Аксіома вибору

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук
Ілюстрація аксіоми вибору, де кожна Si і xi відповідно показані як глечик і кольорові кульки

В математиці, аксіома вибору — аксіома теорії множин, яка еквівалентна твердженню, що декартів добуток колекції не порожніх множин є також не порожнім. Аксіома вибору стверджує:

«Для довільного сімейства непорожніх множин, що не перетинаються, існує множина, яка має рівно один спільний елемент з кожною множиною цього сімейства, навіть якщо множин у сімействі нескінченно багато і невизначене правило вибору елемента з кожної множини.

Формально, аксіома стверджує, що для кожної індексованої родини не порожніх множин існує індексована родина елементів , таких що для кожного . Аксіома вибору була сформульована в 1904 році Ернстом Цермело.

За допомогою використання аксіоми вибору можна отримати такі результати як теорема Тихонова та довести парадокс Банаха-Тарського.

В багатьох випадках такий вибір можна здійснити без посилання на аксіому вибору; зокрема, якщо кількість множин є скінченна, або якщо існує правило вибору: властивість відбору яка є справедливою для лише одного елемента в кожній множині. Наглядним прикладом тому є множини із натуральних чисел. З кожної множини, завжди можна вибрати найменше число, тобто у множинах {{4,5,6}, {10,12}, {1,400,617,8000}} найменшими елементами є {4, 10, 1}. У цьому випадку, "вибір найменшого числа" є функцією вибору. Навіть якби існувало нескінченно багато множин із натуральних чисел, завжди залишається можливим вибрати найменший елемент із кожної множини і утворити з них множину. Таким чином, функція вибору визначає множину вибраних елементів. Однак, функція вибору не відома, для знаходження колекції всіх не порожніх підмножин дійсних чисел. В такому випадку необхідно застосовувати аксіому вибору.

Рассел закарбував аналогію: для будь-якої (навіть нескінченної) колекції пар взуття, можна вибрати лівий черевик із кожної пари і утворити відповідний вибір; що робить можливим безпосередньо визначити функцію вибору. Для нескінченної колекції пар шкарпеток (таких що не мають ознак для розпізнавання), не існує очевидного способу знайти функцію, яка б дозволила вибирати шкарпетку із кожної пари, не застосовуючи аксіому вибору.[1]

Визначення[ред.ред. код]

Функція вибору це функція f, визначена для колекції непорожніх множин X, і є такою, що для кожної множини A в X, f(A) повертає елемент із A. Виходячи із цього поняття, аксіому можна сформулювати наступним чином:

Для будь-якого набору X не порожніх множин, існує функція вибору f визначена для X.

Формально, це можна визначити наступним чином:

Кожна функція вибору над колекцією X не порожніх множин є елементів декартового добутку множин з X. Це не є загальним випадком декартового добутку набору множин, де дана множина може трапитися в якості фактору більше ніж один раз; однак, можна розглядати елементи такого добутку, як вибір одних і тих самих елементів кожного разу, як множина з'являється як фактор, і такі елементи відповідають елементам декартового добутку усіх відмінних множин із набору. Аксіома вибору стверджує про існування таких елементів; таким чином це еквівалентне наступному:

Дано набір не порожніх множин, їх декартів добуток є не порожньою множиною.

Використання[ред.ред. код]

До кінця 19-го століття, аксіома вибору часто застосовувалася неявно, оскільки ще не існувало її формального визначення. Наприклад, після того, як було встановлено, що множина X містить лише не порожні множини, математики б говорили так: "нехай F(s) буде одним із членів s для всіх s в X." В загальному випадку, не можливо довести, що F існує без застосування аксіоми вибору, але на це не звертали уваги до Ернста Цермело.

Не кожна ситуація потребує аксіоми вибору. Для скінченних множин X, аксіома вибору слідує із інших аксіом теорії множин. В цьому випадку вона є еквівалентною вислову, що якщо ми маємо декілька (скінченну кількість) коробок, кожна з яких містить принаймні один елемент, тоді ми можемо вибрати точно по одному елементу із кожної коробки. Очевидно, що ми можемо це зробити: Ми починаємо з першої коробки і обираємо елемент; йдемо до другої коробки, вибираємо елемент; і так далі. Кількість коробок скінченна, тому рано чи пізно наша процедура вибору дійде до кінця. Результатом є явна функція вибору. Формальне доведення для всіх скінченних множин використовує принцип математичної індукції аби довести, що "для кожного натурального числа k, кожне сімейство із k не порожніх множин має функцію вибору." Однак, цей метод не можна застосувати для того аби показати що кожна зліченна родина не порожніх множин має функцію вибору, як це стверджує аксіома ліченого вибору[en]. Якщо метод застосувати до нескінченної послідовності (Xi : i∈ω) не порожніх множин, функцію можна отримати для кожної скінченної стадії, але не існує такої процедури, яка б дозволила побудувати функцію вибору для повної послідовності, а також, в загальному випадку, не можливо сконструювати "обмежувальної" функції вибору, без аксіоми вибору.

Властивості[ред.ред. код]

В різних областях математики існують теореми, що в ZFC є еквівалентними до аксіоми вибору:

Див. також[ред.ред. код]

Джерела[ред.ред. код]

Примітки[ред.ред. код]

  1. Jech, 1977, с. 351