Абелева категорія

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Абелева категорія - категорія, в якій морфізми можна додавати, існують ядра і коядра і при цьому виконуються деякі додаткові властивості. Прикладом, який став прототипом абелевої категорії є категорія абелевих груп. Поняття абелевої категорії було запропоновано {{нп5|Буксбаум, Девідом Бухсбаумом у 1955 році (він використовував назву «точна категорія»). Згодом теорія була розроблена незалежно Александром Гротендік для об'єднання декількох теорій когомологій. У той час існувала теорія когомологій пучків на алгебричних многовидів і теорія когомологій груп. Ці теорії вводилися по-різному, але мали подібні властивості. Гротендіку вдалося об'єднати ці теорії; обидві вони можуть бути визначені за допомогою похідних функторів на абелевій категорії пучків і абелевій категорії модулів відповідно.

Означення[ред.ред. код]

Нижче подано два означення друге з яких є лише для локально малих категорій. У цьому випадку два означення є еквівалентними.

Перше означення[ред.ред. код]

Категорія є абелевою, якщо:

Друге означення[ред.ред. код]

Локально мала категорія називається абелевою, якщо:

  • Для всіх об'єктів на множині {\mathcal C} можна ввести структуру абелевої групи.
  • Для морфізмів і виконуються рівності і (білінійність). Категорія, що задовольняє цим властивостям, називається преаддитивною.
  • Для довільної скінченної кількості об'єктів існує біпродукт — об'єкт, що є одночасно добутком і кодобутком об'єктів. Зокрема, у категорії є нульовий об'єкт — добуток порожньої множини об'єктів. Категорія, що задовольняє всі наведені властивості, називається аддитивною.
  • Для кожного морфізму існує ядро й коядро.
  • Всі мономорфізми і епіморфізми є нормальними.

Приклади[ред.ред. код]

  • Категорія абелевих груп є абелевою. Категорія скінченнопороджених абелевих груп також є абелевою, як і категорія скінченних абелевих груп.
  • Якщо кільце, то категорія лівих (або правих) модулів над є абелевою. Згідно з теоремою Фрейда - Мітчелла про вкладення, будь-яка мала абелева категорія є еквівалентною повній підкатегорії категорії модулів.
  • Якщо нетерове зліва кільце, то категорія скінченнопороджених лівих -модулів є абелевою. Зокрема, категорія скінченнопороджених модулів над нетеровим комутативним кільцем є абелевою.
  • Категорії векторних росторів і скінченновимірних векторних просторів над довільним полем є абелевими.
  • Якщо топологічний простір, то категорія пучків абелевих груп на є абелевою.
  • Якщо топологічний простір, то категорія векторних розшарувань на зазвичай не є абелевою, оскільки можуть існувати мономорфізми, що не є ядрами.

Аксіоми Гротендіка[ред.ред. код]

У статті Sur quelques points d'algebre homologique Гротендік запропонував кілька додаткових аксіом, які можуть виконуватися в абелевій категорії .

  • AB3) Для будь-якої множини об'єктів категорії існує кодобуток . Дана аксіома еквівалентна коповноті абелевої категорії [1].
  • AB4) задовольняє аксіомі AB3) і кодобуток будь-якої сімї мономорфізмів є мономорфізмом (тобто кодобуток є точним функтором).
  • AB5) задовольняє аксіомі AB3) і Фільтровані кограниці[en] точних послідовностей є точними. Еквівалентно, для будь-якої ґратки підоб'ектів об'єкта і будь-якого — підоб'єкту об'єкта справедливою є рівність

Аксіоми AB3 *), AB4 *) і AB5 *) отримуються з наведених вище аксіом як двоїсті їм (тобто заміною кограниці на границі. Аксіоми AB1) і AB2) — стандартні аксіоми, які виконуються в будь-якій абелевій категорії (точніше, абелева категорія є адитивною категорією, яка задовольняє цим аксіомам):

  • AB1) У будь-якого морфізму існує ядро й коядро.
  • AB2) Для будь-якого морфізму канонічний морфізм з в є ізоморфізмом.

Гротендік також формулював сильніші аксіоми AB6) і AB6 *), проте не використовував їх у цій роботі. Зокрема AB6) мала вигляд

  • AB6) A задовольняє AB3), і для сім'ї фільтрованих категорій і відображень , виконується , де lim позначає фільтровану кограницю.

Властивості[ред.ред. код]

  • Для пари об'єктів A, B в абелевій категорії, існує нульовий морфізм з A у B. Він є нульовим елементом Hom(A,B), що є абелевою групою. Також за означенням він є рівним композиції A → 0 → B, де 0 є нульовим об'єктом абелевої категорії.
  • В абелевій категорії кожен морфізм f є рівним композиції епіморфізму і мономорфізму. Епіморфізм називається кообразом f, а мономорфізм — образом f.
  • У локально малій категорії підоб'єкти довільного об'єкту утворюють модулярну ґратку.

Примітки[ред.ред. код]

  1. Weibel, 1994, с. 426-428

Див. також[ред.ред. код]

Література[ред.ред. код]