Історія математики

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук
Історія науки
PurehuggingRoseStar.png
По тематиці
Математика
Природничі науки
Астрономія
Біологія
Ботаніка
Географія
Геологія
Фізика
Хімія
Екологія
Суспільні науки
Історія
Лінгвістика
Психологія
Соціологія
Філософія
Економіка
Технологія
Обчислювальна техніка
Сільське господарство
Медицина
Навігація
Категорії

Істо́рія матема́тики — це галузь знань, що займається дослідженням походження та розвитку математичних відкриттів та методів, а також математичних праць минулого.

Слово «математика» походить від грец. μάθημα (мàтема), що означає «пізнання» чи «вивчення»; математик, грец. μαθηματικός (математикóс), — «людина, охоплена жадобою пізнання». Математика первісно виникла як один із напрямків пошуку істинигрецькій філософії) у сфері просторових відношень (землеміряння — геометрії) та обчислень (арифметики), для практичних потреб людини рахувати, обчислювати, вимірювати, досліджувати форми та рух фізичних тіл. Нині цей термін позначає цілком визначену область знань, пов'язану із дослідженням задач про кількість, просторові форми, процеси розвитку та формальні структури, в основі якого лежать точні означення та строгі дедуктивні методи.

Історію математики можна поділити на чотири періоди.

  1. У перший період (приблизно 6-5 ст. до н. е.) сформувалося поняття цілого числа, раціонального дробу, відстані, площі, об'єму, були створені правила дій з числами, найпростіші правила визначення площ фігур та об'ємів тіл. Так накопичився матеріал, що склався в арифметику. Вимірювання площ і об'ємів сприяло розвиткові геометрії. На базі створення методів арифметичних обчислень виникла алгебра, а в зв'язку із запитами астрономії — тригонометрія. Однак у цей період математика ще не була дедуктивною наукою, вона складалася переважно з прикладів на розв'язування окремих задач, іноді являла собою збірку правил для їх розв'язування.
  2. У другий період (до середини XVII ст.) математика стає самостійною наукою зі своєрідним, чітко вираженим методом і системою основних понять. В Індії було створено десяткову систему числення, в Китаї — метод розв'язування лінійних рівнянь з двома і трьома невідомими; створена стародавніми греками система викладу елементарної геометрії стала зразком дедуктивної побудови математичної теорії на багато століть вперед. У цей період з арифметики поступово виділяється теорія чисел. Велике значення мали праці Піфагора Самоського, Гіппократа Хіоського, Евдокса Кнідського, Евкліда, Архімеда, Діофанта. У Київській Русі математична освіта була на рівні найкультурніших країн Європи того часу.
  3. Третій період (до початку ХХ ст.), в який було створено математику змінних величин, — суттєво новий період у розвитку математики.
  4. Четвертий — сучасний період — характеризується систематичним вивченням можливих типів кількісних відношень і просторових форм.

Математика у первісному суспільстві[ред.ред. код]

Уже в найперших писемних знахідках є докази, які свідчать про математичні знання їх авторів, що використовувались для вимірювання часу на основі спостереження за небесними світилами. Доісторичні артефакти, виявлені в Африці та Франції, вказують на здійснення перших спроб квантифікації часу. Існує припущення, що відліком часу займалися жінки, які реєстрували місячні цикли або фази місяця. Паралельно розвивалися уявлення про число: вірогідно, спостерігаючи за групами (стадами) тварин, люди почали розрізняти поняття «один», «два» та «багато». Саме такі кількісні уявлення донині збереглися у зулусів, африканських пігмеїв та ще ряду племен — австралійських, бразильських тощо. Пізніше числа об'єднувалися у групи, утворюючи більші одиниці лічби; зазвичай використовували пальці однієї чи обох рук, або ж рук і ніг, що давало лічбу з основою 5, 10 або 20. Записи велися позначенням одиниць, зарубками, камінцями тощо.

Математика найдавніших цивілізацій[ред.ред. код]

Найдавніші відомості про використання математики — господарські задачі в Стародавньому Єгипті (Папірус Рінда, Московський папірус, Шкіряний сувій єгипетської математики) та Вавилонії (Математичні тексти Суз). Вона використовувалася для календарних обрахунків, розподілу врожаю, організації суспільних робіт, збирання податків.

Вавилонське царство[ред.ред. код]

Про вавилонську цивілізацію, на щастя, нам відомо досить багато. Все це завдяки глиняним табличкам, які були покриті клинописними текстами, вік яких датується приблизно від 2000 років до н. е. та аж до III століття до н. е. Математика знайдених клинописних табличок в основному торкалася тільки моментів, пов'язаних із веденням господарства. Також проста арифметика і алгебра застосовувалися для оплати товарів, обчислення простих або складних відсотків. З часом, коли почали будувати канали, зерносховища та інші складні споруди, арифметичні і геометричні задачі стали складнішими. Математика також знадобилася для ведення обліку громадських робіт, яких у той час було чимало. Вкрай важливу роль математика зіграла у розрахунках календаря. Адже саме за календарем визначалися час сівби та збору врожаю, а також всі релігійні свята. Саме вавилонська астрономія поклала початок поділу кола на 360 градусів, а градуса та хвилини на секунди. Вавилонянам належить одна з перших систем числення. Для цього вони використовували числа від 1 до 59, основою яких була 10-ка. Символ, що позначав одиницю, вавилоняни повторювали необхідну кількість разів для чисел від 1 до 9. Подальші позначення, тобто, від 11 до 59, позначалися комбінацією символу числа 10, а також символу одиниці. Для чисел, починаючи з 60 і більше, була введена позиційна система числення, підставою якої стало число 60. Суттєвим проривом у вавилонській математиці став позиційний принцип. Тобто, один і той же числовий знак або символ знаходив різні значення в залежності від місця його розташування. Прикладом може послугувати значення 6 у нинішньому записі числа 606. Однак у вавилонян нуль був відсутній, саме тому і набір символів міг означати наступне: 65 — це 60+5, і 3605 — це 602+0+5. Виникала неоднозначність зі сприйняттям дробів, так як одні й ті ж символи могли трактуватися і як число, і як дріб. Але ця проблема вирішувалася досить просто — все залежало від конкретного контексту.

Єгипет[ред.ред. код]

Наше розуміння староєгипетської математики ґрунтується в основному на двох папірусах, що датуються приблизно 1700 роком до н. е. Однак ті математичні відомості, які містять ці папіруси, відносяться до зовсім раннього періоду, приблизно 3500 років до н. е. Єгиптяни відмінно орієнтувалися на той момент в математиці. Вони використовували її для обчислення маси тіл, площ посівів, об'ємів зерносховищ, розмірів податків, кількості каменів, які призначалися для будівництва різних споруд. У папірусах знайшлася і згадка про завдання з визначенням кількості зерна для приготування необхідного числа кухлів пива і навіть більш складних, де для приготування пива використовувалися одночасно кілька сортів зерна. Однак, незважаючи на всі ці факти, рівень астрономії в Стародавньому Єгипті все ж істотно поступався ступеню її розвитку у Вавилонському царстві. Вся давньоєгипетська писемність була заснована на ієрогліфах. Причому, система числення, так само, як і астрономія, сильно поступалася вавилонській системі. Єгиптяни використовували тільки непозиційну десяткову систему, де числа від одного до дев'яти позначалися за допомогою вертикальних паличок відповідним числом. Що стосується послідовних ступенів числа десять, то тут вже використовувалися індивідуальні символи. У єгиптян геометрія в основному зводилася до обчислень площ кола, трикутників, прямокутників, трапецій і до формул об'ємів певних тіл. Варто також відзначити, що, незважаючи на всю велич єгипетських пірамід, для їх будівництва єгиптяни використовували вкрай просту і примітивну математику.

Антична Греція[ред.ред. код]

Муза геометрії (Лувр)


Піфагорійська школа[ред.ред. код]

Математика як теорія отримала розвиток у школі Піфагора (571—479 рр. до н. е.). Головним досягненням піфагорійців в області науки є істотний розвиток математики як за змістом, так і за формою. За змістом — відкриття нових математичних фактів. За формою — побудова геометрії і арифметики як теоретичних, доказових наук, що вивчають властивості абстрактних понять про числа і геометричні форми. Дедуктивна побудова геометрії стала потужним стимулом її подальшого розвитку. Піфагорійці розвинули і обґрунтували планіметрію прямолінійних фігур — вчення про паралельні лінії, трикутники, чотирикутники, правильні багатокутники. Отримала розвиток елементарна теорія кола. Наявність у піфагорійців вчення про паралельні лінії вказує на те, що вони володіли методом доведення від супротивного і вперше довели теорему про суму кутів трикутника. Вершиною досягнень піфагорійців в планіметрії є доказ теореми Піфагора. Остання на багато століть раніше була сформульована вавилонськими, китайськими та індійськими вченими, однак її доказ їм не був відомий. Успіхи піфагорійців у стереометрії були значними. Вони займалися вивченням властивостей кулі, відкрили побудову чотирьох правильних многокутників — тетраедра, куба, октаедра і додекаедра (ікосаедр досліджував згодом Геетет). Однак вони не змогли обґрунтувати твердження, що відносяться до об'ємів тіл (піраміди, конуса, циліндра і кулі), хоча, звичайно, ці твердження були встановлені емпірично на багато століть раніше. В галузі арифметики піфагорійці вивчали властивості парних і непарних, простих і складених натуральних чисел, шукали досконалі числа, тобто такі, які дорівнюють сумі всіх своїх дільників (наприклад, 6=1+2+3; 28=1+2+4+7+14). Піфагорійці знали також дробові числа і в зв'язку з цим розробили теорію арифметичної та геометричної пропорцій. Вони володіли поняттями середнього арифметичного, середнього геометричного і середнього гармонійного.

Поворотний пункт в історії античної математики[ред.ред. код]

Якими б великими не були досягнення піфагорійців у розвитку змісту та систематизації геометрії і арифметики, однак всі вони не можуть зрівнятися зі зробленим ними ж відкриттям несумірних величин. Це відкриття стало поворотним пунктом в історії античної математики. З приводу цього відкриття Аристотель говорив, що Піфагор показав, що якщо б діагональ квадрата була б порівнянна з його стороною, то парне дорівнювало б непарному. Це зауваження Арістотеля показує, що при доведенні несумірності діагоналі квадрата з його стороною Піфагор використовував метод від супротивного. Наприкінці V століття до н. е. Феодор із Кірени встановив, що несумірність діагоналі квадрата з його стороною не є винятком. Він показав, що сторони квадратів, площі яких дорівнюють 3, 5, 6, …, 17 несумірні зі стороною одиничного квадрата. Піфагор вчив, що сутність усіх речей є число; число — самі речі; гармонія чисел — гармонія самих речей. Це природно: до відкриття Піфагора давньогрецькі математики вважали, що будь-які два відрізки мають спільну міру, хоча, може бути, і дуже малу. Піфагорійці знали тільки додатні цілі і дробові числа. Дотримуючись своєї філософської установки, вони, по суті справи, вважали, що кожна річ може бути охарактеризована позитивним цілим або дробовим числом, яке «виражає сутність» цієї речі. Насправді це означало, що геометрія будувалася на базі арифметики. Після виявлення існування несумірних величин перед піфагорійцями відкрилися дві можливості. Можна було спробувати розширити поняття числа за рахунок приєднання до раціональних чисел ірраціональних чисел, охарактеризувати несумірні величини числами іншої природи і таким чином відновити силу філософського принципу «все є число». Однак цей шлях, настільки природний і простий з сучасної точки зору, для піфагорійців був закритий. В цьому випадку треба було побудувати досить точну арифметичну теорію дійсних чисел, що при рівні піфагорійської математики було справою нереальною. Тому треба було йти іншим шляхом — шляхом певного перегляду вихідних принципів, наприклад, прийняти, що геометричні об'єкти є величинами більш загальної природи, ніж дробові і цілі числа, і намагатися будувати всю математику не на арифметичній, а на геометричній основі. Саме цей другий шлях і обрали піфагорійці, а слідом за ними більшість давньогрецьких математиків, аж до Архімеда і Аполлонія.

Період Академії[ред.ред. код]

Період цілком самостійної діяльності греків в області математики починається з діяльності Платона і заснованої ним у 389 р. Філософської школи, відомої під ім'ям Академія. З цього часу подальший розвиток, якщо не всієї математики взагалі, то, безсумнівно, геометрії, зосереджується виключно в руках однієї грецької нації, яка й веде його, поки знаходить у своєму розпорядженні необхідні засоби. Головним результатом математичної діяльності самого Платона було створення філософії математики і, зокрема, її методології. Як відомо, його власні роботи дуже мало стосувалися збільшення математичних знань у кількісному відношенні і були спрямовані на встановлення точних визначень основних понять геометрії, на виявлення і відведення справжнього місця її основних положень, на приведення надбаних раніше математичних знань в суворий логічний зв'язок як між собою, так і з основними поняттями та положеннями, і нарешті, на приведення в повну ясність і вивчення методів відкриття та докази нових істин, методів. Методів, розроблених Платоном, за свідченням Прокла, було три: аналітичний, синтетичний та апологічний. Викладені, на підставі пізніших досліджень предмета, більш повним і головне більш певним чином, ці визначення представляються в наступному вигляді. Аналітичний метод полягає в утворенні ланцюга пропозицій, з яких кожне випливає з наступного за ним, як безпосередній наслідок. Синтетичний метод є частиною аналітичного і тому складається з ланцюгів пропозицій, з яких перше є доведена істина, а кожне з наступних є наслідком того, що йому передує. Про апологічний метод, або метод приведення до безглуздості, Евклід не говорить, але досить чітке його визначення поряд з нечіткими визначеннями аналізу і синтезу дає Прокл, при своєму приписуванні їх Платону; «Третій (апологічний) метод, — говорить він, — є приведення до неможливого, яке не доводить прямо того, що шукається, а спростовує те, що йому суперечить, і таким чином через зв'язок того й іншого знаходить істину». Вчені математики, що належали до Академії розпадалися на дві групи: на вчених, які отримали свою математичну освіту незалежно від Академії і перебували тільки в більш або менш тісних зносинах з нею, і на колишніх учнів Академії. До перших належали Теэтет Афінський, Леодам Фасосский, Архіт Тарентським і пізніше Евдокс Кнідський; до числа других — Неоклид, Леон, Амикл з Гераклеї, брати Менехм і Динострат, і під час старості Платона — Теюдий з Магнезії, Кизикен Афінський, Гермотим Колофонский, Філіп Мендейский і Філіп Опунтский.

Індія та Арабський Халіфат[ред.ред. код]

Після греків за математику активно взялися індійці. Індійські математики ніколи не займалися різними доказами, однак саме вони ввели низку оригінальних понять і високоефективних методів. Завдяки їм було введено нуль, причому відразу ж, як число, так і як символ відсутності одиниць у розряді. Махавіра (приблизно 850 р. н. е.) винайшов ряд операцій, пов'язаних з нулем. Так, він встановив, що поділ будь-якого числа на нуль залишає число незміненим. Вже трохи пізніше Бхаксарой (приблизно 1114 н.е) дав правильну відповідь ділення числа на нуль, причому йому приписані і правила дій з ірраціональними числами. Саме індійці ввели у вжиток від'ємні числа. Таким чином, вони записували борги. Слово «алгебра» походить від назви книги «АЛЬ-джебр Ва-л-мукабала» («Заміщення та протиставлення»), яка була написана в 830 році н. е., а введено повсюдно математиком Аль-Хорезмі. Аль-Хорезмі у своїх творах віддавав належне досягненням індійської математики. Алгебра Аль-Хорезмі ґрунтувалася на навчаннях Брахмагупти, проте в ній явно проглядалися вавилонський і грецький впливи. Видатний арабський математик Ібн Аль-Хайсам (приблизно 965—1039 рр. н. е.) зумів розробити метод отримання алгебраїчних рішень кубічних, а також квадратних рівнянь. Арабські математики, включаючи і Омар Хайяма, вже тоді вміли вирішувати кубічні рівняння за допомогою геометричних методів. У тригонометрію арабськими астрономами були введені поняття тангенса і котангенса. Мабуть, найголовнішим внеском арабів у математику є їх чудові переклади, а також коментарі до найвидатніших творінь греків. Європа змогла оцінити всі ці роботи тільки після того, як Арабський Халіфат завоював Північну Африку та Іспанію. А вже трохи пізніше праці греків повністю переклали на латину.

Див. також[ред.ред. код]

Середньовічна Європа[ред.ред. код]

Незважаючи на всю свою велич, Римська цивілізація не змогла залишити жодного істотного сліду в математиці, бо вона була вже надто стурбована рішенням своїх практичних проблем. А ось цивілізація, яка склалася в Європі часів раннього Середньовіччя (приблизно 400—1100 рр. н. е.) не була настільки продуктивною через ряд причин. По-перше, усе інтелектуальне життя було сконцентровано тільки на теології. Тому рівень математичних знань не піднімався вище простої арифметики, а також найелементарніших розділів «Начала» Евкліда. Мабуть, найголовнішим розділом математики в Середньовіччя залишалася астрологія. В той час будь-якого астролога називали математиком. А оскільки вся медицина на той момент ґрунтувалася переважно на астрологічних показаннях і протипоказаннях, всім медикам довелося терміново стати математиками. Приблизно в 1100 році західноєвропейська математика приступила до освоєння збережених візантійськими греками і арабами спадщини Стародавнього світу Сходу. Це тривало близько трьох століть. А оскільки араби практично повністю володіли усіма працями давніх греків, Європа змогла отримати в своє розпорядження просто величезну кількість математичної літератури. Всі праці перекладалися на латину, що сприяло істотному зростанню знань і підйому математичних досліджень в досить короткі терміни. Практично всі вчені Європи визнавали, що своє натхнення вони черпали саме з праць греків. Одним з найперших європейських математиків, якого варто загадати, став Леонардо Пізанський або Фібоначчі. Завдяки його праці «Книга абака», виданій у 1202 році, європейці змогли познайомитися з індо-арабськими цифрами, а також методами обчислень. З неї вони дізналися і про алгебру. Однак протягом наступних кількох століть математична активність пішла на спад. Весь звід математичних досліджень і знань тієї епохи відбив Лука Пачолі у 1494 році. В його працях написано, що ніяких алгебраїчних нововведень відкрито або придумано не було, все це вже є у Леонардо.

Відродження[ред.ред. код]

Одними з найвидатніших геометрів епохи Відродження, як не дивно, стали художники. Саме вони розвинули ідею перспективи. Поняття проекції і перерізу ввів художник Леон Баттіста Альберті (1404—1472 рр.). Всі прямі промені світла, що виходять від очей спостерігача до різних точок представленої сцени, утворюють проекцію. А перетин виходить шляхом проходження площини через проекцію. Тому для того, щоб картина, яку малює художник, в кінцевому результаті була максимально реалістичною, вона повинна виконувати закони проекції і бути саме таким перетином. Судження про проекції і перерізи одразу викликали ряд математичних питань. Завдяки ним і народилася проективна геометрія, а заснував її Ж. Дезарг (1593—1662 рр.). Він створив її за допомогою доказів, які ґрунтувалися на проекції, а також перерізі. Він уніфікував підхід до різних типів конічних перерізів, які видатний геометр з Греції — Аполлоній, розглядав завжди окремо. Розвиток сучасної математики XVI століття в Західній Європі став визначним у досягненнях алгебри та арифметики. Математики ввели в ужиток десяткові дроби, а також правила арифметичних дій з ними. Справжній фурор викликав Дж. Непер, який у 1614 році винайшов логарифми. Вже в кінці XVII століття склалося чітке розуміння логарифмів як показників ступенів з абсолютно будь-яким позитивним числом, але тільки не одиницею. У XVI столітті стали активно використовувати ірраціональні числа. Б. Паскаль (1623—1662 рр..), а також І. Барроу (1630—1677 рр.), який був вчителем І. Ньютона (1643—1727 рр.) і викладав у Кембриджському університеті, заявив, що число корінь з двох, можна трактувати виключно як геометричну величину і більше ніяк. Але в той же час Р. Декарт (1596—1650 рр.) і Дж. Валліс (1616—1703 рр.) стверджували наступне: ірраціональні числа припустимі і без посилань на геометрію, тобто самі по собі. Однак у XVI столітті відновилися суперечки з приводу законності від'ємних чисел, а також комплексних чисел (Декарт їх назвав «уявними»), які виникали при розв'язуванні квадратних рівнянь. Незважаючи на доказову базу, ці числа були під підозрою аж до XVIII століття, незважаючи на те, що Л. Ейлер (1707—1783) ними користувався. Комплексні числа остаточно були визнані тільки в XIX столітті, після того, як математики того часу повністю ознайомилися з їх геометричним представленням.

16-19 століття[ред.ред. код]

У XVI столітті італійські математики С. Даль Ферро (1465—1526 рр.), Н. Тарталья (1499—1577 рр.) і Д. Кардано (1501—1576 рр.) змогли знайти спільні рішення рівнянь третього, а також четвертого ступеня. Щоб їх алгебраїчні міркування були зрозумілими, а записи стали більш точними, було прийнято рішення ввести багато відомих сьогодні символів, таких як: «+», «–», "=", «>», «<» та інших. Одним з найбільш яскравих нововведень стало систематичне застосування французьким математиком Ф. Вієтом (1540—1603 рр.) букв, які позначали невідомі, а також постійні величини. Це нововведення дозволило знайти Вієту єдиний метод рішення рівнянь другого, третього і четвертого ступенів. Після того, як усе було знайдено, математики пішли далі, тобто до рівнянь вище четвертого ступеня. Над цим наполегливо працювали Кардано, Ньютон і Декарт. Вони опублікували, щоправда, без будь-яких доказів, цілий ряд своїх результатів, що стосуються числа і виду коренів рівняння. І. Ньютон відкрив співвідношення між коренем і дискримінантом квадратного рівняння. Фрідріх Гаусс (1777—1855 рр.) в 1779 році довів так звану основну теорему алгебри, згідно з якою многочлен n-го ступеню має рівно n коренів. В алгебрі основне завдання полягає в наступному: знайти спільне рішення алгебраїчного рівняння. Це завдання продовжувало хвилювати математиків на початку XIX століття. Коли мова йде про спільне вирішення рівняння другого ступеня, мається на увазі наступне: кожен з двох коренів може бути виражений за допомогою кінцевого числа операцій додавання, віднімання, а також множення, ділення і добування коренів, здійснюваних над коефіцієнтами рівняння. Нільс Абель (молодий норвезький математик, 1802—1829 рр.) довів, що немає ніякої можливості отримати спільне рішення рівнянь вище четвертого ступеня за допомогою кінцевого числа алгебраїчних рішень. Але є багато рівнянь спеціального виду вище четвертого ступеня, які, в принципі, можуть допускати подібне рішення. Зовсім юний французький математик Е. Галуа (1811—1832 рр.) буквально напередодні своєї дуелі на якій і загинув, зміг дати заключну відповідь на питання: які саме рівняння можна відобразити через коефіцієнти за допомогою кінцевого числа алгебраїчних операцій. У його теорії застосовувалися підстановки коренів. Розвиток теорії груп — це хороший приклад того, що в математиці все ж присутні і творчі процеси. Галуа створив свою теорію на основі робіт Абеля. Сам же Абель брав за основу роботи Ж. Лагранжа (1736—1813 рр.). Насправді, дуже багато відомих математиків, включаючи і Гауса, і А. Лежандра (1752—1833 рр.) використовували в своїх працях поняття груп. У свій час Ньютон і заявив: «Якщо я і міг бачити набагато далі, ніж інші, все тільки тому, що я стояв на плечах гігантів».

Аналітична геометрія[ред.ред. код]

Аналітична (координатна) геометрія створювалася незалежно математиками П. Ферма (1601—1655 рр.) і Р. Декартом. Це було зроблено спеціально для розширення можливостей евклідової геометрії в задачах на побудову. Але Ферма оцінював свої роботи тільки як переформулювання творів Аполлонія. Справжнє відкриття — це усвідомлення всієї могутності алгебраїчних методів, яке належить все ж Декарту. Аналітична геометрія виникла саме тоді, коли Декарт приступив до розгляду невизначених задач на побудову шляхом рішень, де є не одна, а відразу безліч різних довжин. Аналітична геометрія застосовує алгебраїчні рівняння, щоб представити дослідження поверхонь і кривих. Декарт вважав, що певну криву можна записати за допомогою єдиного алгебраїчного рівняння відносно x і y. Даний підхід став важливим кроком вперед. Таким чином, у XVII—XVIII ст. ст. більшість головних відкриттів, приміром, циклоїда або ланцюгова лінія, швидко змогли увійти в побут вчених. Швидше за все, першим математиком, який використовував рівняння для доказів властивостей конічних перерізів, став Дж. Валліс (1616—1703 рр.). У 1865 році він алгебраїчним методом отримав всі необхідні йому результати, які були представлені в книзі «Начала» Евкліда. Саме аналітична геометрія змогла повністю обміняти ролями геометрію і алгебру. Видатний французький математик Лагранж сказав: «Алгебра і геометрія, рухаючись своїми шляхами, лише уповільнюють свій прогрес. Однак, як тільки ці науки об'єднуються, вони починають позичати одна у одної життєві сили і можливості, які змушують їх обох рухатися величезними кроками вперед до досконалості».

Математичний аналіз[ред.ред. код]

Такі засновники сучасної науки, як Ньютон, Коперник, Галілей і Кеплер, підходили до вивчення природи так само, як і до математики. Досліджуючи, таким чином, рух, ці великі математики змогли виробити таке фундаментальне поняття, як відношення між змінними і функція. Таке завдання, як визначення миттєвих швидкостей зміни різних величин, цікавило практично всіх математиків XVII століття, у тому числі і Барроу, Декарта, Валліса, і Ферма. Вони запропонували різні ідеї і методи, які були об'єднані в систематичний універсальний формальний спосіб, що використовувався Ньютоном, а також Г. Лейбніцем (1646—1716 рр.), які, до речі, були творцями диференціального числення. Але в розробці даного обчислення, математики постійно вели гарячі суперечки, з'ясовуючи, кому ж все-таки належить головна заслуга, і Ньютон постійно звинувачував Лейбніца в чистому плагіаті. З плином часу дослідження підтвердили, що Лейбніц не займався плагіатом, а навпаки, створив незалежно від Ньютона математичний аналіз. Через незгоду сторін миритися з ситуацією, обмін знаннями між математиками Англії і континентальної Європи «заморозився» на довгі роки. Хочеться відзначити, що в цій ситуації найбільше постраждала англійська сторона. Математики з Англії так і продовжували аналізувати в геометричному напрямку, тоді як математики з континентальної Європи, включаючи таких гігантів думки, як Я. Бернуллі (1667—1748 рр.), Лагранжа і Ейлера, змогли досягти неймовірно високих результатів, дотримуючись аналітичного або алгебраїчного підходу.

Сучасна математика[ред.ред. код]

Створення диференціального й інтегрального числень ознаменувало початок «вищої математики». Методи математичного аналізу, на відміну від поняття межі, що лежить в його основі, виглядали ясними і зрозумілими. Багато років математики, у тому числі Ньютон і Лейбніц, марно намагалися дати точне визначення поняттю межі. І все ж, незважаючи на численні сумніви в обгрунтованості математичного аналізу, він знаходив все більш широке застосування. Диференціальне і інтегральне числення стали наріжними каменями математичного аналізу, який з часом включив в себе і такі предмети, як теорія диференціальних рівнянь, звичайних і з приватними похідними, нескінченні ряди, варіаційне числення, диференціальна геометрія і багато іншого. Суворе визначення межі вдалося отримати лише в 19 ст.

Неевклідова геометрія. До 1800 математика лежала на двох «китах» — на числовій системі і евклідової геометрії. Так як багато властивостей числової системи доводили геометрично, евклідова геометрія була найбільш надійною частиною будівлі математики. Тим не менш аксіома про паралельні містила твердження про прямі, що тягнуться у нескінченність, яке не могло бути підтверджено досвідом. Навіть версія цієї аксіоми, що належить самому Евкліду, зовсім не стверджує, що якісь прямі не перетнуться. У ній швидше формулюється умова, при якому вони перетнуться в деякій кінцевій точці. Століттями математики намагалися знайти аксіомі про паралельні відповідну відповідну заміну. Але в кожному варіанті неодмінно, скажімо, когось пробіл. Честь створення неевклідової геометрії випала Н. І. Лобачевському (1792—1856) та Я. Бояї (1802—1860), кожен з яких незалежно опублікував своє власне оригінальне виклад неевклідової геометрії. У їх геометріях через дану точку можна було провести нескінченно багато паралельних прямих. В геометрії Б. Рімана (1826—1866) через точку поза прямою не можна провести ні однієї паралельної. 

Про фізичні додатках неевклідової геометрії ніхто серйозно не думав. Створення А. Ейнштейном (1879—1955) загальної теорії відносності в 1915 пробудило науковий світ до усвідомлення реальності неевклідової геометрії. 

Неевклідова геометрія стала найбільш вражаючим інтелектуальним звершенням 19 ст. Вона ясно продемонструвала, що математику не можна більше розглядати як звід незаперечних істин. У кращому випадку математика може гарантувати достовірність докази на основі недостовірних аксіом. Але зате математики надалі здобули свободу досліджувати будь-які ідеї, які могли здатися їм привабливими. Кожен математик окремо був тепер вільний вводити свої власні нові поняття і встановлювати аксіоми на свій розсуд, стежачи лише за тим, щоб виникають з аксіом теореми не суперечили один одному. Грандіозне розширення кола математичних досліджень в кінці минулого століття по суті стало наслідком цієї нової свободи. 

Математична строгість. Приблизно до 1870 математики перебували в переконанні, що діють за визначенням древніх греків, застосовуючи дедуктивні міркування до математичних аксіом, тим самим забезпечуючи своїми висновками не меншу надійність, ніж та, якою володіли аксіоми. Неевклидова геометрія і кватерніони (алгебра, в якій не виконується властивість комутативності) змусили математиків усвідомити, що те, що вони брали за абстрактні і логічно несуперечливі затвердження, в дійсності грунтується на емпіричному та прагматичному базисі. 

Створення неевклідової геометрії супроводжувалося також усвідомленням існування в евклідової геометрії логічних прогалин. Одним з недоліків евклідових Почав було використання припущень, не сформульованих в явному вигляді. Мабуть, Евклід не піддавав сумніву ті властивості, якими володіли його геометричні фігури, але ці властивості не були включені в його аксіоми. Крім того, доводячи подобу двох трикутників, Евклід скористався накладенням одного трикутника на інший, неявно припускаючи, що при русі властивості фігур не змінюються. Але окрім таких логічних прогалин, в Началах виявилося і кілька помилкових доказів. 

Створення нових алгебр, що почалося з квартерніонов, породило аналогічні сумніви і стосовно логічної обгрунтованості арифметики і алгебри звичайної числової системи. Всі раніше відомі математикам числа мали властивістю комутативності, тобто ab = ba. Кватерніони, вчинили переворот у традиційних уявленнях про числа, були відкриті в 1843 У. Гамільтоном (1805—1865). Вони виявилися корисними для вирішення цілого ряду фізичних і геометричних проблем, хоча для кватерніонів не виконувалося властивість комутативності. Квартерніони змусили математиків усвідомити, що якщо не вважати присвяченій цілим числам і далекою від досконалості частини евклідових Почав, арифметика і алгебра не мають власної аксіоматичної основи. Математики вільно зверталися з негативними та комплексними числами й виробляли алгебраїчні операції, керуючись лише тим, що вони успішно працюють. Логічна строгість поступилася місцем демонстрації практичної користі введення сумнівних понять і процедур. 

Майже з самого зародження математичного аналізу неодноразово робилися спроби підвести під нього строгі підстави. Математичний аналіз ввів два нових складних поняття — похідна і визначений інтеграл. Над цими поняттями билися Ньютон і Лейбніц, а також математики наступних поколінь, які перетворили диференціальне та інтегральне числення в математичний аналіз. Однак, незважаючи на всі зусилля, в поняттях межі, безперервності і диференційовності залишалося багато неясного. Крім того, з'ясувалося, що властивості алгебраїчних функцій не можна перенести на всі інші функції. Майже всі математики 18 ст. і початку 19 ст. робили зусилля, щоб знайти сувору основу для математичного аналізу, і всі вони зазнали невдачі. Нарешті, в 1821, О. Коші (1789—1857), використовуючи поняття числа, підвів сувору базу під весь математичний аналіз. Однак пізніше математики виявили у Коші логічні пробіли. Бажана строгість була нарешті досягнута в 1859 К. Вейерштрасом (1815—1897). 

Вейерштрасс спочатку вважав властивості дійсних і комплексних чисел самоочевидними. Пізніше він, як і Г. Кантор (1845—1918) і Р. Дедекінд (1831—1916), усвідомив необхідність побудови теорії ірраціональних чисел. Вони дали коректне визначення ірраціональних чисел і встановили їх властивості, однак властивості раціональних чисел, як і раніше вважали самоочевидними. Нарешті, логічна структура теорії дійсних і комплексних чисел придбала свій закінчений вигляд в роботах Дедекінда і Дж. Пеано (1858—1932). Створення підстав числової системи дозволило також вирішити проблеми обґрунтування алгебри. 

Завдання посилення строгості формулювань евклідової геометрії була порівняно простий і зводилася до перерахування визначених термінів, уточнення визначень, введенню відсутніх аксіом і заповнення прогалин у доказах. Це завдання виконав у 1899 Д. Гільберт (1862—1943). Майже в той же час були закладені і основи інших геометрій. Гільберт сформулював концепцію формальної аксіоматики. Одна з особливостей запропонованого ним підходу — трактування невизначених термінів: під ними можна мати на увазі будь-які об'єкти, що задовольняють аксіомам. Наслідком цієї особливості стала зростаюча абстрактність сучасної математики. Евклідового і неевклідова геометрії описують фізичний простір. Але в топології, що є узагальненням геометрії, невизначуваним термін «точка» може бути вільний від геометричних асоціацій. Для топології точкою може бути функція або послідовність чисел, так само як і що-небудь інше. Абстрактне простір являє собою багато таких «точок» 

Аксіоматичний метод Гільберта увійшов майже в усі розділи математики 20 ст. Однак незабаром стало ясно, що цьому методу притаманні певні обмеження. У 1880-х Кантор спробував систематично класифікувати нескінченні множини (наприклад, множина всіх раціональних чисел, множина дійсних чисел і т. д.) шляхом їх порівняльної кількісної оцінки, приписуючи їм т. зв. трансфінітної числа. При цьому він виявив в теорії множин протиріччя. Таким чином, до початку 20 ст. математикам довелося мати справу з проблемою їх дозволу, а також з іншими проблемами підстав їх науки, такими, як неявне використання т. зв. аксіоми вибору. І все ж ніщо не могло зрівнятися з руйнівним впливом теореми неповноти К. Геделя (1906—1978). Ця теорема стверджує, що будь-яка несуперечлива формальна система, що досить багата, щоб утримувати теорію чисел, обов'язково містить нерозв'язне пропозицію, тобто твердження, яке неможливо ні довести, ні спростувати в її рамках. Тепер загальновизнано, що абсолютного докази в математиці не існує. Щодо того, що такий доказ, думки розходяться. Однак більшість математиків схильне вважати, що проблеми основ математики є філософськими. І дійсно, жодна теорема не змінилася внаслідок знову знайдених логічно суворих структур; це показує, що в основі математики лежить не логіка, а здорова інтуїція. 

Висновок[ред.ред. код]

Якщо математику, відому до 1600, можна охарактеризувати як елементарну, то в порівнянні з тим, що було створено пізніше, ця елементарна математика нескінченно мала. Розширилися старі області і з'явилися нові, як чисті, так і прикладні галузі математичних знань. Виходять близько 500 математичних журналів. Величезна кількість публікованих результатів не дозволяє навіть фахівцеві ознайомитися з усім, що відбувається в тій області, в якій він працює, не кажучи вже про те, що багато результати доступні розумінню лише фахівця вузького профілю. Ні один математик сьогодні не може сподіватися знати більше того, що відбувається в дуже маленькому куточку науки. 


Література[ред.ред. код]

  1. Біографічний словник діячів у галузі математики / О. І. Бородін, А. С. Бугай. — К. : Радянська школа, 1973. — 551 с.
  2. Георгій Вороний — гордість української математики / Ігнатенко Микола Якович // Проблеми сучасної педагогічної освіти: [зб. ст.] / РВНЗ «Крим. гуманіт. ун-т». — Ялта: [б. в.], 2005. Сер.: Педагогіка і псхологія, Вип. 8. — С. 15-22.
  3. Історія математики / Бевз В. Г. — Харків: Основа, 2006. — 171 с. — (Бібліотека журналу «Математика в школах України»: серія заснована в 2003 р. ; вип. 2(38)). — Бібліогр.: с. 166—169. — ISBN 9663332867
  4. Історія математики за стародавніх часів і в середні віки: посіб. для вчителів та студ. педвишів / Г. Г. Цейтен ; передм. М. Вигодського ; пер. з рос. вид. — [Б. м.]: Радянська школа, 1936. — 220 с.
  5. Історія математики: [навч. посіб.] / Євген Крутиголова ; Дрогобиц. держ. пед. ун-т ім. Івана Франка. — Дрогобич: Коло, 2001. — 118, [1] с. — Бібліогр.: с. 119. — ISBN 966-7996-12-9
  6. Історія математики у фаховій підготовці майбутніх учителів: монографія / В. Г. Бевз ; Нац. пед. ун-т ім. М. П. Драгоманова. — Київ: [б. и.], 2005. — 359, [1] с. — Бібліогр.: с. 328—359. — ISBN 9666602245
  7. Математики — дійсні члени Наукового товариства імені Шевченка / Григорій Возняк ; Тернопіл. осередок Наук. т-ва ім. Шевченка. — Тернопіль: Підручники і посібники, 2006. — 127 с. — Бібліогр.: с. 124—125. — ISBN 9660705514
  8. Математична генеалогія: [навч. посіб.] / В. К. Григоренко, К. В. Григоренко. — Черкаси: Видавництво ЧНУ ім. Б. Хмельницького, 2013. — 184 с.
  9. Математична освіта в Україні: минуле, сьогодення, майбутнє: Міжнар. наук.-практ. конф., присвяч. 60-й річниці каф. математики і методики викладання математики: тези доповідей / Нац. пед. ун-т ім. М. П. Драгоманова, Ін-т фіз.-мат. та інформ. освіти і науки. Каф. математики і методики викладання математики ; [оргком. конф.: Андрущенко В. П. та ін. ; ред. ком.: Бевз В. Г. та ін.]. — Київ: [б. в.], 2007. — 375 с. — Бібліогр. у кінці ст. — ISBN 978-966-660-344-2
  10. Михайло Васильович Остроградський. Нарис життя та діяльності / Вячеслав Добровольський. — [Київ]: [Б. в.], [2001]. — 87 с.
  11. М. Є. Ващенко-Захарченко та його вплив на розвиток Київської математичної школи / А. В. Боярська-Хоменко // Теорія та методика навчання та виховання: зб. наук. пр. / Харк. нац. пед. ун-т ім. Г. С. Сковороди. — Харків: [б. в.], 2008. — Вип. 22. — С. 10-13.
  12. Нариси з історії математики: навч. посіб. / М. П. Ленюк. — Чернівці: Прут, 2010. — 359, [1] с. — Бібліогр.: с. 350—358. — ISBN 978-966-560-429-461-7
  13. Практикум з історії математики / В. Г. Бевз ; Нац. пед. ун-т ім. М. П. Драгоманова. — Київ: [б. и.], 2004. — 311 с. : іл. — Бібліогр.: с. 294—296. — ISBN 9666601966
  14. Чотирнадцята міжнародна наукова конференція імені академіка М. Кравчука : 19-21 квітня, 2012 р., м. Київ: матеріали конференції / Київ. нац. ун-т ім. Т. Шевченка, Нац. пед. ун-т ім. М. П. Драгоманова, Нац. техн. ун-т України «Київський політехнічний інститут»; Гол. оргком. М. Згуровський.– К. : НТУУ «КПІ» . — Укр., рос., англ. мовами.– ISBN 978-617-696-013-3.– Т. 4 : Історія та методика викладання математики.– 2012.– 299 с.– 170 пр.– Бібліогр. в кінці ст. — Укр., рос., англ. мовами.– ISBN 978-617-696-017-1
  15. Matematyka i jej historia / W. Wieslaw. — Opole: NOWIK, 1997. — 416 s. — ISBN 83-905456-7-5

Див. також[ред.ред. код]

Посилання[ред.ред. код]


Сигма Це незавершена стаття з математики.
Ви можете допомогти проекту, виправивши або дописавши її.