Нескінченно мала величина

Нескінченно мала величина — числова функція або послідовність, яка прямує до нуля.

Обчислення нескінченно малих — обчислення з нескінченно малими величинами, при яких результат розглядається як нескінченна сума нескінченно малих. Обчислення нескінченно малих складає основу диференціювання та інтегрування.

Нескінченно мала

Означення

Послідовність $a_{n}$ називається нескінченно малою, якщо $\lim _{n\to \infty }a_{n}=0$. Наприклад, послідовність чисел $a_{n}={\frac {1}{n}}$ — нескінченно мала.

Це ж означення можна викласти і в іншому формулюванні. Послідовність $a_{n}$ називається нескінченно малою, якщо вона по абсолютному значенню стає і залишається меншою як завгодно малого наперед заданого числа ε > 0, починаючи з деякого місця.

Жодне число окрім нуля не може бути віднесене до нескінченно малих величин.

Властивості нескінченно малої

• Алгебраїчна сума декількох нескінченно малих величин є також величина нескінченно мала
• Різниця двох нескінченно малих величин є величина нескінченно мала
• Добуток обмеженої змінної величини на нескінченно малу є величина нескінченно мала
• Відношення двох нескінченно малих величин - невизначеність

Границя нескінченно малої

Постійне число а називається границею послідовності $x_{n}$, якщо різницею між ними є нескінченно мала величина.

Інші означення нескінченно малої

Функція називається нескінченно малою в околі точки $x_{0}$, якщо $\lim _{x\to x_{0}}f(x)=0$.

Функція називається нескінченно малою на нескінченності, якщо $\lim _{x\to +\infty }f(x)=0$ або $\lim _{x\to -\infty }f(x)=0$.

Також нескінченно малою є функція, що являє собою різницю функції і її границі, тобто якщо є $\lim _{x\to +\infty }f(x)=a$, то $f(x)-a=\alpha (x)$ , $\lim _{x\to +\infty }(f(x)-a)=0$.

Інфінітезимальний — математичний термін, що вживається, як синонім поняття «нескінченно малий»

Класифікація нескінченно малих величин

Порівняння нескінченно малих

Нескінченно малі величини порівнюють між собою по характеру їх наближення до нуля.

• Якщо відношення ${\tfrac {\beta }{\alpha }}$ (а з ним і ${\tfrac {\alpha }{\beta }}$) мають скінченну і відмінну від нуля границю, то нескінченно малі $\alpha$ та

$\beta$ вважаються величинами одного порядку.

• Якщо ж відношення ${\tfrac {\beta }{\alpha }}$ само виявляється нескінченно малою (а зворотне відношення ${\tfrac {\alpha }{\beta }}$ нескінченно великою), то нескінченно мала $\beta$ вважається величиною вищого порядку малості, ніж нескінченно мала $\alpha$, та одночасно нескінченно мала $\alpha$ буде нижчого порядку малості, ніж нескінченно мала $\beta$.

Якщо нескінченно мала $\beta$ виявляється вищого порядку, ніж нескінченно мала $\alpha$, то цей факт записують так: $\beta =o(\alpha )$

Шкала нескінченно малих

При потребі в точнішій порівняльній характеристиці поводження нескінченно малих, у виразі їх порядків числами, вибирають в ролі "еталона" одну з нескінченно малих, її називають основною. Далі зі ступенів основної нескінченно малої $\alpha$ (будемо вважати, що $\alpha >0$) з різними додатніми показниками, $\alpha ^{k}$, складають як би шкалу для оцінки нескінченно малих складнішої природи.

• Домовляються вважати нескінченно малу $\beta$ величиною к-го порядку (відносно основної нескінченно малої $\alpha$), якщо $\beta$ та $\alpha ^{k}$ (k > 0) будуть величинами одного порядку, тобто якщо відношення ${\tfrac {\beta }{\alpha ^{k}}}$ має кінцеву та відмінну від нуля границю.

Еквівалентні нескінченно малі

• Нескінченно малі $\alpha$ та $\beta$ вважаються еквівалентними (в знаках $\alpha \sim \beta$), якщо їх різниця $\gamma =\beta -\alpha$ є величиною вищого порядку, ніж кожна з нескінченно малих $\alpha$ та $\beta$:

$\gamma =o(\alpha )$ та $\gamma =o(\beta )$

Розглянемо дві еквівалентні нескінченно малі $\alpha$ та $\beta$, так що $\beta =\alpha +\gamma$, де $\gamma =o(\alpha )$. Якщо наближено припустити $\beta =\alpha$, то - в міру зменшення обох величин - прагне до нуля не тільки абсолютна похибка цієї заміни, позначена як $\left|\gamma \right|$, але і відносна похибка, що дорівнює $\left|{\tfrac {\gamma }{\alpha }}\right|$. Іншими словами, при достатньо малих значеннях $\alpha$ та $\beta$ можна зі скільки завгодно великою відносною точністю взяти, що $\beta =\alpha$. На цьому базується, при наближених викладках, заміна складних нескінченно малих еквівалентними їм простими.

Друге означення еквівалентності (рівносильне першому):

• Для того, щоб дві нескінченно малі $\alpha$ та $\beta$ були еквівалентні, необхідно та достатньо, щоб було $\lim {\tfrac {\beta }{\alpha }}=1$

Доведення:

Нехай спочатку виконується дане співвідношення, так що

$\delta ={\tfrac {\beta }{\alpha }}-1\to \ 0$

Тоді

$\gamma =\beta -\alpha =\delta *\alpha$

буде величиною вищого порядку, ніж $\alpha$, тому що

$\lim {\tfrac {\gamma }{\alpha }}=\lim \delta =0$

Обернено, нехай тепер $\alpha$ та $\beta$ еквівалентні, тобто $\gamma =\beta -\alpha$ нескінченно мала вищого порядку, ніж $\alpha$. Наслідком цього маємо

${\tfrac {\beta }{\alpha }}-1={\tfrac {\gamma }{\alpha }}\to \ 0$, звідкіля ${\tfrac {\beta }{\alpha }}\to \ 1$

Що і потрібно було довести.

Виокремлення головної частини

Якщо вибрана основна нескінченно мала $\alpha$, то найпростішими нескінченно малими будемо вважати величини вигляду $c*\alpha ^{k}$, де с - постійний коефіцієнт і k > 0. Нехай нескінченно мала $\beta$ буде k-го порядку відносно $\alpha$, тобто

$\lim {\tfrac {\beta }{\alpha ^{k}}}=c$

Де с - скінченне та відмінне від нуля число. Тоді

$\lim {\tfrac {\beta }{c\alpha ^{k}}}=1$

і нескінченно малі $\alpha$ та $\beta$ виявляються еквівалентними: $\beta \sim c\alpha ^{k}$.

Ця найпростіша нескінченно мала $c\alpha ^{k}$, еквівалентна даній нескінченно малій $\beta$, називається її головною частиною (або головним членом)

Див. також

• Диференціал

Джерела

• Григорій Михайлович Фіхтенгольц. Курс диференціального та інтегрального числення. — 2023. — 1900+ с.(укр.)
• Бронштейн И.Н.,Семендяев К.А. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов, Наука, 1981 г.^{[недоступне посилання з липня 2019]}