Аксіоматика Біркгофа

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку

Аксіоматика Джорджа Біркгофа — це система із чотирьох аксіом евклідової геометрії. У формулюванні аксіом використовується поняття дійсного числа. Тому аксіоматика Біркгофа нагадує введення евклідової геометрії за допомогою моделі.

Історія[ред. | ред. код]

Біркгоф брав участь у написанні шкільного підручника з використанням цієї системи аксіом. Ця система вплинула на ту систему аксіом, яка була розроблена School Mathematics Study Group для американської школи.

Аксіоми[ред. | ред. код]

Аксіома І. Множина точок  на довільній прямій допускає бієкцію на множину дійсних чисел , причому так, що   для всіх точок А і В.

Аксіома ІІ. Існує одна і тільки одна пряма , якій належать довільні дві різні точки Р та Q.

Аксіома ІІІ. Множина променів {ℓ, , ,…} з початком в будь-якій точці O допускає бієкцію на множину дійсних чисел по модулю 2 так, що коли A та B - точки (відмінні від О) на променях і m відповідно, то різниця   для променів та  m дорівнює . Крім того, якщо точка B на m рухається неперервно вздовж прямої p, яка не містить вершину О, то число   також змінюється неперервно.

Аксіома ІV. Припустимо, що два трикутника ABC та A'B'C' такі, що ,   для деякого дійсного числа k > 0  та , тоді , , .

Див. також[ред. | ред. код]

Евклідова геометрія

Аксіоматика Гільберта

Аксіоматика Колмогорова

Аксіоматика Александрова

Посилання[ред. | ред. код]

  1. Birkhoff, George David (1932), «A Set of Postulates for Plane Geometry (Based on Scale and Protractors)», Annals of Mathematics Т. 33: 329—345
  2. Birkhoff, George David & Beatley, Ralph (2000), Basic Geometry (3rd ed.), American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-2101-5