Аксіомна схема підстановки

Аксіомна схема підстановки
Галузь науки	теорія множин Цермело-Френкеля
Відкрив	Абрахам Френкель
Рік відкриття	1921
Формула	$\forall w_{1},\ldots ,w_{n}\,\forall A\,\exists B\,\forall x\,(x\in B\Leftrightarrow [x\in A\land \varphi (x,w_{1},\ldots ,w_{n},A)])$

Аксіомна схема підстановки — в теорії множин є схемою з аксіоматики Цермело-Френкеля.

По суті, вона говорить, що образ множини деякої визначеної функції теж є множиною.

Твердження

Нехай А - множина, і P(x,y) - предикат. Тоді якщо для кожного x існує єдиний y, такий що P(x,y) істинний, тоді існує множина всіх y, для яких знайдеться такий x ∈ A, що P(x,y) істинний.

$(\forall x,\exists !\,y:P(x,y))\rightarrow \forall A,\exists B,\forall y:y\in B\iff \exists x\in A:P(x,y)$

Зв'язок з іншими аксіомами

• Аксіома не потрібна для більшості доведень, її зазвичай не включають в системи теорії типів.
• Аксіомна схема виділення не входить в ZF, оскільки виводиться із пізніше введеної аксіомної схеми підстановки та аксіоми порожньої множини.
• Фон Нейман доказав, що дана аксіома слідує з аксіоми обмеження розміру

Джерела

• Хаусдорф Ф. Теория множеств. — Москва ; Ленинград : ОНТИ, 1937. — 304 с. — ISBN 978-5-382-00127-2.(рос.)

• Куратовский К., Мостовский А. Теория множеств = Set Theory (Teoria mnogości). — М. : Мир, 1970. — 416 с.(рос.)