Аксіоматика Гільберта

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Аксіоматика Гільберта — аксіоматика евклідової геометрії. Розроблена Гільбертом як більш повна, ніж система аксіом Евкліда.

Неозначувані поняття[ред.ред. код]

Неозначуваними поняттями в системі аксіом Гільберта є: точка, пряма, площина. Є також 3 елементарні відношення:

  • Лежати між (стосується точок);
  • Належати (стосовно точок і прямих, точок і площин, прямих і площин);
  • Конгруентність (геометрична рівність; стосується відрізків, кутів, трикутників тощо). Позначається символом ≅.

Всі точки, прямі та площини вважаються різними, якщо не зазначено інше.

Аксіоми[ред.ред. код]

Система з 20 аксіом поділена на 5 груп:

I. Аксіоми належності[ред.ред. код]

  • планіметричні:
    1. Якими б не були точки та , існує пряма , якій належать ці точки.
    2. Якими б не були дві різні точки та , існує не більше однієї прямої, якій належать ці точки.
    3. Кожній прямій належать принаймні дві точки. Існують принаймні три точки, що не належать одній прямій.
  • стереометричні:
    1. Якими б не були три точки , та , що не належать одній прямій, існує площина , якій належать ці три точки. Кожній площині належить принаймні одна точка.
    2. Якими б не були три точки , та , що не належать одній прямій, існує не більше однієї площини, якій належать ці три точки.
    3. Якщо дві різні точки та , що належать одній прямій , належать деякій площині , то кожна точка, що належить прямій , належить вказаній площині.
    4. Якщо існує одна точка , яка належить двом площинам та , то існує принаймні ще одна точка , яка належить обом цим площинам.
    5. Існують принамні чотири точки, які не належать одній площині.

ІІ. Аксіоми порядку[ред.ред. код]

  1. Якщо точка прямої лежить між точками та , то , та  — різні точки прямої, причому лежить також між точками та .
  2. Для довільних двох різних точок та , на прямій, що ними визначається, існує принаймні одна точка , що лежить між точками та , та існує принаймні одна точка , така що точка лежить між точками та .
  3. Серед довільних трьох точок, які лежать на одній прямій, існує не більше однієї точки, яка лежить між двома іншими.
  4. Аксіома Паша. Якщо у довільній площині дано трикутник і довільну пряму, що не проходить через одну з його вершин і перетинає сторону , то ця пряма неодмінно перетне одну з двох інших сторін чи .

ІІІ. Аксіоми конгруентності[ред.ред. код]

  1. Якщо та  — дві точка прямої ,  — точка на цій же прямій чи на іншій прямій , то по задану від точки сторону прямої  знайдеться, і до при цьому лише одна, точка , така що відрізок конгруентний відрізку . Кожен відрізок конгруентний відрізку
  2. Якщо відрізки та конгруентні одному і тому ж відрізку , то вони конгруентні між собою.
  3. Нехай та  — два відрізки прямої , які не мають спільних внутрішніх точок, і  — два відрізки тієї ж прямої чи іншої прямої , які також не мають спільних внутрішніх точок. Тоді якщо відрізок конгруентний відрізку , а відрізок конгруентний відрізку , то відрізок конгруентний відрізку .
  4. Якщо дано кут та промінь , що лежить в площині даного кута, то існує рівно два промені та , які також лежать в площині даного кута, такі, що конгруентний та конгруентний
  5. Якщо для двох трикутників та мають місце конгруенції: , , , то завжди мають місце й конгруенції: , .

ІV. Аксіома паралельності[ред.ред. код]

Для аксіоми паралельності Гільберт обрав не евклідове формулювання, а еквівалентне йому та більш просте — аксіому Прокла:

  1. Нехай  — довільна пряма і  — точка, що їй не належить; тоді в площині, яка визначається точкою й прямою , можна провести не більше однієї прямої, яка проходить через і не перетинає .

V. Аксіоми неперервності[ред.ред. код]

  1. Аксіома Архімеда. Нехай  — довільна точка на прямій між довільними точками та . Побудуємо точки , , , … так, що точка знаходиться між точками та , між та , між та і т. д., при цьому відрізки , , , , . . . рівні між собою. Тоді завжди існує така точка , що точка лежить між та .
  2. Аксіома повноти. Точки прямої (площини) утворюють таку систему точок, яку неможливо доповнити новими точками без порушення раніше встановлених аксіом.

21-а аксіома[ред.ред. код]

Спочатку аксіоматика Гільберта містила ще й 21-у аксіому:

«Довільним чотирьом точкам на прямій можна присвоїти імена , , , і так, щоб точка лежала між точками і , а також між і ; точка  — між і , а також між і ».

В 1902 році Е.Г. Мур довів, що ця аксіома надлишкова і є наслідком аксіом належності та порядку.

Історія[ред.ред. код]

Аксіоматику евклідової геометрії було опубліковано Давидом Гільбертом у 1899 році у святковому томі «Festschrift», присвяченому відкриттю в Ґетінґені пам'ятника Карлу Фрідріху Гаусу та його другові фізику Вільгельму Веберу. Нині «Основи геометрії» перекладено багатьма мовами світу.

Інші системи аксіом[ред.ред. код]

Догільбертові системи аксіом геометрії:

Подібні гільбертовій:

Сучасні аксіоматики:

Посилання[ред.ред. код]