Аксіома нескінченності

Аксіомою нескінченності (англ. Axiom of infinity) називається наступне висловлювання теорії множин:

$~\exists a\ (\varnothing \in a\ \land \ \forall b\ (b\in a\to b\cup \{b\}\in a)\ )$$~\exists a\ (\varnothing \in a\ \land \ \forall b\ (b\in a\to b\cup \{b\}\in a)\ )$, де $~b\cup \{b\}=\{c:\ c\in b\ \lor \ c=b\}$$~b\cup \{b\}=\{c:\ c\in b\ \lor \ c=b\}$

Аксіома нескінченності проголошує існування (принаймні однієї) нескінченної множини, тобто множини, яка складається з $~\varnothing ,\qquad \{\varnothing \},\qquad \{\varnothing ,\ \{\varnothing \}\},\qquad \{\varnothing ,\ \{\varnothing \},\ \{\varnothing ,\ \{\varnothing \}\}\},\quad ...$$~\varnothing ,\qquad \{\varnothing \},\qquad \{\varnothing ,\ \{\varnothing \}\},\qquad \{\varnothing ,\ \{\varnothing \},\ \{\varnothing ,\ \{\varnothing \}\}\},\quad ...$

Тобто, існує така множина a, що включає в себе пусту множину {} та для будь-якого належного їй елемента b включає також і множину, сформовану як об'єднання b та її синґлетону {b}.

Інші формулювання аксіоми нескінченності

$~\exists a_{\infty }\ (\exists a_{\varnothing }\ (a_{\varnothing }\in a_{\infty }\ \land \ \forall b\ (b\notin a_{\varnothing }))\ \ \land \ \ \forall b\exists c\forall d\ (b\in a_{\infty }\to (c\in a_{\infty }\ \land \ (d\in c\leftrightarrow d\in b\ \lor \ d=b))))$$~\exists a_{\infty }\ (\exists a_{\varnothing }\ (a_{\varnothing }\in a_{\infty }\ \land \ \forall b\ (b\notin a_{\varnothing }))\ \ \land \ \ \forall b\exists c\forall d\ (b\in a_{\infty }\to (c\in a_{\infty }\ \land \ (d\in c\leftrightarrow d\in b\ \lor \ d=b))))$

$~\exists a_{\infty }\ (\exists a_{\varnothing }\ (a_{\varnothing }\in a_{\infty }\ \land \ \forall b\ (b\notin a_{\varnothing }))\ \ \land \ \ \forall b\forall c\exists d\ (b\in a_{\infty }\to ((d\in c\leftrightarrow d\in b\ \lor \ d=b)\to c\in a_{\infty })))$$~\exists a_{\infty }\ (\exists a_{\varnothing }\ (a_{\varnothing }\in a_{\infty }\ \land \ \forall b\ (b\notin a_{\varnothing }))\ \ \land \ \ \forall b\forall c\exists d\ (b\in a_{\infty }\to ((d\in c\leftrightarrow d\in b\ \lor \ d=b)\to c\in a_{\infty })))$

Див. також

• Аксіоматика теорії множин
• Математична індукція

Література

Це незавершена стаття з теорії множин. Ви можете допомогти проекту, виправивши або дописавши її.