих»

Тут можливі ще кращі результати, ніж ті, які можуть бути отримані за припущення істинності гіпотези Рімана. Гаральд Крамер довів, що якщо гіпотеза Рімана істинна, то інтервали задовольняють співвідношенню

(тут використовується нотація O велике). Пізніше він припустив, що інтервали зростають значно менше. Грубо кажучи, він припустив, що

В даний момент на це вказують чисельні розрахунки. Для більш детальної інформації див. Гіпотеза Крамера.

Гіпотеза Андріци стверджує, що

Це слабке посилення гіпотези Лежандра, яка стверджує, що між будь-якою парою квадратів натуральних чисел існує хоча б одне просте число.

Інтервали між простими як арифметична функція[ред. | ред. код]

інтервал між n-м і (n+1)-м простими числами є прикладом арифметичної функції. В такому контексті зазвичай її позначають і називають різницею простих.[18] Різниця простих не є мультиплікативною і не є адитивною.

Див. також[ред. | ред. код]

Примітки[ред. | ред. код]

  1. Thomas R. Nicely's Home Page. 
  2. Andersen, Jens Kruse. The Top-20 Prime Gaps. Процитовано 2014-06-13. 
  3. A proven prime gap of 1113106
  4. Nicely, T.R., New prime gap of maximum known merit
  5. Nicely, T.R., First occurrence prime gaps
  6. Kourbatov, А. On the nth record gap between primes in an arithmetic progression // Int. Math. Forum : journal. — 2018. — Vol. 13, no. 2. — P. 65—78. — arXiv:1709.05508. — DOI:10.12988/imf.2018.712103.
  7. Hoheisel, G. Primzahlprobleme in der Analysis // Sitzunsberichte der Koniglich Preussischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin. — 1930. — Т. 33. — С. 3—11.
  8. Heilbronn, H. A. Uber den Primzahlsatz von Herrn Hoheisel // Mathematische Zeitschrift[en] : journal. — 1933. — Vol. 36, no. 1. — P. 394—423. — DOI:10.1007/BF01188631.
  9. Tchudakoff, N. G. On the difference between two neighboring prime numbers // Math. Sb. : journal. — 1936. — Vol. 1. — P. 799—814.
  10. Ingham, A. E. On the difference between consecutive primes // Quarterly Journal of Mathematics[en] : journal. — 1937. — Vol. 8, no. 1. — P. 255—266. — DOI:10.1093/qmath/os-8.1.255.
  11. а б Baker, R. C.; Harman, G.; Pintz, G.; Pintz, J. The difference between consecutive primes, II // Proceedings of the London Mathematical Society. — 2001. — Т. 83, № 3. — С. 532—562. — DOI:10.1112/plms/83.3.532.
  12. Huxley, M. N. On the Difference between Consecutive Primes // Inventiones Mathematicae : journal. — 1972. — Vol. 15, no. 2. — P. 164—170. — DOI:10.1007/BF01418933.
  13. arXiv:0710.2728
  14. Zhang, Yitang. Bounded gaps between primes // Annals of Mathematics : journal. — Princeton University and the Institute for Advanced Study. Процитовано 2013-05-21.
  15. Bounded gaps between primes. Polymath. Процитовано 2013-07-21. >
  16. D.H.J. Polymath. Variants of the Selberg sieve, and bounded intervals containing many primes // Research in the Mathematical Sciences : journal. — 2014. — Vol. 1. — arXiv:1407.4897. — DOI:10.1186/s40687-014-0012-7.
  17. Pintz, J. Very large gaps between consecutive primes // Journal of Number Theory|J. Number Theory : journal. — 1997. — Vol. 63, no. 2. — P. 286—301. — DOI:10.1006/jnth.1997.2081.
  18. а б Guy, R. K. (2004). Unsolved problems in number theory (вид. Third). New York: Springer. с. 31. ISBN 0387208607. 

Посилання[ред. | ред. код]