Аксіоми Армстронга

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку

Аксіоми Армстронга — множина аксіом (або, точніше, правил висновування), що використовуються для висновування всіх функціональних залежностей у реляційній базі даних. Їх розробив Вільям В. Армстронг[en] у своїй газетній статті 1974 року[1]. Аксіоми правильні в генеруванні тільки функціональних залежностей у замиканні множини функціональних залежностей (позначеному ), коли застосовані до цієї множини (позначеній ). Також вони повні в тому, що повторне застосування цих правил генеруватиме всі функціональні залежності в замиканні .

Формальніше, нехай позначає реляційну схему над множиною атрибутів зі множиною функціональних залежностей . Скажемо, що функціональна залежність логічно слідує з , і позначимо це , якщо й тільки якщо для кожного примірника із , що задовольняє функціональні залежності в , також задовольняє . Позначимо множину всіх функціональних залежностей, які логічно слідують із .

Більше того, з повагою до множини правил висновування , скажемо, що функціональна залежність є похідною з функціональних залежностей у за множиною правил висновування , і позначимо це , якщо й тільки якщо можна отримати шляхом повторного застосування правил висновування в до функціональних залежностей у . Позначимо множину всіх функціональних залежностей, які є похідними від за правилами висновування в .

Тоді множина правил висновування правильна, якщо й тільки якщо має місце наступне:

інакше кажучи, ми не можемо вивести за допомогою функціональні залежності, які логічно не слідують з . Множину правил висновування називають повною, якщо має місце наступне:

простіше кажучи, ми здатні вивести за всі функціональні залежності, які логічно слідують із .

Аксіоми (первинні правила)[ред. | ред. код]

Нехай  — схема відношення над множиною атрибутів . Надалі позначатимемо літерами , , будь-яку підмножину , а, для стислості, об'єднання двох множин атрибутів та як замість звичайного ; ця нотація є достатньо стандартною в теорії баз даних[en] при роботі зі множинами атрибутів.

Аксіома рефлексивності[ред. | ред. код]

Якщо  — множина атрибутів, а  — підмножина , то вміщує . Тоді вміщує [] означає, що функціонально визначає .

Якщо , то .

Аксіома доповнення[ред. | ред. код]

Якщо вміщує , а  — множина атрибутів, то вміщує . Це означає, що атрибут у залежностях не змінює основних залежностей.

Якщо , то для будь-якого .

Аксіома транзитивності[ред. | ред. код]

Якщо вміщує , а вміщує , то вміщує .

Якщо та , то .

Додаткові (другорядні) правила[ред. | ред. код]

Ці правила можуть виводитися від вищенаведених аксіом.

Декомпозиція[ред. | ред. код]

Якщо , то та .

Доведення[ред. | ред. код]

1. (Дано)
2. (Рефлексивність)
3. (Транзитивність 1 і 2)

Композиція[ред. | ред. код]

Якщо та , то .

Доведення[ред. | ред. код]

1. (Дано)
2. (Дано)
3. (Доповнення 1 і A)
4. (Декомпозиція 3)
5. (Доповнення 2 і X)
6. (Декомпозиція 5)
7. (Об'єднання 4 і 6)

Об'єднання (нотація)[ред. | ред. код]

Якщо та , то .

Псевдо-транзитивність[ред. | ред. код]

Якщо та , то .

Доведення[ред. | ред. код]

1. (Дано)
2. (Дано)
3. (Доповнення 1 і Z)
4. (Транзитивність 3 і 2)

Самовизначення[ред. | ред. код]

для будь-якої . Це слідує прямо з аксіоми рефлексивності.

Екстенсивність[ред. | ред. код]

Наступна властивість є особливим випадком доповнення, коли .

Якщо , то .

Екстенсивність може замінити доповнення як аксіому в сенсі, що доповнення може бути доведене з екстенсивності разом з іншими аксіомами.

Доведення[ред. | ред. код]

1. (Рефлексивність)
2. (Дано)
3. (Транзитивність 1 і 2)
4. (Екстенсивність 3)
5. (Рефлексивність)
6. (Транзитивність 4 і 5)

Відношення Армстронга[ред. | ред. код]

Дано множину функціональних залежностей , відношення Армстронга — відношення, яке задовольняє всім функціональним залежностям у замиканні й тільки цим залежностям. На жаль, мінімальний розмір відношення Армстронга для даної множини залежностей може бути експоненційною функцією від кількості атрибутів у залежностях, які розглядаються[2].

Примітки[ред. | ред. код]

  1. Armstrong William Ward. Dependency Structures of Data Base Relationships. — IFIP Congress, 1974. Архівовано з джерела 26 січня 2018.
  2. Beeri, C.; Dowd, M.; Fagin, R.; Statman, R. (1984). On the Structure of Armstrong Relations for Functional Dependencies. Journal of the ACM 31: 30–46. doi:10.1145/2422.322414.  Проігноровано невідомий параметр |citeseerx= (довідка)

Посилання[ред. | ред. код]